波动习题集

第六章习题解答

6-1 有一平面简谐波，在空间以速度u沿x轴正向传播，已知波线上某一点S（S离坐标原点的距离为L）的振幅为0.02m，圆频率为?，初始时刻S点从平衡位置下方0.01m处向上运动，求此波的波动方程。 解：首先写出S点的振动方程 若选向上为正方向，则有：

?0.01?0.02co?s0 cos?0??1 2 ?0??A?sin?0?0, sin?0?0

24332初始相位 ?0???

3即 ?0???或?

习题6-1图

则 ys?0.02cos(?t?2?)m 3再建立如图题6-1(a)所示坐标系，坐标原点选在S点，沿x轴正向取任一P点，该点振动位相将落后于S点，滞后时间为： ?t?则该波的波动方程为：

y?0.02cos??(t?)?x u??xu2??m 3??若坐标原点不选在S点，如习题6-1图（b）所示，P点仍选在

S点右方，则P点振动落后于S点的时间为：

x?L ?t?

u则该波的波方程为：

y?0.02cos??(t?习题6-1图

??x?L2?)???m u3?L?x,如习题6-1图(c)所示，则 u若P点选在S点左侧，P点比S点超前时间为 y?0.02cos??(t???L?x2?)??? u3?x?L2?)??? u3?52

?0.02cos??(t???∴不管P点在S点左边还是右边，波动方程为：

y?0.02cos??(t?

??x?L2?)??? u3?6-2一平面简谐波沿x轴正向传播，波速u?100m?s，t=0时的波形图如习题6-2图所示，?1根据波形图，求:

(1)波长?、振幅A、频率?、周期T； (2)任一时刻的波动表达式；

(3)写出x=0.4m处质点的振动表达式。 解（1）由习题6-2图可知，

波长 ??0.8m 振幅 A=0.5m 频率 v?u??1000.8Hz?125Hz 周期 T?1v?8?10?3s ??2???250? （2）平面简谐波标准波动方程为：

y?Acos???(t?x)?????u? 由图可知，当t=0,x=0时，y=A=0.5m，故??0。 将A、?(??2?v)、u、?代入波动方程，得：

y?0.5cos???250?(t?x?100)??m

(3) x=0.4m处质点振动方程.

y?0.5cos??250?0.4?(t?100)??? ?0.5cos(250?t??)m

6-3 习题6-3图所示为t=0时刻某平面简谐波的波形，求：

(1)O点的振动方程; (2)该平面简谐波波动方程; (3)P点的振动方程;

(4)t=0时刻，a，b两点处质点的振动方向。 解（1）由习题6-3图可知，对于O点，t=0时，y=0，故

53

??? 再由该列波的传播方向可知，

?2

?0?0

取 ???2

由习题6-3图可知，??OP?0.40m,且u=0.08m/s，则

??2?v?2?可得O点振动表达式为：

u??2?0.082rad/s?? rad/s 0.4052?y0?0.04cos(?t?)m

52(2) 已知该波沿x轴正方向传播，u=0.08m/s,以及O点振动表达式，波动方程为：

x???2y?0.04cos??(t?)??m

0.082??5(3) 将x???0.40代入上式，即为P点振动方程：

1??2y0?yp?0.04cos??t???m

2??5(4)习题6-3图中虚线为下一时刻波形，由图可知，a点向下运动，b点向上运动。

6-4一平面简谐波在t?3T时刻的波形曲线如习题6一4图所示，该波以u?36m?s?1的4速度沿x轴的正方向传播。求: (l)t=0时刻O点与P点的初相位; (2)写出该平面简谐波的波动方程。 解（1）平面谐波标准波动方程为：

x??y?Acos??(t?)???

u??由图可知，A=0.2m

对于图中O点，有：

3x?0,y?0.2m,t?T

4代入标准波动方程:

?2?3?0.2?0.2cos?(T)????T4?

3cos(???)?12

54

故 ??对于O点，t=0时的初始相位

?2

?0?图中P点位相始终落后O点

?2

T?时间，即相位落后，故t=0时，P点初相位?p?0。 42 （2）由u?36m/s,??0.4m知，

??2?v?2?u??180?rad/s

故根据平面谐波的标准波动方程可知，该波的波动方程为：

x???y?0.2cos?180?(t?)??m

362??

6-5一平面简谐波在媒质中以速度u传播，其传播路径上一点P的振动方程为

yp?Acos?t，试按照习题6-5图所示的几种坐标分别写出波动方程(P点到原点的距离为

L)。

解：习题6-5图(a)中，根据波的传播方向知，O点振动先于P点，故O点振动的方程为：

L) uxL则波动方程为： y?Acos?(t??)

uuy0?Acos?(t?习题6-5图(b)中，根据波的传播方向知，O占振动落后于P点，故O点振动的方程为：

Ly0?Acos?(t?)

u则波动方程为：

y?Acos?(t?xL?) uuL) u习题6-5图(c)中，波沿x轴负方向传播，P点振动落后于O点，故O点振动的方程为：

y0?Acos(t?则波动方程为：

y?Acos?(t?此时，式中x与L自身为负值。

xL?) uu6-6 已知一平面简谐波的波动方程为y?Acos?(4t?2x)，x,y的单位是m，t的单位是s。

(1)求该波的波长、频率和波速;

55

(2)写出t=4.2s时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置;

(3)求t=4.2s时，离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻。 解： (1) y?Acos?(4t?2x) ?Acos(4?t?2?x) ?Acos4?(t?x) 2u??2m/s??4? 2?T??0.5s???2Hz ??1m

（2）y?Acos4?(t?波峰：cos4?(t? 4?(t?x) 2x)?1 2k?0,?1,?2,?

x)?2k?2xkt=4.2s代入(4.2??)

22x?k?8.4m

x??8.4m,?7.4m,?,?0.4m,0.6m,?t?

6-7一平面简谐波在介质中以u?20m?s的速度自左向右传播，已知传播路径上的某一点A的振动方程为y?3cos(4?t??)m，t的单位为s，另一点B在A点右方9m处。 (1)若取x轴正方向向左，并以A点为坐标原点，求波动方程及B点的振动方程; (2)若取x轴正方向向右，以A点左方5m处的O点为x轴原点，重新写出波动方程及B点的振动方程。 解： y?3cos(4?t??)

?1x0.6??0.3 u2 (1) y?3cos?4?(t?

??x?)??? u?56

?3cos?4?(t???x?)??? 20?9?)??? 20? yB?3cos?4?(t??? ?3cos?4?t???914?4?????????3cos?4?t????3cos?4?t??? 55?5????4??? 5? ?3cos?4?t? (2)

?? A:yA?3cos(4?t??)

任取一点P(如图)AP?x?5，则P点落后A点时间故波动方程

x?5 ux?5??y?3cos?4?(t?)???

u??x?5?? ?3cos?4?(t?)???

20?? ?3cos?4?(t?习题6.7图

??x?) 20??14??yB?3cos?4?(t?)?

20??14?)5

4?3cos4(?t??)5?3cos(4?t?

6-8一空气正弦波沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的强度为9?10J?s为300Hz，波速为300m?s。求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)两相邻的同相面间的波中平均含有的能量。 解：（1）由题可知，垂直于波传播方向的面积为：

?1?3?1?m?2，频率

57

d0.1422S??()2?3.14?()m?1.54?10?2m2

22据能量密度???A2?2sin2??(t?)??? 平均能量密度 ????xu??122?A? 2 波的强度 I??u 得：

I9?10?3???J/m3?3?10?5(J/m3)

u300最大能量密度为：

?m??A2?2?2??6?10?5(J/m3)

(2) 两相邻同相面间，波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量，因

能量密度

???A2?2sin2?(t?)??msin2?(t?) ??故 ???xuxudE dV??0?Sdx??S?msin2?(t?)dx

0?xu11u??mS???mS22v ?56?10300??0.0154?J?4.62?10?7(J)2300

6-9一平面简谐波的频率?=300Hz，波速u?340m?s，在截面面积S?3.00?10m的管内的空气中传播，若在l0s内通过截面的能量W?2.70?10J。求: (1)通过截面的平均能流P; (2)波的平均能流密度I; (3)波的平均能量密度?。

解： (1) P为单位时间通过截面的平均能量，有：

?2?1?22W2.7?10?2P??J/s?2.7?10-3(J/s)

?t10(2) I为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量，有：

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P2.7?10?3?1?2?2?1?2I??J?s?m?9?10(J?s?m)

s3.00?10?2(3) 据平均能量密度和I与u的关系，有：

I9?10?2J?m?2?2.65?10?4(J?m?2) ???u340

6-10如习题6-10图所示，S1，S2为两个相干波源，相互间距为

??，S1的相位比S2超前，42若两波在S1和S2连线方向上各点强度相同，均为I0，求S1、S2的连线上S1及S2外侧各点合成波的强度。

解 设P点为波源S1外侧任意一点，相距S1为r1，相距S2为r2，则S1、S2的振动传到P

点的相位差为：

????2??1??20??10? ??或由课本P213(6-24)，知

2??(r1?r2)

?2?2?(?)??? ?4????2?合振幅 A?|A1?A2|?0

r2?r1???10??20

故 Ip=0

设Q点为S2外侧的任意一点，同理可求得S1、S2的振动传到Q的相位差为：

????2??1???2?2????4?0,

合振动 A?A1?A2?2A1 合成波的强度与入射波强度之比为：

IQ4A12?2?4, I0A1即 IQ?4I0

6-11 两列波在一根很长的细绳上传播，其波动方程为

y1?0.06cos?(x?4t)m,y2?0.06cos?(x?4t)m，

(1)证明细绳上的振动为驻波式振动; (2)求波节和波腹的位置;

59

(3)波腹处的振幅有多大?在x=1.2m处的振幅是多少? 解（1）因合成波方程为： y?y1?y2

?[0.06cos?(x?4t)?0.06cos?(x?4t)]m ?2?0.06cos?(x?4t)??(x?4t)2?0.12cos?x?cos4?tm?cos?(x?4t)??(x?4t)2m

故细绳上的振动为驻波式振动。

(2) 由cos?x?0得： ?x?(2k?1)故波节位置为： x??2

1(2k?1)(m)2(k?0,?1,?2?)

由|cos?x|?1得： ?x?k? 故波腹位置 x?k(m)(k?0,?1,?2?)

A?0.12m

(3) 由合成波方程可知，波腹处振幅为： 在x=1.2m处的振幅为：

Ax?|0.12cos1.2?|m?0.097

6-12 如习题6-12图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速u=40m?s。已知在坐标原点O引起的振动为y0?Acos(10?t?/?1?2) (国际单位制)，M是垂直于x轴的波密媒质

反射面，已知OO=14m，设反射波不衰减，求: (1)入射波和反射波的波函数; (2)驻波波方程;

(3)驻波波腹和波节的位置。 解： (1) y入?Acos?10?(t???x????)???Acos(10?t?x?) 402?4228?x??)???? 402?28?x???3?)???Acos(10?t?x?) 402?42 y反?Acos?10?(t??? ?Acos?10?(t?(2) 驻波方程

??60

y?y入?y反?Acos(10?t? ?2Acos(10?t??4x??2)?Acos(10?t??3x??) 42?2)cos(???4x)

?2Acos(??

?4x)sin10?t

??2Acos (3) 波节cos 波腹cos?4xsin10?t?4x?0?4x?2k?1??x?2(2k?1)?4k?2 2?4x?1?4x?k?x?4k

∴ 波节：x=2,6,10,14 波腹：x=0,4,8,12

6-13如习题6-13图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为

y1?2?10?3cos2?t；C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为y2?2?10?3cos(2?t??)，两式中y以m计，t以s计。设BP=0.40m，CP=0.50m，波速

v?0.2m?s?1，试求：(1)两波传到P点时的相位差；(2)当这两列波的振动方向相同时，在

P处合振动的振幅；(3)当这两列波动的振动方向互相垂直时，P点处合振动的振幅又如何? 解（1）据题意可知，S点的振动表达式为： y0?Acos?t 故平面波的表达式为：

xy??Acos?(t?)

u (2) 反射点的振动表达式为：

y?P?Acos?(t?D) u??)

考虑反射面的半波损失，则反射面的振动表达式为：

yP?Acos(?t?故反射波的表达式为：

y反?Acos???t??Du????D?x???D?????? ???u??u????x??2?D???Acos???t????????

????u??u

61

（2）另解：设SP之间有任一点B，波经过反射后传到B点，所经过的距离为（2D-x），则反射波在B点落后于O点的时间为∴ y反?Acos??(t?2D?x,并考虑半波损失。 u??2D?x?)??? u?习题6-13图

?Acos??t? (3) 合成波的表达式为：

??2D?ux????? uu? y合?y??y反 ?Acos???t???????x??2?Dx???????? ???Acos???t????u??????u??u ?2Acos?(4) 距O点为

??D??x????D??????cos??t????? 2u??2???u?uD处的一点的合振动方程为： 3??2?D????D???yD?2Acos????cos??t?????

2?2???3u?u?3

6-14 P，Q为两个振幅相同的同相相干波源，它们相距

3?，R为PQ连线上Q外侧的任意2一点，求自P，Q发出的两列波在R点处引起的振动的相位差和两波在R处干涉时的合振幅。

解（1）由第一列波在Q点的振动yQ?Acos?t和第二列波在O点振动的相位比，第一列波Q的相位超前?，得到第二列波在O点的振动为：

yo?Acos(?t??)

由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为：

l?x??yQ?Acos??(t?)?u??x??yO?Acos??(t?)???

u??u?习题6-14图

?T??????2?将l=1,x=xp代入，得到两列波在P点处的振动表达式为：

62

yP1?Acos(?t?yP22??? 2?xp?Acos(?t???)??2?xp)上述两个振动在P点引起的合振动为：

yp?yp1?yp2

?Acos(?t?2?????2?xp?)?Acos(?t?2?xp???)

??2Asin(?t?)sin(2?xp??)??(1)

(2) 当波的频率?=400Hz,波速u=400m/s时，由u=?λ可知，波长??u?1m。

v将??1m代入（1）式，（1）式中的xp换成变量x，得驻波方程为： y??2Asin(?t??)?sin(2?x??) ??2Asin?tsin2?x 为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:

sin2?x?0 即 2?x?k?得 x?(k?0,1,2?)

k 21, m, 1m 2

?1在O与Q之间(包括O、Q两点在内)，因干涉而静止的点的位置为：

x=0,

6-15两列火车分别以72km?h和54km?h的速度相向而行，第一列火车发出一个600Hz的汽笛声，若声速为340m?s，求在第二列火车上的乘客听见该声音的频率在相遇前是多少?在相遇后是多少?

解（1）因为波源的振动方程为：y?Acos?t

故波源向反射面发出的沿x轴负方向的行波波动表达式为：

?1?1y负?Acos(?t?沿x轴正方向传播的行波表达式为：

2??2?x)

y正?Acos(?t?

?x)

63

(2) 因为沿x轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为：

y??Acos(?t?将x??2?x?)

3?代入上式，得： 4y??Acos(?t?3?) 2因为反射面有半波损失，故作为反射波波源的振动表达式为：

y?Acos(?t?故反射波的行波波动方程分别为： 在MN-yO区域内

3????)?Acos(?t?) 22 YMN?yO?Acos??t????2??2?3??[?(?x)]? ?4?2??3x] 2 ?Acos[?t??2?2?x?2?] ?Acos[?t??或 yMN?yO?Acos(?t?在x>0区域内

yx?0?Acos[?t? ?Acos(?t?2?x??)

?22?x2?3?(?x)] ?4)

? 由此可见，反射波波源所发生的沿x轴正方向传播的行波，无论在MN-yO区域，还是在x>0区域，其波动议程皆可表示为：

y反?Acos(?t?

2?x?)

(a) (b) 习题6-15图

另解：在MN?y0区域内波从O点经过MN传播到P点所经过的距离为点落后于O点的时间

3??2?x,则P43??x2 u 64

3??x故y反?Acos[?(t?2u)??] ?Acos?(t?2??2?

?x)2?

?Acos?(t??x)在x>0区域内

3??2P点落后于O点的时间4?xu

则同理可证

y2?反?Acos(?t??x)

(3) 在MN-yO区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为： y合?y负?y反 ?Acos(?t?2?x?)?Acos(?t?2?x?) ?2Acos2?x??cos?t

这是驻波方程。

干涉极大条件为：|2Acos2?x?|?2A （波腹）

即干涉极大的坐标为：

x=0, ??2

干涉极小条件为：|2Acos2?x?|?0 (波节)

即干涉极的坐标为：

x???4, ?34? (4) 在x>0区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为：

y合?y正?y反

?Acos(?t?2?xt?2?x

?)?Acos(??)

?2Acos(?t?2?x?)这是振幅为2A的沿x轴正方向传播的行波。

65

6-16一驱逐舰停在海面上，它的水下声纳向一驶近的潜艇发射1.8?10Hz的超声波。由该潜艇反射回来的超声波的频率和发射频率相差220Hz，该潜艇航速多大?已知海水中声速为

41.54?103m?s?1。

解（1）由波源的振动表达式：

y?0.5cos(2?t??2)m

知，入射波的波动表达式为：

y??0.5cos(2?t?2?x???2)m

?0.5cos(2?t?4?x??2)m

因反射点有半波损失，将x=2m入射波动表达式，则反射波的振动表达式为：

y?0.5cos(2?t?13?2)m 反射波的波动表达式为：

y?反?0.5cos?2?t?2?(2?x)???13??2??m ?0.5cos??29???2?t?4?x?2??m ?0.5cos(2?t?4?x??2)m另解：反射波

从O点经过墙反射到P点经过的距离为4－x，则落后的时间为

4?xu ∴

yAcos??2?(t?4?x??习题6-16

反??2)???2??

?Acos??2?t?4?x2????? ??2??Acos????

?2?t?4?x?2?? y反?0.5cos(2?t?4?x??2)m

(2) 入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻流，波动表达式为：

y合?y??y反

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?29??0.5cos(2?t?4?x?)?0.5cos(2?x?4?x?)m2215? ?0.5cos(4?x? )cos(2?t?7?)m2?cos2?tsin4?x即为驻波的波动表达式。 (3) 因 sin4?x?0,则4?x?k?x?k 4因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2,…,8

12345678,,,,,,, 44444444113113 ?0,,,,1,1,1,1,2m?0,0.25,0.5,0.75,1,1,1.25,1.5,1.75,2m

424424 则波节为x?0,波腹：sin4?x?1

2k?1?2

2k?1x?84?x?因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2, …,7 波腹：x?13579111315,,,,,,,m 88888888波腹坐标为：

即波腹坐标为x=0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m

6-17一报警器发射频率为1000Hz的声波，离观察者向一悬崖运动，其速度为10m?s，求： (1)观察者直接从警报器听到的声音频率为多少? (2)从悬崖反射的声音频率为多少?

(3)听到的拍频为多少(空气中声速为340m?s)?

解（1）波源远离观察者运动，故?s应取负值，观察者听到的声音频率为：

?1?1v??u340v??100Hz?971.4Hz u??s340?10 (2) 波源向着悬崖运动，?s应取正值，从悬崖反射的声音频率为：

v???u340v??100Hz?1030.3Hz u??s340?10 67

.3?971.4)Hz?58.9Hz （3）拍频?v?v???v?(1030现论上应有58.9拍，但因为强弱相差太悬殊，事实上可能听不出拍频。

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