天津市红桥区中考数学三模试卷含答案解析

2016年天津市红桥区中考数学三模试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算（﹣6）+（﹣3）的结果等于（ ） A．﹣9 B．9

C．﹣3 D．3

2．tan60°的值等于（ ） A．

B．

C．

D．

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．据统计，在“文化惠民，阅读共享”为主题的2016书香天津?春季书展中，共实现销售码洋5100000多万元，将5100000用科学记数法表示应为（ ） A．510×10 B．51×10 C．5.1×10 D．0.51×10

5．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（ ）

4

5

6

7

A．6．

B． C． D．

﹣2的值在（ ）

B．2和3之间

C．3和4之间

D．4和5之间

A．1和2之间

7．正六边形的边心距为A．

B．2

C．3

，则该正六边形的外接圆半径为（ ） D．2

图象上，若y1＜y2，则实数m的取值范

8．已知A（1，y1），B（2，y2）两点在反比例函数y=围是（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．m

D．m

9．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（ ）

A．25° B．50° C．65° D．80°

10．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．4

11．张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又到文具店买笔，然后散步回家．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，他从家跑步到体育场的平均速度是他从体育场到文具店的平均速度的2倍．设他出发后所用的时间为x（单位：min），离家的距离为y（单位：km），y与x的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．体育场离张强家的距离为3km B．体育场离文具店的距离为1.5km

C．张强从体育场到文具店的平均速度为100m/min D．张强从文具店散步回家的平均速度为60m/min

12．已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，有下列三个结论：

①若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根； ②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根；

③若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x=1．其中正确结论的个数是（ ）

A．0

B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13．计算（﹣x）x的结果等于 ．

14．一个不透明的袋子中装有分别标着数字1，2，3，4，5的五个乒乓球，现从袋中随机摸出一个乒乓球，则摸出的这个乒乓球上的数字为偶数的概率是 ． 15．分式方程

的解为 ．

23

16．如图，在?ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AD=3AE，CD=2，则AF的长为 ．

17．已知二次函数y=x2+bx+3，其中b为常数，当x≥2时，函数值y随着x的增大而增大，则b的取值范围是 ．

18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上． （1）计算△ABC的面积等于 ；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以BC为一边的矩形，使该矩形的面积是△ABC面积的5倍，并简要说明画图方法（不要求证明） ．

三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 19．解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答： （1）解不等式①，得 ；

（2）解不等式②，得 ；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ．

20．为了了解八年级学生参加社会实践活动情况，某区教育部门随机调查了本区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的m的值为 ； （2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；

（3）若该区八年级学生有3000人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数．

21．已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O交于点D． （1）如图①，若AP=AC，求∠B的大小；

（2）如图②，若AP∥BC，∠P=42°，求∠BAC的大小．

22．热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为35°，看这栋楼底部C处的俯角为61°，已知这栋楼BC的高度为300m，求热气球所在位置距地面的距离（结果保留整数）．（参考数据：tan35°≈0.70，tan61°≈1.80）

23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲商场按累计购物金额的80%收费；在乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按70%收费，设小红在同一商场累计购物金额为x元，其中x＞200． （1）根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物 实际花费 在甲商场 在乙商场 400 550 … … 500 700 … x （2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？ （3）“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱？

24．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且△OAB为等边三角形，C为OB的中点，连接AC．

（1）如图①，求点C的坐标；

（2）如图②，将△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m，其中0＜m＜4． ①设△OAB与△DEF重叠部分的面积为S，用含m的式子表示S；

②连接BD，BE，当BD+BE取最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．

25．抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=kx+m交于A（1，3），B（4，0）两点，点P是抛物线上A、B之间（不与点A、B重合）的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D． （1）求抛物线与直线AB的解析式；

（2）当点C为线段AB的中点时，求PC的长；

（3）设点E的坐标为（s，t），当以点P、C、D、E为顶点的四边形为矩形时，用含有t的式子表示s，并求出s的取值范围．

2016年天津市红桥区中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算（﹣6）+（﹣3）的结果等于（ ） A．﹣9 B．9

C．﹣3 D．3

【考点】有理数的加法． 【专题】计算题；实数．

【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣（6+3） =﹣9， 故选A．

【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键．

2．tan60°的值等于（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】求得60°的对边与邻边之比即可．

【解答】解：在直角三角形中，若设30°对的直角边为1，则60°对的直角边为tan60°=故选D．

【点评】考查特殊角的三角函数值；熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

=

，

，

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选A．

【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．据统计，在“文化惠民，阅读共享”为主题的2016书香天津?春季书展中，共实现销售码洋5100000多万元，将5100000用科学记数法表示应为（ ） A．510×10 B．51×10 C．5.1×10 D．0.51×10 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于5100000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6． 【解答】解：5 100 000=5.1×106． 故选C．

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

5．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（ ）

n

4

5

6

7

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图；截一个几何体． 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可． 【解答】解：从上面看，是正方形右边有一条斜线， 故选：A．

【点评】本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．

6．

﹣2的值在（ ）

B．2和3之间

C．3和4之间

D．4和5之间

A．1和2之间

【考点】估算无理数的大小．

【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大进行求解即可． 【解答】解：∵16＜17＜25， ∴4＜∴2＜

＜5． ﹣2＜3．

故选：B．

【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．

7．正六边形的边心距为A．

B．2

C．3

，则该正六边形的外接圆半径为（ ） D．2

【考点】正多边形和圆．

【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长． 【解答】解：如图， 在Rt△AOG中，OG=∴OA=OG÷cos 30°=故选：B．

，∠AOG=30°， ÷

=2；

【点评】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．

8．已知A（1，y1），B（2，y2）两点在反比例函数y=围是（ ）

图象上，若y1＜y2，则实数m的取值范

A．m＞0 B．m＜0 C．m D．m

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质． 【分析】根据已知和反比例函数的性质得出5+2m＜0，求出即可． 【解答】解：∵0＜1＜2，A（1，y1），B（2，y2）两点在反比例函数y=∴5+2m＜0， ∴m＜﹣， 故选D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质的应用，注意：反比例函数y=（k≠0，k为常数），当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．

9．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（ ）

图象上，y1＜y2，

A．25° B．50° C．65° D．80° 【考点】圆周角定理．

【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOC的度数，又由AB平分∠CAO，可求得∠CAO的度数，继而求得∠AOC的度数，则可求得答案． 【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB， ∴∠B=∠BAO=25°，

∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°， ∵AB平分∠CAO，∠BAO=25°， ∴∠CAO=2∠BAO=50°， ∵OA=OC，

∴∠C=∠CAO=50°，

∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=80°，

∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=50°． 故选B．

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键．

10．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．4

【考点】旋转的性质．

【分析】先依据旋转的性质得到CE、CD的长，然后过点F作FG⊥AC，从而可证明FG是△ECD的中位线，从而可得到EG、FG的长，最后依据勾股定理可求得AF的长． 【解答】解：如图所示：过点F作FG⊥AC．

∵由旋转的性质可知：CE=BC=4，CD=AC=6，∠ECD=∠BCA=90°． ∴AE=AC﹣CE=2． ∵FG⊥AC，CD⊥AC， ∴FG∥CD．

又∵F是ED的中点， ∴G是CE的中点， ∴EG=2，FG=CD=3． ∴AG=AE+EG=4． ∴AF=故选：C．

=5．

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理的应用，证得FG为△△ECD的中位线是解题的关键．

11．张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又到文具店买笔，然后散步回家．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，他从家跑步到体育场的平均速度是他从体育场到文具店的平均速度的2倍．设他出发后所用的时间为x（单位：min），离家的距离为y（单位：km），y与x的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．体育场离张强家的距离为3km B．体育场离文具店的距离为1.5km

C．张强从体育场到文具店的平均速度为100m/min D．张强从文具店散步回家的平均速度为60m/min 【考点】一次函数的应用．

【分析】因为张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离，即可判断A；求出从家跑步到体育场的平均速度，除以2是他从体育场到文具店的平均速度，即可判断C；再乘以从体育场到文具店的时间，即可判断B；先求出张强家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，求出二者的比值即可．

【解答】解：由函数图象可知，体育场离张强家的距离为3千米，故A选项正确； ∵张强15分钟从家跑步去体育场，

∴从家跑步到体育场的平均速度为：3÷15=0.2（千米/分），

∴从体育场到文具店的平均速度为：0.2÷2=0.1（千米/分）=100（米/分），故C选项正确； ∵从体育场到文具店的时间为：45﹣30=15（分），

∴体育场离文具店的距离为0.1×15=1.5（千米），故B选项正确；

∵文具店离张强家3﹣1.5=1.5千米，张强从文具店散步走回家花了85﹣55=30分，

∴张强从文具店回家的平均速度是：1.5÷30=0.05（千米/分）=50（米/分），故D选项错误． 故选D．

【点评】本题主要考查一次函数的应用，速度=路程÷时间的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示

的意义是解答此题的关键．

12．已知两个关于x的一元二次方程M：ax+bx+c=0；N：cx+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，有下列三个结论：

①若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根； ②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根；

③若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x=1．其中正确结论的个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

2

2

【考点】根的判别式；一元二次方程的解．

【分析】①由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同，从而得出①正确；②将x=6代入方程M中，即可得出36a+6b+c=0，等式两边同时除以36即可得出a+b+

2

2

c=0，从而得出②不正确；

2

③根据方程M、N有相同的根，可得出ax+bx+c=cx+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x=1，求出x的值即可得出③不正确．综上即可得出结论． 【解答】解：①在方程ax+bx+c=0中， △=b2﹣4ac；

在方程cx+bx+a=0中， △=b﹣4ac．

即两方程的根的判别式△相等， ∴①正确；

②∵6是方程M的一个根， ∴36a+6b+c=0， ∴a+b+

c=0，即a+b+

c=0．

2

2

2

∴是方程N的一个根． ∴②不正确；

③∵方程M和方程N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，即（a﹣c）x2=a﹣c． ∵ac≠0，a≠c， ∴x2=1，

解得：x=±1．

∴这个相等的根为x=1或x=﹣1． ∴③不正确．

综上可知：只有一个结论正确． 故选B．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根，解题的关键是：①结合两方程的根的判别式相等来判断结论①；②将x=6代入方程M，再变形；③令ax2+bx+c=cx2+bx+a求出x值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两方程的系数找出两方程的根的关系是关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13．计算（﹣x）x的结果等于 x ．

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则求解． 【解答】解：（﹣x）2x3=x2x3=x5． 故答案为：x．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键．

14．一个不透明的袋子中装有分别标着数字1，2，3，4，5的五个乒乓球，现从袋中随机摸出一个乒乓球，则摸出的这个乒乓球上的数字为偶数的概率是 【考点】概率公式．

【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【解答】解：∵数字1，2，3，4，5中，偶数有2个， ∴摸出的这个乒乓球上的数字为偶数的概率是2÷5=． 故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

．

5

23

5

15．分式方程

【考点】分式方程的解．

【分析】方程两边都乘以（x﹣1）（2x+1）化为整式方程，然后求解，再进行检验即可． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（2x+1）得， 2x+1=5（x﹣1）， 解得x=2，

检验：当x=2时，（x﹣1）（2x+1）=（2﹣1）×（2×2+1）=5≠0， 所以，x=2是方程的解， 所以，原分式方程的解是x=2． 故答案为：x=2．

【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

16．如图，在?ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AD=3AE，CD=2，则AF的长为 1 ．

的解为 x=2 ．

【考点】平行四边形的性质．

【分析】与平行四边形的性质得出AB∥CD，证出△AEF∽△DEC，得出AF：CD=AE：DE，由已知条件得出AF：CD=AE：DE=1：2，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AEF∽△DEC， ∴AF：CD=AE：DE， ∵AD=3AE， ∴DE=2AE，

∴AF：CD=AE：DE=1：2， ∴AF=CD=1； 故答案为：1．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．

17．已知二次函数y=x+bx+3，其中b为常数，当x≥2时，函数值y随着x的增大而增大，则b的取值范围是 b≥﹣4 ．

【考点】二次函数的性质；解一元一次方程．

【分析】根据二次函数解析式可找出二次函数的对称轴，再由二次项系数＞0即可得出二次函数的单增区间，结合给定条件即可得出关于b的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=﹣∴当x≥﹣时，函数值y随着x的增大而增大， ∵当x≥2时，函数值y随着x的增大而增大， ∴﹣≤2， 解得：b≥﹣4．

【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是根据二次函数的性质找出二次函数的单增区间．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数性质找出单增区间，再结合题意得出不等式是关键．

18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上． （1）计算△ABC的面积等于

；

=﹣，且a=1＞0，

2

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以BC为一边的矩形，使该矩形的面积是△ABC面积的5倍，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点D、E，连结CD、BE；再取格点M、N、P、Q，连结MN交CD于G，连结PQ交BE于H，连结GH，则四边形BCGH为所求 ．

【考点】作图—复杂作图． 【专题】作图题．

【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可； （2）先计算出BC=

，画BC分别绕点C、B逆时针和顺时针旋转90°得到CD、BE，则CD=BE=

，从而得到矩形BCGH的面积为

．

，

然后把CD和BE4等份，这样得到BH=CG=【解答】解：（1）S△ABC=×1×3=；

（2）如图，取格点D、E，连结CD、BE；再取格点M、N、P、Q，连结MN交CD于G，连结PQ交BE于H，连结GH，则四边形BCGH为所求．

故答案为，取格点D、E，连结CD、BE；再取格点M、N、P、Q，连结MN交CD于G，连结PQ交BE于H，连结GH，则四边形BCGH为所求．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 19．解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答：

（1）解不等式①，得 x≥﹣2 ； （2）解不等式②，得 x≤2 ；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤2 ．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）移项，合并同类项，系数化成1即可； （3）在数轴上表示出来即可； （4）根据数轴得出即可． 【解答】解：（1）3x+1≥﹣5， 3x≥﹣5﹣1， 3x≥﹣6， x≥﹣2，

故答案为：x≥﹣2；

（2）2x﹣1≤3， 2x≤4， x≤2，

故答案为：x≤2；

（3）在数轴上表示不等式的解集为：

（4）原不等式组的解集为﹣2≤x≤2， 故答案为：﹣2≤x≤2．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

20．为了了解八年级学生参加社会实践活动情况，某区教育部门随机调查了本区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，

；

回答下列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 80 ，图①中的m的值为 20 ； （2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；

（3）若该区八年级学生有3000人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．

【分析】（1）利用参加社会实践活动9天的人数除以它所占百分比可得调查总人数；利用100%减去各部分所占百分比即可求出m的值；

（2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得这组样本数据的众数为5；把数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位置处于中间的是两个数都是6，从而可得中位数为6；求出数据的总和再除以80即可得到平均数；

（3）利用样本估计总体的方法可得该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，然后可得答案．

【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：8÷10%=80， m%=100%﹣25%﹣35%﹣10%﹣10%=20%， 则m=20，

故答案为：80，20．

（2）∵在这组样本数据中，5出现了28次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为5．

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，有∴这组样本数据的中位数为6． 观察条形统计图， =∴这组数据的平均数是6.4．

=6.4，

=6，

（3）∵在80名学生中，参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例为20%，

∴由样本数据，估计该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，于是，有3000×20%=600．

∴该区3000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数约为600人．

【点评】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，以及众数、中位数、加权平均数的计算，关键是正确从统计图中获取正确信息．

21．已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP与⊙O交于点D． （1）如图①，若AP=AC，求∠B的大小；

（2）如图②，若AP∥BC，∠P=42°，求∠BAC的大小．

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．

【分析】（1）如图①，连接OA、AD．由等腰三角形的性质可知∠P=∠ACP，然后由切线的性质可证明∠PAO=90°，于是得到∠P+∠POA=90°，然后依据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质可证明∠AOP=2∠ACP，从而可求得∠ACP的度数，然后可求得∠ADC的度数，最后依据圆周角定理可求得∠B的度数；

（2）如图，连接BD．由直径所对的圆周角等于90°可求得∠DBC=90°，然后依据平行线的性质可求得∠PCB的度数，于是可得到∠CDB的度数，最后依据圆周角定理可求得∠BAC的度数． 【解答】解：（1）如图①，连接OA、AD．

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP． ∵PA与⊙O与相切， ∴∠PAO=90°． ∴∠P+∠POA=90°． ∵OA=0C， ∴∠ACO=∠CAO． ∴∠AOP=2∠ACO． ∵∠P+∠POA=90°， ∴∠ACP+2∠ACP=90°． ∴∠ACP=30°． ∴∠B=2∠ACP=60°． （2）如图，连接BD．

∵DC为⊙O的直径， ∴∠DBC=90°． ∴∠CDB+∠DCB=90°． ∵AP∥BC， ∴∠PCB=∠P=42°． ∴∠CDB=90°﹣42°=48°． ∴∠BAC=∠BDC=48°．

【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

22．热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为35°，看这栋楼底部C处的俯角为61°，已知这栋楼BC的高度为300m，求热气球所在位置距地面的距离（结果保留整数）．（参考数据：tan35°≈0.70，tan61°≈1.80）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，∠BAD=35°，∠CAD=61°，BC=300m，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义得到BD=AD?tan35°，在Rt△AC中，根据三角函数的定义得到CD=AD?tan61°，于是得到结论．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 根据题意，∠BAD=35°，∠CAD=61°，BC=300m， ∵在Rt△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD?tan35°， ∵在Rt△AC中，tan∠CAD=∴CD=AD?tan61°， 又∵BC=BD+CD， ∴AD=

∴CD=AD?tan61°=

，

≈

=216m，

， ，

答：热气球所在位置距地面的距离约为216m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲

商场按累计购物金额的80%收费；在乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按70%收费，设小红在同一商场累计购物金额为x元，其中x＞200． （1）根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物 实际花费 在甲商场 在乙商场 400 410 560 550 … … 0.8x 0.7x+60

500 700 … x （2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？ （3）“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【考点】一元一次不等式的应用；列代数式；一元一次方程的应用． 【分析】（1）根据两种购买方案即可求解；

（2）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解； （3）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解．

【解答】解：（1）700×80%=560，在甲商场购买x元的金额时，实际花费是0.8x（元）； 200+（500﹣200）×70%=410（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是200+（x﹣200）×70%=0.7x+60．

故答案是：560；0.8x；410；0.7x+60；

（2）根据题意，有0.8x=0.7x+60，解得x=600，

∴当x=600时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．

（3）由0.8x＜0.7x+60，解得x＜600． 由0.8x＞0.7x+60，解得x＞600．

∴当小红累计购物的金额超过600元时，在乙商场购物更省钱； 当小红累计购物的金额不超过600元时，在甲商场购物更省钱．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解．

24．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且△OAB为等边三角形，C为OB的中点，连接AC．

（1）如图①，求点C的坐标；

（2）如图②，将△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m，其中0＜m＜4． ①设△OAB与△DEF重叠部分的面积为S，用含m的式子表示S；

②连接BD，BE，当BD+BE取最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）过C作CH⊥OA，垂足为H，根据线段与角度之间的关系，可求得C点的坐标为（1，（2）①分两种情况讨论，Ⅰ、当0＜m≤2时，重合面积为四边形，此时S=S△DEF﹣S△AGF Ⅱ、当2＜m＜4时，重合面积为等边三角形，此时S=S△KAD； ②分0＜m≤2和2＜m＜4两种情况讨论计算，

Ⅰ、如图4，BD+BE转化为BD+BE'，而BD+BE'最小，则当D、B、E'三点共线时，BD+BE取得最小值，可求得E

．

）；

Ⅱ、同Ⅰ的方法即可得出m=4，不符合要求． 【解答】解：（Ⅰ）如图1，

过C作CH⊥OA，垂足为H， ∵OA=4，△OAB为等边三角形， ∴∠BOA=60°，OB=4， ∵C为OB的中点， ∴OC=2，∠OCA=90°， ∴∠OCH=30°，

∴OH==1，CH=

）；

，

∴点C的坐标为（1，

（Ⅱ）①∵△DEF是△OCA平移得到的， ∴AF=OD=m，

当0＜m≤2时，如图2，

设AB与EF交于点G， 过点A作AI⊥EF，垂足为I， ∵∠BAF=120°，∠DFE=30°， ∴∠AGF=30°， ∴AI=m，GF=2FI=∴S=S△DEF﹣S△AGF=2

， ﹣

m，

2

当2＜m＜4时，如图3，

设AB与DE交于点K ∵∠KDA=∠KAD=60°， ∴△KAD为等边三角形，

∵DA=4﹣m， ∴S=S△KAD=

（4﹣m）2

，

综上所述：S=；

②Ⅰ、当0＜m≤2时，如图4，过点B作直线l∥x轴， 作点E关于直线l的对称点E'，直线l的解析式为y=2，

连接BE，BE'， ∴BE=BE'，

∴BD+BE=BD+BE'，要使BD+BE最小， ∴BD+BE'最小，

即：点D，B，E'三点共线，

∵△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m， ∴CE=OD=m，D（m，0）， 由（1）知，C（1，），

∴E（m+1，

），

∵点E关于直线l的对称点E'， ∴E'（m+1，3

），

由点D（m，0），E'（m+1，3），得出直线DE'的解析式为y=3

x﹣3

∵点B在直线DE'上， ∴3

×2﹣3

m=2

，

∴m=， ∴E

．

Ⅱ、当2＜m＜4时，作点E关于直线l的对称点E'，连接BE，BE'， ∴BE=BE'，

∴BD+BE=BD+BE'，要使BD+BE最小， ∴BD+BE'最小，

即：点D，B，E'三点共线，

∵△OAC沿x轴向右平移得到△DFE，设OD=m，

m，

∴CE=OD=m，D（m，0）， 由（1）知，C（1，∴E（m+1，

），

），

∵点E关于直线l的对称点E'， ∴E'（m+1，﹣

），

），得出直线DE'的解析式为y=﹣

x+

m，

由点D（m，0），E'（m+1，﹣∵点B在直线DE'上， ∴﹣

×2+

m=2

，

∴m=4（舍去）

∴当BD+BE取最小值时，点E的坐标为

．

【点评】此题是几何变换综合题，以三角形为背景，考查等边三角形的性质、平移的性质、待定系数法，用面积割补法来求不规则图形的面积，对称的性质，体现了分类讨论的思想，确定出直线DE'的解析式是解本题的关键，借助点D，E'的横坐标相差1，此题（2）②容易丢点第二种不成立的理由．

25．抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=kx+m交于A（1，3），B（4，0）两点，点P是抛物线上A、B之间（不与点A、B重合）的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D． （1）求抛物线与直线AB的解析式；

（2）当点C为线段AB的中点时，求PC的长；

（3）设点E的坐标为（s，t），当以点P、C、D、E为顶点的四边形为矩形时，用含有t的式子表示s，并求出s的取值范围． 【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求直线AB的解析式；

（2）利用线段中点坐标公式求出C点坐标，再利用PC∥x轴可得到P点的纵坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征确定P点坐标，再计算PC的长；

（3）设点P的坐标为（n，﹣n+4n），利用四边形PCED为矩形可表示出C（s，﹣n+4n），D（n，t），再利用点C、D在直线y=﹣x+4上得到﹣n+4n=﹣s+4，t=﹣n+4，然后消去n得到s与t的函数关系式，再根据二次函数的性质确定s的范围．

【解答】解：（1）∵点A（1，3），B（4，0）在抛物线y=﹣x+bx+c上， ∴

，解得

，

2

2

2

2

2

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；

∵点A（1，3），B（4，0）在直线y=kx+m上， ∴

，解得

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+4； （2）∵点C为线段AB的中点时， ∴C点坐标为（，）， ∵PC∥x轴， ∴P点的纵坐标为，

当y=时，﹣x2+4x=，解得x1=2+∴P（2+∴PC=2+

，）， ﹣=

；

（舍去），x2=2﹣

，

（3）设点P的坐标为（n，﹣n2+4n）， ∵四边形PCED为矩形，E（s，t）， ∴C（s，﹣n2+4n），D（n，t）， 而点C、D在直线y=﹣x+4上，

∴﹣n2+4n=﹣s+4，t=﹣n+4，即n=4﹣t，

∴﹣（4﹣t）2+4（4﹣t）=﹣s+4， ∴s=t﹣4t+4（0＜t＜3）， ∵s=（t﹣2），

∴抛物线的对称轴为直线t=2，

∵0＜t＜3时，当t=2时，s有最小值0， 而t=0时，s=4， ∴s的范围为0≤s＜4．

2

2

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．

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