10、高一年级函数与方程及函数的零点问题

例1 函数f(x)?lnx?

A．(1,2)

2的零点所在的大致区间是（ ） xB．(2,e) C．(e,3)

D．(e,??)

例2 设f(x)?3x?3x?8, 用二分法求方程3x?3x?8?0在x?(1,2)内近似解的过程中，

计算得到f(1)?0,f(1.5)?0,f(1.25)?0, 则方程的根落在区间（ ） A．（1,1.25） B．（1.25,1.5） C．（1.5,2） D．不能确定

f(x)?ax2?bx?c．

（1）若f(?1)?0，判断函数f(x)零点的个数；

1（2）若f(1)?f(3)，证明方程f(x)?[f(1)?f(3)]必有一个实根属于(1,3)．

2例3 已知二次函数

例4 （1）函数

f(x)?3x2?6x?3的零点能用二分法求吗？请说明理由．

4（2）能用二分法求方程x?4x?2?0在区间[?1,2]内的近似解吗？如果有，能否判断

4方程x?4x?2?0在区间[?1,2]内至少有两个不同的根．

五、演练方阵

A档（巩固专练）

1．函数

f(x)?2x?3的零点所在区间为 ( )

A．（1，2） B．（0，1） C．（-1，0） D．（2，3） 2．在区间[3,5]上有零点的函数是 ( )

1?2 B．f(x)?2x?4 x2C．f(x)??x?3x?5 D．f(x)?2xln(x?2)?3 3．已知函数f(x)的图象是连续的，有如下的x, f(x)的对应值表：

A．f(x)??x 1 36.36 2 15.52 3 －3.92 4 10.88 5 －2.48 6 －32.6 f(x) 则函数f(x)存在零点的区间有( ) A．区间[1, 2]和[2, 3] B．区间[2, 3]和[3, 4] C．区间[2, 3] , [3, 4] , [4, 5] D．区间[3, 4], [4, 5]和[5, 6]

4．若方程x?x?1?0在区间(a,b)(a,b?Z,且b?a?1)上有一根，则a?b的值为( )

A．?3 B．?2 C．?1 D．?4 5．设x0是方程lnx?x?4的解，则x0在下列哪个区间内( )

3

1 耐心 细心 责任心

A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1） 6．若在

说法正确的是( )

?a,b?内的连续函数f(x)满足f(a)f(b)?0，关于“二分法”求方程的近似解，

?a,b?内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解一定得不到y?f(x)在?a,b?内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解y?f(x)在?a,b?内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)?0在?a,b?内的精确解

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y?f(x)在

?x7．方程28．函数

?x2?3的实数解的个数为 ．

f(x)?x3?2x2?x?2的零点为 ．

9．求函数f(x)?lnx?2x?6的零点个数．

10．求证：方程3?

x2?x在(0,1)内有且只有一个实数根． x?1

B档（提升精练）

1．对于函数

f(x)?x3?6x2?3x?5，借助计算器计算得f(?2)?0,f(1)?0，

f(0)?0,f(6)?0，则方程x3?5?6x2?3x解的个数是（ ） A．0 B． 1 C． 2 D．3

f(x)?2?x?3x有零点x0，则x0必属于区间( ) 1111A．(0,) B．(,) C．(,1) D．(1,2)

33223．已知函数f(x)?2mx?4，若f(x)在[?2,1]上存在零点，则实数m的取值范围是（ ）

5A．[?,4] B．[?2,1]

2 C．[?1,2] D． ???,?2???1,???

2．函数

4．若方程2ax?x?1?0在（0，1）内恰好有一个解，则a的取值范围是（ ）

A．a??1 5．函数

B．?1?a?1 C．a?1

D．0?a?1

2y?x3?x,x?(0,1)和y?x?1,x?(0,1)的图像的交点的横坐标为 ． （精确到0.1）

26．关于x的方程2ax?2x?3a?2?0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值

范围是 ．

7．某电器公司生产A种型号的家庭电脑，1996年平均每台电脑的成本5000元，并以纯利润

20%标定出厂价．1997年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生成 成本逐年降低．2000年平均每台电脑出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润 50%的高效率．

2 耐心 细心 责任心

（1）求2000年的每台电脑成本；

（2）以1996年的生产成本为基数，用“二分法”求1996年至2000年生产成本平均每年

降低的百分率．（百分率化成小数应精确到0.1）

8．求实数a的范围，使得关于x的方程x?ax?2?0在[1,3]上有解．

2

9．若函数y?f(x)在区间[a,b]内有零点，则f(a)?f(b)的值是 ( )

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．以上三种都可能

10．函数f(x)?lnx?x?2的零点个数为 ．

C档（跨越导练）

f(x)??x?log2x的零点所在区间为( ) 111111 A．[0,] B．[,] C．[,] D．[,1]

8484221x2．已知函数f(x)?()?log2x，设0?a?b?c，且满足f(a)?f(b)?f(c)?0，若实数

3x0是方程f(x)?0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )

1．函数

A．x0?a B．x0?b C．x0?c D．x0?c 3．若函数y?f(x)在区间

A．若f(a)f(b)?0，不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0

B．若f(a)f(b)?0，存在且只存在一个实数c?(a,b)使得f(c)?0 C．若f(a)f(b)?0，有可能存在实数c?(a,b)使得f(c)?0 D．若f(a)f(b)?0，有可能不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0 4．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）

?a,b?上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

3 耐心 细心 责任心

A．f(x)?x2?2x?1 B．f(x)?1?1 x1x?lnx D．f(x)?x?lgx?3 25．已知函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)?1，且f(?1)??1?0，f(0)?5?0，

C．f(x)?计算可得 区间 中点的值 中点函数近似值（符号） (?1,0) (?1,?0.5) (?1,?0.75) (?1,?0.875) (?0.9375,?0.875)

?0.5 ?0.75 ?0.875 ?0.9375 3.375(?) 2.828125(?) 0.392578125(?) ?0.2770996094(?) 那么在区间(0,1)上函数f(x)零点在精确到0.1下的近似值为____________． f(x)?ax2?4x?1，分别按下列要求求实数a的取值范围：

（1）函数y?f(x)在实数集R上有零点；

（2）函数y?f(x)在(0,??)上存在两个零点； （3）函数y?f(x)在(1,2)有且只有一个零点．

6．已知函数

7．（1）求方程lnx?2?8的根的个数；

x（2）借助计算器，用二分法求方程lnx?2?8的根．（精确到0.01）

x 8．函数

f(x)?x5?x?3的实数解落在的区间是( )

A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4] 9．求

f(x)?2x3?x?1零点的个数为 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

310．若方程x?x?1?0在区间(a,b)(a,b?Z,且b?a?1)上有一根，则a?b的值为（ ）

4 耐心 细心 责任心

．?4

5 耐心 细心 责任心A．?1 B．?2 C．?3 D

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