专题三：三角函数题型分析与预测

08高考数学二轮专题 C262

专题三：三角函数题型分析与预测

高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。

一、知识整合

1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数y?Asin(?x??)的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

高考考点分析

近三年湖南高考中本部分所占分值为17分左右，主要以一小一大形式出现，08年仍然会以一小一大的形式出现。纵观近几年来三角函数高考试题呈现了如下一些特征：

1.注重考查三角函数的化简、求值、图象、性质，尤其是三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值。作为基础题，有些题只需稍作变换即可作答的，也有些题给出的函数式较为复杂，必须经过化简成基本函数之后才能解决有关的函数性质和图象变化情况。

2.三角函数综合题，关注了三角知识向其他数学分支的辐射，同时又注意三角函数的图象和性质的灵活运用，或以三角知识为背景，考查学生运用数学知识和思想方法去综合分析、解决问题的能力，如有关数列、三角形、向量等题型。

3.注重考查数学建摸思想，结合三角函数知识，把实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力，对信息进行收集、加工、分析、整理等分析问题和解决问题的能力。

三、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

22

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。

222222

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；配凑角：α=（α+β）－β，β=

???2－

???2等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2?b2sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=

b确定。 a2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

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（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析

5?3?1?tanx，且x?(，)，求的值。

413441?tanx?5?3???解：因为sin(?x)?，且x?(，)，所以?x???，

4134424πtan?tanx?121?tanxππ124所以cos(?x)??，所以??tan(?x)?cot(?x)??

4131?tanx1?tanπtanx44542cos?及sin3??cos3?的值。例2.已知sin??cos??，??(0，?)，求sin?、

325解：因为sin??cos???(1)平方得sin?cos???，又因为??(0，?)，

318例1.已知sin(??x)?所以sin??0?cos?，由此可解得sin??2?142?14 ，cos??，6623。 2712例3.已知0??????90?，且sin?,sin?是方程x?(2cos40?)x?cos40???0的两根，

2sin3??cos3??(sin??cos?)(sin2??sin?cos??cos2?)??? 求cos(2???)的值。解：由题设知，

1sin??sin?，因为方程的??2cos240??4(cos240??)?2sin240?，由求根公式，

2sin??2又0????90?，所以??5?，(cos40??sin40?)?sin(45??40?)?sin5?，

22(cos40??sin40?)?sin(45??40?)?sin85?，26?2。 4sin??所以cos(2???)?cos(?75?)?cos75??又0????90?，所以??85?，tanβ??，且α，β?(0，π)，例4．已知tan(α?β)?，求2α?β的值。

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解：tan(2α?β)?tan[2(α?β)?β]?tan2(α?β)?tanβ，

1?tan2(α?β)?tanβ41?2tan(α?β)437?1， 又tan2(α?β)????，tan(2α?β)?2411?tan(α?β)31??37而tanα?tan[(α?β)?β]?tan(α?β)?tanβ1，α，β?(0，π)，所以???1?tan(α?β)?tanβ3π，所以 41π3πtanβ??，所以?β?π，?π?2α?β?0，所以2α?β??。

724π7π22)的最小值，并求其单调例5．求函数f(x)?53cosx?3sinx?4sinxcosx(?x?4240?α?区间。

π7π?x?) 424π ?33?2sin2x?23cos2x?33?4sin(2x?)

3解：f(x)?53cosx?3sinx?4sinxcosx(22因为

π7πππππ12?x?，所以?2x??，所以sin(2x?)?[，]， 424644322ππ7π?，即x?时，f(x)的最小值为33?22， 3424ππ7ππ7π因为y?sin(2x?)在[，]是单调递增的，所以f(x)在[，]上单调递增。

3424424所以，当2x?2例6．已知函数f(x)?4sinx?2sin2x?2，x?R。（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最

大值及此时x的集合；（2） 证明：函数f(x)的图像关于直线x??解：

π对称。 8f(x)?4sin2x?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sin2x)π?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?)

4(1)所以f(x)的最小正周期T?π，因为x?R，所以，当2x?ππ3π?2kπ?，即x?kπ?428第3页 共6页

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时，f(x)最大值为22；

(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x??π对称，只要证明对任意x?R，有8f(?ππ?x)?f(??x)成立， 88ππππ因为f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x，

8842ππππf(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x，

8842πππ所以f(??x)?f(??x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x??对称。

888例7．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2?c2?b2?ac，且a:c?(3?1):2，求角C的值。

π2πa2?c2?b21?，所以B?，所以A?C?解：a?c?b?ac，所以cosB?，

332ac2222又

ac2π??(3?1)sinC，得，所以2sinA?(3?1)sinC，即2sin(?C)sinAsinC3πtanC?1，所以C?。

4例8．在?ABC中，sinA?cosA?积。

解：由sinA?cosA?所以tanA?tan2，AC?2，AB?3，求tanA的值和三角形?ABC面2π5π7π2π1，得sin(A?)?，因为0?A?π，A??，A?，

46122427πππ?tan(?)????(2?3)，又因为 1234sinA?sin7πππ6?2?sin(?)???， 12344S?ABC?

116?23(6?2)AC?ABsinA??2?3?? 2244第4页 共6页

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????25例9．已知向量a?(cosα，， sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a?b|?5(1)求cos(α?β)的值；(2)若0?α?ππ5，??β?0，且sinβ??，求sinα的值。 2213????解：(1)因为a?(cosα所以a?b?(cosα?cosβ， ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，sinα?sinβ)，25??2522因为|a?b|?，所以(cosα?cosβ)?(sinα?sinβ)?，

55cos(α?β)?即2?2cos(α?β)?，(2) 0?α?453； 5ππ34，??β?0，0?α?β?π，又因为cos(α?β)?，所以 sin(α?β)?， 225551263sinβ??，所以cosβ?，所以sinα?sin[(α?β)?β]???。

131365?????2例10．已知向量a?(2cosα ，2sinα)，b=(?sinα，cosα)，x?a?(t?3)b，?????y??ka?b，且x?y?0，

(1)求函数k?f(t)的表达式；

，3]，求f(t)的最大值与最小值。 (2)若t?[?1?2???2??解：(1)a?4，b?1，a?b?0，又x?y?0，

??2??????2??222所以x?y?[a?(t?3)b]?(?ka?b)??ka?(t?3)b?[t?k(t?3)]a?b?0，

13313t?t，即k?f(t)?t3?t； 4444323(2)由(1)可得，令f(t)导数t??0，解得t??1，列表如下：

44所以k?

t －1 0 极大值 (－1，1) － 递减 1 0 极小值 (1，3) + 递增 f(t)导数 f(t) 第5页 共6页

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而f(?1)?，f(1)??，f(3)?，所以f(t)max?，f(t)min??

121292921。 2第6页 共6页

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