湖北省黄冈中学2013届高三6月适应性考试数学理试题（A卷）

湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三6月适应性考试数

学理试题（A卷）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A?{2,0,1}，集合B?{x||x|?a，且x?Z}，则满足A?B的实数a可以取的一个值是( )

A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知命题p：$x R,使sinx<1x成立． 则?p为（ ） 211A．$x R,使sinx=x成立 B．\x R,sinx

2211x成立 D．\x R,sinx3x均成立 C．$x R,使sinx3223．已知函数y?2sinx的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则b?a的值不可能是 （ ）

A．

5? 6 B．?

C．

7? 6 D．2?

4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin?x4的值介于?12与之间的概率为( ) 22A．

1 4 B．

125 C． D． 3365．按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是（ ）

A．(20,25] B．(30,32] C．(28,57] D．(30,57]

是 开始 输入x k=0 x=2x+1 k=k+1 否

x>115? . 输出k 结束 ?x?0?6．当实数x,y满足不等式?y?0时，恒有ax?y?2成立，则实数a的取值集合是（ ）

?x?2y?2?A．(0,1] B．(??,1] C．(?1,1] D．(1,2)

7．已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：

S S A S（A） C

正视图

B A（B） C 侧视图 B

在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC； ②平面SBC⊥平面SAB； ③SB⊥AC．

其中所有正确命题的代号是 （ ） A．① B．② C．①③ D．①②

x2y28．已知F是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点，E是双曲线的右顶点，过点F且

ab垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若?ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）

A．(1,2) B． (1, C． (1,3 ) D．(1,3) 2 )9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有 ( )

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 10．如图，在扇形OAB中，?AOB?60?，C为弧．AB上且与

A A,B不重合的一个动点，且OC?xOA?yOB，若 ．．．u?x??y(??0)存在最大值，则?的取值范围为（ ）

A．(,1) B．(1,3) C．(,2) D．(,3)

C 121213O

B （第10题图）

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填

在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ．．．．．．．（一）必考题（11—14题）

11．已知向量a?(2,3)，b?(?2,1)，则a在b方向上的投影等于 ．

12．从a,b,c,d,e这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有 种不同的放法．（用数学作答）

13．若函数f(x)?a?x?a(a?0且a?1) 有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 14．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n,如果n

x是偶数，就将它减半（即

n）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n?1），不断重复这样2的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：

（1）如果n?2，则按照上述规则施行变换后的第8项为 ． （2）如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为 ． ．．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，?ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交 于点E，?BAC的平分线与BC相交于点D， 若EB?8，EC?2，则ED?______． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C的极坐标方程是??2cos(???4)．

以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：??x?1?4t（t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为______．

?y??1?3t三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本题满分12分）

已知函数f(x)?Acos(?x??)（A?0,??0,?为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和 第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0?2?,?2) （1）求函数f(x)的解析式； （2）若锐角?满足cos??1，求f(2?)的值． 3?2???0）的图像与y轴的交点

18．（本题满分12分）

节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段 [80,85),[85,90),[90,95),[95,100), [100,105),[105,110)后得到如下图的频率分布直方图.

(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

(3)若从车速在[80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数?的分布列及数学期望.

频率 组距 0．060 0．050 0．040 0．020 0．010

19．（本题满分12分）

80 85 90 95 100 105 110 车速

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面A1ACC1?底面ABC，

?A1AC?60?．

（1）求侧棱AA1C所成角的正弦值的大小； 1与平面AB（2）已知点D满足BD?BA?BC，在直线AA1上是 否存在点P，使DP//平面AB1C？若存在，请确定点

P的位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为an%，B喷雾器中药水的浓度为bn%．

（1）证明：an?bn是一个常数； （2）求an与an?1的关系式； （3）求an的表达式．

21．（本小题满分13分）

y2x2已知抛物线C1:y?2px(p?0)的焦点F以及椭圆C2:2?2?1(a?b?0)的上、下焦

ab2点及左、右顶点均在圆O:x2?y2?1上． （1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（2）过点F的直线交抛物线C1于A,B两不同点，交y轴于点N，已知

????????????????NA??1AF,NB??2BF，求?1??2的值；

（3）直线l交椭圆C2于P,Q两不同点，P,Q在x轴的射影分别为P',Q'，

?????????????????????????????? OP?OQ?OP'?OQ'?1?0，若点S满足OS?OP?OQ，证明：点S在椭圆C2上．

22．（本小题满分14分） 已知f(x)??lnx,g(x)?1?1(x?0) x（1）求F(x)?f(x)?g(x)的极值，

并证明：若x1,x2?(0,??)有f(x2)?f(x1)?f'(x)(x2?x1)； （2）设?1,?2?0，且?1??2?1，x1?0,x2?0， 证明：?1f(x1)??2f(x2)?f(?1x1??2x2)，

若?i?0,xi?0(i?1,2,?,n)，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）； （3）证明：若ai?0(i?1,2,?,n)，则a11a22?an

aaan?(a1?a2???ana1?a2???an)

n

湖北省黄冈中学2013届毕业生适应性考试

数学（理工类）参考答案

A卷 B卷 1 A D 2 D A 3 D C 4 D B 5 C D 6 B D 7 A D 8 A C 9 C B 10 C D 1．【答案】A． 【解析】a=3时，B＝{－2，－1，0,1，2}，符合A?B． 2． 【答案】D

【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即?p:?x?R,sinx?3．【答案】D

【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D 4．【答案】D 【解析】由题意可得?x． 2?6??x4??4，即?25?x?1,其区间长度为，由几何概型公式知所3355求概率为3?．

265．【答案】C

【解析】当输出k＝2时，应满足?6．【答案】B

【解析】画出可行域，直线ax?y?2恒过定点（0，2），则可行域恒在直线ax?y?2的下方，显然当a?0时成立，当a?0时，直线即为

?2x?1?115 ，得28

2(2x?1)?1?115?xy??1，其在x轴的截距22a2?2?0?a?1，综上，可得a?1． a7．【答案】A 【解析】：显然有三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱SA垂直于底面ABC，底面是个直角三角形AC?BC，从而我们易知只有①是正确的

8．【答案】A

【解析】由于?ABE为等腰三角形，可知只需?AEF?45即可，即

0b2|AF|?|EF|??a?c，化简得e2?e?3?0?1?e?2．

a9．【答案】C

【解析】甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 0C，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，10.8?5?(32?26)2?18?(x?26)2，若x?21，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29． 10．【答案】C

【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以OB所在的直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，?COB??(??(0,?13))，则C(cos?,sin?),B(1,0),A(,)，由题意可得 32221??x?sin?cos??x?y??1323?? (cos?,sin?)?x(1,0)?y(,)????sin?22?sin??3y?y?cos????3?2?令f(?)?u?x??y???2??sin???cos?，??(0,)则f(?)在??(0,)不是单调函

333数，从而f'(?)??2??2??cos???sin??0在??(0,)一定有解，即tan??在

333??12????(0,)时有解，可得?(0,3)，即??(,2)，经检验此时f(?)此时正好有极

323?大值点． 11．【答案】 ?5 5【解析】a在b方向上的投影为acosa,b?a12．【答案】 96

43【解析】间接法A5?A4?96 13．【答案】a?1

a?ba?b5． ???abb5【解析】作图分析知当0?a?1时只有一个零点，当a?1时有两个零点 14．【答案】（1）1 ；（2）6

【解析】（1）如果n?2，按以上变换规则，得到数列：a1?2,a2?1,a3?4,?,a8?1； （2）设对正整数n按照上述变换，得到数列：a1,a2,?,a7,a8，∵a8?1，则a7?2

???a1?128??a3?32?a2?64????a1?21??a5?8?a4?16????a?5?a?10??a1?20

a8?1?a7?2?a6?4???2?3?a1?3???a2?1?a1?2?a5?1?a4?2?a3?4?????a2?8?a1?16?则n的所有可能取值为2，3，16，20，21，128，共6个．

15．【答案】4 【解析】?ADE??ABD??BAD，?DAE??DAC??EAC 而?ABD?EAC，?BAD??DAC，所以?ADE??DAE 所以EA?ED， ED?EA?EC?EB?16，所以ED?4 16．【答案】

227 5?x?1?4t【解析】把?化为普通方程为3x?4y?1?0，

?y??1?3t2cos(??)化为直角坐标系中的方程为x2?y2?x?y?0，

41117∴圆心到直线的距离为，∴弦长为2??．

1021005把??17．解：（1）由题意可得A?2

?T1?2?即T?4?，???????????????????? 3分 221 f(x)?2cos(x??)，f(0)?1

21??由cos??且????0，得???

2321?函数f(x)?2cos(x?)?? ??????????????????6分

23（2）由于cos??

221且?为锐角，所以sin?? 33f(2?)?2cos(???3)?2(cos?cos??sin?sin)?????????????10分

33?112231?26????????12分 ?2?(???)?32323(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于97.5

18．解(1)系统抽样 ?????????????2分

设图中虚线所对应的车速为x,则中位数的估计值为

0.01?5?0.02?5?0.04?5?0.06?(x?75)?0.5,解得x?97.5

即中位数的估计值为77.5 ?????????????6分 (3)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为m1?0.01?5?40?2(辆), 车速在[85,90)的车辆数为m2?0.02?5?40?4(辆) ∴??0,1,2,

201102C2C41C2C48C2C46,,, P(??0)??P(??1)??P(??2)??222C615C615C615?的分布列为

? P 0 1 2 1 158 156 15 均值E(?)?0?1?864?2??. ?????????????12分 1515319．解：（1)∵侧面A1ACC1?底面ABC，作A1O?AC于点O，∴A1O?平面ABC．

又?ABC??A1AC?60?，且各棱长都相等，∴AO?1，OA1?OB?3，

BO?AC． ???????????????2分

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，则

z

A(0,?1,0)，B(3,0,0)，A1(0,0,3)，C(0,1,0)，

∴AA,3)，AB1?(3,2,3)， 1?(0,1AC?(0,2,0)．??4分

设平面AB1C的法向量为n?(x,y,1)，

?O

y

??n?AB1?3x?2y?3则???n?AC?2y?0 ??AA1解得n?(?1,0,1)．由cos?AA1,n?AA1x ??n36． ???224?n而侧棱AA1C所成角，即是向量AA1C的法向量所成锐角的余角， 1与平面AB1与平面AB6???????6分

4

????????（2）∵BD?BA?BC，而BA??3,?1,0,BC??3,1,0.

∴侧棱AA1C所成角的正弦值的大小为1与平面AB????????∴BD?(?23,0,0)

又∵B(3,0,0)，∴点D的坐标为D(?3,0,0)． 假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0,y,z)，∴DP?(3,y,z)． ∵DP//平面AB1C，n?(?1,0,1)为平面AB1C的法向量，

??????????y?1??,?y?0． ?????10分 ∴由AP??AA，得?1?3??3又DP?平面AB1C，故存在点P，使DP//平面AB1C，其坐标为(0,0,3)，即恰好为A1点． ?????????12分 20．解：（1）开始时，A中含有10?12%=1.2千克的农药，B中含有10?6%=0.6千克的农药，n次操作后，A中含有10?an%?0.1an千克的农药，B中含有10?bn%?0.1bn千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而

． ??????????4分 0.1an?0.1bn?1.2?0.6,?an?bn?18（常数）

（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：9?an?1?1?bn?1?10an49an?1? ① ??????????8分 5544（3）令an???(an?1??)，利用待定系数法可求出λ=—9，所以an?9?(an?1?9)，

554可知数列?an?9?是以a1?9为首项，为公比的等比数列．

5494957由①，a1?a0???12??

555554n?1124n?14()?3()n， 由等比数列的通项公式知：an?9?(a1?9)()?55554n所以an?3()?9． ??????????12分

5p22221．解：（1）由抛物线C1:y?2px(p?0)的焦点F(,0)在圆O:x?y?1上得：

2由（1）知bn?1?18?an?1，代入化简得an?p2?1，?p?2，∴抛物线C1:y2?4x ??????????2分 4

y2x2同理由椭圆C2:2?2?1(a?b?0)的上、下焦点(0,c),(0,?c)及左、右顶点

ab(?b,0),(b,0)均在圆O:x2?y2?1上可解得：b?c?1,?a?2．得椭圆

y2C2:x??1． ??????????4分

22（2）设直线AB的方程为y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2)，则N(0,?k)．

?y2?4x联立方程组?，消去y得：k2x2?(2k2?4)x?k2?0,

?y?k(x?1)?2k2?4?x?x????16k2?16?0,且?12k2 ??????????5分

?xx?1?12????????????????由NA??1AF,NB??2BF得：?1(1?x1)?x1,?2(1?x2)?x2,

整理得：?1?x1x,?2?2 1?x11?x22k2?4?22x1?x2?2x1x2k??1??2????1． ??????????8分 22k?41?(x1?x2)?x1x21??12k（3）设P(xp,yp),Q(xQ,yQ),?S(xp?xQ,yp?yQ)，则P'(xp,0),Q'(xQ,0)

??????????????????yp22由OP?OQ?OP'?OQ'?1?0得2xpxQ?ypyQ??1；① xp??1；②

2xQ?2yQ22?1；③ ??????????11分

(yp?yQ)22由①+②+③得(xp?xQ)?2?1

∴S(xp?xQ,yp?yQ)满足椭圆C2的方程，命题得证． ??????????13分

22．解：（1）解：F(x)??lnx?11?x,则F'(x)?2, xx当x∈（0，1）时F'(x)?0，x∈（1，＋∞）时F'(x)?0，

∴F(x)在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，

F(x)max?F(0)?0 ??????????2分

∴当x?0时f(x)?g(x)恒成立，即x?0时lnx?1?∴f(x2)?f(x1)?ln1恒成立。 xx1x1?1?1??(x2?x1)?f'(x1)(x2?x1) ???????4分 x2x2x2证明：?1f(x1)??2f(x2)?f(?1x1??2x2)，

（2）证明：设?1,?2?0，且?1??2?1，令x3??1x1??2x2,，则x3?0，且

x1?x3??2(x1?x2)，x2?x3??1(x2?x1)，

由（1）可知f(x1)?f(x3)?f'(x3)(x1?x3)??2f'(x3)(x1?x2) ???①

f(x2)?f(x3)?f'(x3)(x2?x3)??1f'(x3)(x2?x1) ???②

①??1+②??2，得

?1f(x1)??2f(x2)?(?1??2)f(x3)??1?2f'(x3)(x1?x2)??1?2f'(x3)(x2?x1)?0

∴?1f(x1)??2f(x2)?(?1??2)f(x3)?f(x3)?f(?1x1??2x2)???????8分 猜想：若?i?0,xi?0(i?1,2,?,n)，且?1??2????n?1时有

?1f(x1)??2f(x2)????nf(xn)?f(?1x1??2x2????nxn) ???????9分

（3）证明：令?i?ai1,xi?(i?1,2,?,n)

a1?a2???anai由猜想结论得

ana1a2lna1?lna2???lnan

a1?a2???ana1?a2???ana1?a2???an??ln(=ln(ana1a2111???????)

a1?a2???ana1a1?a2???ana2a1?a2???anana1?a2???an)

na1?a2???an)，

n∴a1lna1?a2lna2???anlnan?(a1?a2???an)ln(即有a11a22?anaaan?(a1?a2???ana1?a2???an)。 ???????14分

n

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fodw.html