高中数学解析几何部分对称问题的研究

高中数学解析几何部分对称问题的研究

新乡市第一职业高中 冷中军（453000）

高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x轴、y轴、直线y= x）的轴对称。

现分述如下： 1、 关于中心对称

1.1、 关于坐标原点中心对称

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于坐标原点O（0，0）的对称点P（x,y）。

y y0

y y0 0

2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线L'：F(-x，-y)=0。 1.1.1、

点关于坐标原点中心对称

例如，点A（-3，2）关于坐标原点的中心对称点A'（3，-2）。

1.1.2、 线关于坐标原点中心对称

例如，直线Ax+By+C=0关于坐标原点的中心对称直线是-Ax-By+C=0，即：

Ax+By-C=0。

1.2、 关于任意点中心对称

理论推导：如图，点(

,)P（x,y）。

M为线段P00

2 m x 2m x0

由中点坐标公式 得：

y y0

y 2n y0 n

2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于任意点M(m,n)中心对称的曲线L'：F(2m-x，2n-y)=0。

1.2.1、点关于任意点中心对称

例1 （1996年上海）已知O（0，0）和A（6，3）两点，若P在直线OA上，OP1

，又知P是线段OB的中点，则B的坐标为 。 且

PA2

1

0 6 2 x

1 1

2解：设P（x，y），由定比分点坐标公式

1

0 3

y 1

1

1 2

得P（2，1）。

再利用中点坐标公式得：B（4，2）。所以应填（4，2）。 1.2.2、线关于任意点中心对称

思路提示：转化为点关于点的对称问题。

设直线l1关于任意点P中心对称的直线为l2。

主要方法：（1）、在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；（2）、求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式求直线方程；（3）、利用中心对称点P到l1、l2的距离相等。

例2 求与已知直线l1：2x+3y-6=0关于点P（1，-1）对称的直线l2的方程。 解法一：l1与坐标轴的交点为A（0，2）、B（3，0），设它们关于点P（1，-1）的对称点是A'(x1,y1)、B'(x2,y2)。

0 x1

2 1 x1 2'

对于A点，由中点坐标公式 得：

2 y1

y1 4 1

2

∴A'（2，-4）。 同理B'（-1，-2）。

过A'B'的直线即l2，由两点式求得方程为：2x+3y+8=0。

解法二：求l1上点A（0，2）关于点P（1，-1）的对称点A'（2，-4）（法一）。

22

因为l1∥l2，故k1 k2 ，由点斜式得：y+4= (x-2)

33

即 2x+3y+8=0。

解法三：因为l1∥l2，所以设l2为：2x+3y+D=0 又l1与l2关于点P（1，-1）对称，即P到l1与l2的距离相等

有

2 1 3 ( 1) 6

2 3

2

2

2 1 3 ( 1) D

2 3

2

2

，解得：D=8或D=-6。

当D=-6时为l1，故l2的方程为：2x+3y+8=0。

解法四：设l2上任一点（x,y）与l1上的（x1,y1）关于（1，-1）对称，

x x1

2 1 x1 2 x

由对称定义知 得 代入l1的方程得：

y y1

y1 2 y 1

2

2（2-x）+3（-2-y）-6=0 即2x+3y+8=0。 2、 关于轴对称

2.1、关于特殊轴的轴对称 2.1.1、关于坐标轴的轴对称

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于坐标轴x轴的对称点Px(x0, y0）、关于坐标轴y轴的对称点P( x,y）

。

引申：曲线L

Lx：F(x，-y)=0、关于y轴的对称曲线Ly：F(-x，y)=0。

2.1.1.1、点关于坐标轴的轴对称

例如，点A（6，-2）关于x轴的轴对称点Ax（6，2）、关于y轴的轴对称点Ay（-6，-2）。

2.1.1.2、线关于坐标轴的轴对称

例3 （1993年全国）和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（ ）。

A、3x+4y-5=0 B、3x+4y+5=0 C、-3x+4y-5=0 D、-3x+4y+5=0

解 ：由于关于x轴对称，只要把原直线3x-4y+5=0中的变量y改为-y即可。故选B。

例4 （1989年全国）自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 y2 4x 4y 7 0相切，求入射光线l所在直线的方程

思路提示：依对称性，入射光线一定和已知圆关于x轴的对称圆相切。

解：圆C的标准方程为(x 2)2 (y 2)2 1，它关于x轴对称的圆C'的方程为：(x 2)2 (y 2)2 1

设光线l所在直线的方程为：y 3 k(x 3) 依题意知：直线与圆C相切，有d

'

5k 5 k

2

1

43

即12k2 25k 12 0 解得：k 或k

3443

故所求直线方程为：y 3 (x 3)或y 3 (x 3)

34

即3x 4y 3 0或4x 3y 3 0

例5 （1992年上海）直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称，那么直线l的

方程是 。

解：由于关于y轴对称，因此用(-x,y)替换x+y-1=0中的(x,y)得-x+y-1=0，

即x-y+1=0，应填x-y+1=0。

2.1.2、关于直线y= x的轴对称

理论推导：如图，点(

,)P1（x,y），则有

x x0 2y x0 (x x0) (y y0) 0

x y0

同理，点P0(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P2（x,y），有

y x0

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于直线y=x的对称曲线

L1：F(y，x)=0、关于直线y=-x的对称曲线L2：F(-y，-x)=0。

2.1.2.1、点关于直线y= x的轴对称

例6 （1991年全国）P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ） A、（5，2） B、（2，-5） C、（-5，-2） D、（-2，-5）

解：因为点P关于直线y=-x对称，故其对称点的坐标只须将点P的坐标易位且变号即可。故选C。

(x 3)2(y 2)2

1关于直线x+y=0例7 （1997年全国）椭圆C与椭圆

94

对称，椭圆C的方程是（ ）

(x 2)2(y 3)2(x 2)2(y 3)2

1 B、 1 A、

4994(x 2)2(y 3)2(x 2)2(y 3)2

1 D、 1 C、

9449

解：如上同理，选A。

2.1.2.2、线关于直线y= x的轴对称

例8 （1990年全国）如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（ ）

11

A、a=，b=6 B、a=，b=-6 C、a=3，b=-2 D、a=3，b=6

33

解：直线y=ax+2关于直线y=x对称的方程为x=ay+2 即x-ay-2=0 — — — — —（1）

又知此方程为3x-y-b=0 — — —（2）

1 a 21

比较（1）（2）方程系数有 ，则a=，b=6故选A。

3 1 b3

例9 （1992年全国理）已知直线l1和l2的夹角的平分线方程为y=x，如l1

的方程是ax+by+c=0 (ab＞0) ，那么l2的方程（ ）

A、bx+ay+c=0 B、ax-by+c=0 C、bx+ay-c=0 D、bx-ay+c=0

解：因为l1和l2的夹角的平分线方程为y=x，所以l1和l2关于直线y=x对称，其方程为：bx+ay+c=0 。故选A。

2.2、关于任意直线的轴对称

2.2.1、点关于任意直线的轴对称

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于任意直线L：Ax+By+C=0的对称点P（x,y），则有直线L：Ax+By+C=0的方向向量v ( B,A)，与P0P的内积等于零， P0 B(x x0) A(y y0) 0

即：Ay Bx Bx0 Ay0 0————（1）

再根据P0P的中点在直线L上，得：A

x0 xy y

B 0 C 0 22

即：By Ax Ax0 By0 2C 0————（2）

(A2 B2)x0 2ABy0 2AC

x 22 A B联立（1）、（2）解出点P的坐标 22

2ABx (B A)y 2BC00 y A2 B2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于直线l：Ax+By+C=0的对称曲线L'：

2ABy (A2 B2)x 2AC2ABx (B2 A2)y 2BC

（ ， ）=0。

A2 B2A2 B2

主要方法：（1）、点与对称点的中点在已知直线上；点与对称点的连线的

斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单）或点与对称点的连线的方向向量与已知直线的方向向量的内积等于零。（2）、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，再解方程组求出两直线的交点，再利用中点坐标公式求解。

例10 求点A（-3，5）关于直线a：3x-4y+4=0对称的坐标。

解法一：设点A（-3，5）关于直线a的对称点A'(x',y')，则AA' a且AA'

的中点在a上。

x' 3y' 53 4 4 0 x' 3 22有 解得： ' '

y 53y 3 1' x 34

所以点A（-3，5）关于直线a对称点坐标为（3，-3）。

解法二：设过点A（-3，5）与直线a垂直的直线方程为：4x+3y+D=0 将点A（-3，5）代入方程得：D=-3 即4x+3y-3=0

3x 4y 4 0 x 0联立 知交点P为

4x 3y 3 0y 1

设点A（-3，5）关于直线a的对称点为A'，则P为AA'的中点，利用中点坐标公式求得A'（3，-3）。

例11 △ABC的顶点A（4，-1），其他两角平分线为l1：x-y-1=0，l2：x=1，求BC边所在直线方程。

解：三角形一个顶点关于另两角平分线的对称点必在这个顶点的对边上。x=1的对称点为A（x-y-1=0的对称点为A1(a,b)，A关于l2：-1），设A关于l1：2-2，

a 4b 1

2 2 1 0 a 0则 解得： b 1b 3 1

a 4

所以A1(0,3) BC的方程由两点式得：2x-y+3=0 。

2.2.2、线关于任意直线的轴对称

主要方法：设直线a、b关于直线l对称，根据平面几何知识，知有如下三个性质：（1）、若a和b相交，则l是a、b交角的平分线；若a∥b，则b∥l且a、b与l等距；（2）、若点A在a上，则A关于l的对称点B在b上，且AB⊥l，AB的中点在l上；（3）、设P（x，y）是所求直线上一点，则P关于l的对称点

P0的坐标也适合直线a的方程。

例12 求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b方程。

2x y 4 0

解法一：由 解得直线a与l的交点E（3，-2），显然点E

3x 4y 1 0也在直线b上。设直线b的斜率为k，由l是a、b交角的平分线，得：

33k ( ) ( 2)

2 解得：k

3311

1 k ( )1 ( ) ( 2)

44

由点斜式，得直线b的方程是： 2x+11y+16=0 。

解法二：a：2x+y-4=0上取一点A（2，0），设A关于l的对称点B(x0,y0)，

y0 0 x0 23 4 1 0 48 22B(, ) 则 解得：y0 0455 x0 23

由解法一知E（3，-2），所以直线b的方程是： 2x+11y+16=0 。 解法三：设P（x，y）为直线b上任一点，P关于l的对称点P0(x0,y0)，

y0 y x0 x3 4 1 0 22则 y y04 x x03

7x 24y 3

x 0

25解得 24x 7y 4 y0

25 ∵P0(x0,y0)在直线a上

7x 24y 3 24x 7y 4 4 0

2525

即直线b的方程是： 2x+11y+16=0 。

∴2

2x y 4 0对称的直线l2的方程。例13 求直线l1： 2x-y+3=0关于直线l：

解：∵l1∥l ∴l2∥l

设l2的方程为 2x-y+m=0，则l1与l的距离等于l2与l之距

∴

4 3

m 45

∴m=5或 m=3（舍去）

∴l2的方程为 2x-y+5=0 。

[参考文献]:1、《中学理科》（高中版） 2、《中学数学教与学》（高中版） 3、《数学基础知识手册》（高中） 4、《数学》（高中教材）

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