MATLAB曲线拟合的应用

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ＭＡＴＬＡＢ曲线拟合的应用　

王磊品　吴东　

新疆泒犨泰克石油科技有限公司　新疆油田公司准东采油厂信息所　

摘　　要：１．阐述ＭＡＴＬＡＢ数学分析软件的基本功能；　

２．对ＭＡＴＬＡＢ在生产数据分析中的应用进行了研究，指出曲线拟合的基本方法；　３．以实例阐明ＭＡＴＬＡＢ与行业生产数据结合对生产数据进行分析的原理。　关键词：ＭＡＴＬＡＢ；曲线拟合；插值　

１．引言　

在生产开发过程中，复杂的生产数据之间或多或少的存在着这样或者那样的联系，如何利用现今普及的计算机以及网络资源在最短的时间内找到这个联系，以指导我们的生产开发，这对于行业科研人员来说无疑是一个最为关心的问题。ＭＡＴＬＡＢ矩阵分析软件，自推出以来，已成为国际公认的最优秀的数学软件之一，其范围涵盖了工业、电子、医疗以及建筑等各个领域，以其强大的科学计算功能使众多科研机构纷纷采用。　

为此，本文从介绍ＭＡＴＬＡＢ软件开始，以实例讲述如何使用ＭＡＴＬＡＢ对生产开发数据进行计算与分析，从而达到高效、科学指导生产的目的。　

２．ＭＡＴＬＡＢ简介　

ＭＡＴＬＡＢ是ＭａｔｈＷｏｒｋｓ公司于１９８２年推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件。由于使用编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不象学习其它高级语言那样难于掌握，用Ｍａｔｌａｂ编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题，　所以又被称为演算纸式科学算法语言。在这个环境下，对所要求解的问题，　用户只需简单地列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。　　

ＭＡＴＬＡＢ的含义是矩阵实验室（ＭＡＴＲＩＸ　ＬＡＢＯＲＡＴＯＲＹ），主要用于方便矩阵的存取，其基本元素是无须定义维数的矩阵。自问世以来，　就是以数值计算称雄。ＭＡＴＬＡＢ进行数值计算的基本单位是复数数组（或称阵列），这使得ＭＡＴＬＡＢ高度　“向量化”。经过十几年的完善和扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具。由于它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、　优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的。美国许多　大学的实验室都安装有供学习和研究之用。　

ＭＡＴＬＡＢ中包括了被称作工具箱（ＴＯＯＬＢＯＸ）的各类应用问题的求解工具。工具箱实际上是对ＭＡＴＬＡＢ进行扩展应用的一系列　ＭＡＴＬＡＢ函数（称为Ｍ文件），它可用来求解各类学科的问题，包括信号处理、图象处理、控制系统辨识、神经网络等。随着　ＭＡＴＬＡＢ版本的不断升

级，其所含的工具箱的功能也越来越丰富，因此，应用范围也越来越广泛，成为涉及数值分析的各类工程师不可不用的工具。　　

ＭＡＴＬＡＢ中包括了图形界面编辑ＧＵＩ，改变了以前单一的“在指令窗通过文本形的指令进行各种操作的状况。这可让使用者也可以像ＶＢ、ＶＣ、ＶＪ、ＤＥＬＰＨＩ等那样进行一般的可视化的程序编辑。在命令窗口（ｍａｔｌａｂ　ｃｏｍｍａｎｄ　ｗｉｎｄｏｗ）键入ｓｉｍｕｌｉｎｋ，就出现（ＳＩＭＵＬＩＮＫ）　窗口。以往十分困难的系统仿真问题，用　ＳＩＭＵＬＩＮＫ只需拖动鼠标即可轻而易举地解决问题，这也是近来受到重视原因所在。　

３．曲线拟合与插值　

在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据（通常是测量值）的任务。对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。这种方法在下一节讨论。这里讨论的方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。　

３．１．曲线拟合　

曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。　

在ＭＡＴＬＡＢ中，函数ｐｏｌｙｆｉｔ求解最小二乘曲线拟合问题。　

１１．２］；　

为了用ｐｏｌｙｆｉｔ，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。如果我们选择ｎ＝１作为阶次，得到最简单的线性近似。通常称为线性回归。相反，如果我们选择ｎ＝２作为阶次，得到一个２阶多项式。现在，我们选择一个２阶多项式。　

　　　？　ｎ＝２；　％给定阶数　？　ｐ＝ｐｏｌｙｆｉｔ（ｘ，　ｙ，　ｎ）％输出多项式向量　？　ｘ＝［０　　．１　　．２　　．３　　．４　　．５　　．６　　．７　　　．８　　．９　　１］；　？　ｙ＝［－．４４７　　１．９７８　　３．２８　　６．１６　　７．０８　　７．３４　　７．６６　　９．５６　　９．４８　　９．３０　　

ｐｏｌｙｆｉｔ输出一个多项式系数的行向量。其解是ｙ　＝－９．８１０８ｘ２　＋２０．１２９３ｘ－０．０３１７。为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。　

？　ｘｉ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（０，　１，　１００）；％生成１００个点的行向量　　？　ｚ＝ｐｏｌｙｖａｌ（ｐ，　ｘｉ）；％计算在ｘｉ数据点的多项式值　？　ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ，＇ｏ＇，ｘ，ｙ，ｘｉ，ｚ，＇：＇）％绘图　

画出了原始数据ｘ和ｙ，用＇ｏ＇标出该数据点，在数据点之间，再用直线重画原始数据，并用虚线画出多项式数据ｘｉ和ｚ。　

？　ｘｌａｂｅｌ（＇ｘ＇），ｙｌａｂｅｌ（＇ｙ＝ｆ（ｘ）＇），ｔｉｔｌｅ（＇２阶曲线拟合＇）％标志　

多项式阶次的选择是由任意的。两点决定一条直线或一阶多项式，三点决定一个平方或２阶多项式。按此进行，ｎ＋１数据点唯一地确定ｎ阶多项式。于是，在上面的情况下，有１１个数据点，我们可选一个高达１０阶的多项式。然而，高阶多项式给出很差的数值特性，人们不应选择比所需的阶次高的多项式。此外，随着多项式阶次的提高，近似变得不够光滑，因为较高阶次多项式在变零前，可多次求导。例如，选一个１０阶多项式　

　　？　ｐｐ＝ｐｏｌｙｆｉｔ（ｘ，　ｙ，　１０）；　？　ｆｏｒｍａｔ　ｓｈｏｒｔ　ｅ　？　ｐｐ．＇　

要注意在现在情况下，多项式系数的规模与前面的２阶拟合的比较。还要注意在最小（－４．４７００ｅ－００１）和最大（５．８２３３ｅ＋００６）系数之间有７个数量级的幅度差。将这个解作图，并把此图与原始数据及２阶曲线拟合相比较，让我们来看一下结果：　

　？　ｚｚ＝ｐｏｌｙｖａｌ（ｐｐ，　ｘｉ）；　？　ｐｌｏｔ（ｘ，　ｙ，　＇　ｏ　＇　，　ｘｉ，　ｚ，　＇　：　＇　，　ｘｉ，　ｚｚ）　？　ｘｌａｂｅｌ（‘ｘ’），ｙｌａｂｅｌ（＇ｙ＝ｆ（ｘ）＇），ｔｉｔｌｅ（＇　２阶和１０阶插值　＇）　

在下面的图３．１中，原始数据标以＇ｏ＇，２阶曲线拟合是虚线，１０阶拟合是实线。注意，在１０阶拟合中，在左边和右边的极值处，数据点之间出现大的纹波。当企图进行高阶曲线拟合时，这种纹波现象经常发生。根据图１，显然，点越多就越好的观念在这里不适用。　

图１　　２阶和１０阶曲线拟合　

３．２．一维插值　

正如在前一节对曲线拟合所描述的那样，插值定义为对数据点之间函数的估值，这些数据点是由某些集合给定。当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。例如，当数据点是某些实验测量的结果或是过长的计算结果时，就有这种情况。　

如曲线拟合一样，插值要作决策。根据所作的假设，有多种插值。而且，可以在一维以

上空间中进行插值。即如果有反映两个变量函数的插值，ｚ＝ｆ（ｘ，　ｙ），那么就可在ｘ之间和在ｙ之间，找出ｚ的中间值进行插值。ＭＡＴＬＡＢ在一维函数ｉｎｔｅｒｐ１和在二维函数ｉｎｔｅｒｐ２中，提供了许多的插值选择。　

为了说明一维插值，考虑下面的问题：抽油机在从下行点走到上行点所经过的上行过程中油杆位移量与载荷量的关系。假设抽油机油杆的运动从１米到４米位移均匀，我们在这段位移范围内均匀测量２０个油杆的载荷数据。数据存储在两个ＭＡＴＬＡＢ变量中。　

？　ｓ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（１，４，２０）；％生成２０个点的位移值，存入向量ｓ　

？　ｗｅｌｌｌｏａｄ＝［２２．３１，　２２．３１，　２２．６１，　２２．６１，　２２．９１，　２３．０６，　２３．３５，　２３．８，　２４．４，　２４．６９，　２４．９９，　２５．４４，　２７．０７，　２７．８２，　２８．５６，　２９．０１，　３０．０５，　３０．９４，　３２．２８，　３３．４７］；　％将２０个点的载荷值存入向量ｗｅｌｌｌｏａｄ　

？　ｐｌｏｔ（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，’ｏ’）％绘制功图　

？　ｔｉｔｌｅ（＇　功图　＇）％添加标题　？　ｘｌａｂｅｌ（＇　位移＇），ｙｌａｂｅｌ（＇载荷＇）％添加坐标轴名称　

图２　　在线性插值下功图曲线　

正如图２看到的，ＭＡＴＬＡＢ画出了数据点线性插值的直线。为了计算在任意给定位移的载荷值，我们可用函数ｉｎｔｅｒｐ１。　

？　ｔ＝ｉｎｔｅｒｐ１（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，１．３６）％估算在１．３６位移处的载荷值　

？　ｔ＝ｉｎｔｅｒｐ１（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，［２．３５，３．２，３．８９］）％三个位移值的载荷　

ｉｎｔｅｒｐ１的缺省用法是由ｉｎｔｅｒｐ１（ｘ，　ｙ，　ｘｏ）来描述，这里ｘ是独立变量（横坐标），ｙ是应变量（纵坐标），ｘｏ是进行插值的一个数值数组。另外，该缺省的使用假定为线性插值。　

若不采用直线连接数据点，我们可采用某些更光滑的曲线来拟合数据点。最常用的方法是用一个３阶多项式，即３次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，每个３次多项式的头两个导数与该数据点相一致。这种类型的插值被称为３次样条或简称为样条。函数ｉｎｔｅｒｐ１

也能执行３次样条插值。如：　

　？　ｔ＝ｉｎｔｅｒｐ１（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，１．３６，　＇ｓｐｌｉｎｅ＇）％计算在１．３６位移处的载荷值　？　ｔ＝ｉｎｔｅｒｐ１（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，［２．３５，３．２，３．８９］，＇ｓｐｌｉｎｅ＇）％三个位移值的载荷　

注意，样条插值得到的结果，与上面所示的线性插值的结果不同。因为插值是一个估计或猜测的过程，应用不同的估计规则会得到不同的结果。　

一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组数据，使用样条插值在更细的间隔求值。如：（接前面的例子）　

　？　ｓ１＝１：０．１：４；％每０．１米位移估算一次载荷　？　ｌｏａｄ＝ｉｎｔｅｒｐ１（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，ｓ１，＇ｓｐｌｉｎｅ＇）；％用三次样条估算载荷　？　ｐｌｏｔ（ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，＇－＇，ｓ，ｗｅｌｌｌｏａｄ，＇＋＇，ｓ１，ｌｏａｄ）％绘图　？　ｔｉｔｌｅ（＇功图＇）％添加标题　？　ｘｌａｂｅｌ（＇位移＇），ｙｌａｂｅｌ（＇载荷＇）％添加坐标轴标题　

在图３中，虚线是线性插值，实线是平滑的样条插值，标有＇　＋　＇的是原始数据。如要求在位移轴上有更细的间隔，并使用样条插值，我们有一个更平滑、但不一定更精确地对载荷的估计曲线。尤其应注意，在数据点，样条解的斜率不突然改变，即更为平滑。作为这个平滑插值的回报，３次样条插值要求更大量的计算，因为必须找到３次多项式以描述给定数据之间的特征。　

图３　在不同插值下功图曲线　

３．３．小结　

下面的表１总结了在ＭＡＴＬＡＢ中所具有的曲线拟合和插值函数。　

　曲　线　拟　合　和　插　值　函　数　

ｐｏｌｙｆｉｔ（ｘ，　ｙ，　ｎ）　对描述ｎ阶多项式ｙ＝ｆ（ｘ）的数据进行最

小二乘曲线拟合　

ｉｎｔｅｒｐ１（ｘ，　ｙ，　ｘｏ）　

ｉｎｔｅｒｐ１（ｘ，　ｙ，　ｘｏ，　＇　ｓｐｌｉｎｅ＇）　　

ｉｎｔｅｒｐ１（ｘ，　ｙ，　ｘｏ，　＇　ｃｕｂｉｃ　＇）　

ｉｎｔｅｒｐ２（ｘ，　ｙ，　Ｚ，　ｘｉ，　ｙｉ）　

ｉｎｔｅｒｐ２（ｘ，　ｙ，　Ｚ，　ｘｉ，　ｙｉ，＇　ｃｕｂｉｃ＇）　１维线性插值　１维３次样条插值　１维３次插值　２维线性插值　２维３次插值　

ｉｎｔｅｒｐ２（ｘ，　ｙ，　Ｚ，　ｘｉ，　ｙｉ，　＇　ｎｅａｒｅｓｔ　＇）　２维最近邻插值　