2010年五校联盟自主招生选拔通用数学基础测试题

2010年五校合作自主选拔通用基础测试：数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． a i

1． 设复数w ，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为

1 i 3113A． B． C． D．

2222

2． 设向量a，b满足a b 1，a b m，则a tb t R 的最小值为

2

A．2 B

C．1 3． 如果平面 ， ，直线

D

点满足：A，B

π

∥ ，m ，n ，A ，B ，且AB与 所成的角为，m⊥AB，n与

4

π

AB所成的角为，那么m与n所成角的大小为

3

ππππA． B． C． D．

3468

4． 在四棱锥V ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体

积与四棱锥V ABCD的体积之比为 A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3

AC

5． 在△ABC中，三边长a，b，c满足a c 3b，则tantan的值为

22

1112A． B． C． D．

4235

6． 如图△ABC的两条高线AD，BE交于H，其外接圆圆心为O，过A

O作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则△OFG与

E△GAH面积之比为

A．1:4 B．1:3 C．2:5 D．1:2 O

m，n，

B

F

C

7． 设f x eax a 0 ，过点P a，0 且平行于y轴的直线与曲线C:y f x 的交点

为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则△PQR的面积的最小值是

e2e

A．1 B

C． D．

42

x2y2x2y2

8． 设双曲线C1:2 k a 2，k 0 ，椭圆C2:2 1，若C2的短轴长与C1

a4a4

的实轴长的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为

A

． B．2 C

． D．4

9． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3

个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色

组合，则n的最小值为 A．6 B．7 C．8 D．9

10． 设定点A、B、C、D是以o点为中心的正四面体的顶点，用 表示空间以直线OA为

轴满足条件 B C的旋转，用 表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为

过AB中点与CD中点的直线，用 表示空间以l为轴的180旋转，设 表示变换的复合，先作 ，再作 ，则 可以表示为 A． B． C． D．

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11． （本题满分14分）

A B

在△ABC中，已知2sin2 cos2C 1，外接圆半径R 2．

2

⑴ 求角C的大小；

⑵ 求△ABC面积的最大值． 12． （本题满分14分）

设A，B，C，D为抛物线x2 4y上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为

d1，d2，

已知d1 d2 ．

⑴ 判断△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；

⑵ 若△ABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程． 13． （本小题满分14分）

⑴

正四棱锥的体积V求正四棱锥的表面积的最小值；

⑵ 一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值．

14． （本小题满分14分）

假定亲本总体中三种基因型式：A，A，Aa的比例为

0u:2v:w (u，0 ，v0， w uv

w 1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． ⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；

⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．

15． （本小题满分14分）

1x m

设函数f x ，且存在函数s t at b t ，a 0 ，满足

2x 1

s2 1 2t 1

． f

ts

2s 1 2t 1

⑴ 证明：存在函数t s cs d s 0 ，满足f ；

t s 1

，证明：xn 2≤n 1． ⑵ 设x1 3，xn 1 f xn ，n 1，2，

3

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