山西大同大学10届本科毕业论文设计选题汇总表

第八章 假设检验

1. 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又可能犯哪一类错误？

解 根据定义，在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯第二类错误；若检验结果是拒绝原假设，则又可能犯第一类错误.

2. 设来自总体X~N(?,1)的样本(X1,X2,?,X16)的观测值为(x1,x2,?,x16)，若检验问题

H0 ：???= 2 ， H1 ：???≠?2

的拒绝域为W?{x?2.5}，求检验犯第一类错误的概率.

解 因样本(X1,X2,?,X16)来自于总体X~N(?,1)，故在H0 ：???= 2成立的条件下，样本均值X~N(?,1)，则所求为 16P (拒绝H0|H0为真)

?P{X?2.5}?1?P{X?2.5}?1??(2.5?2)1/4

?1??(2)?1?0.9772?0.0228习题8.2

1．已知某砖厂生产的砖的抗断强度服从正态分布N（32.5 ，1.1），现随机抽取6块，测得抗断强度（单位：公斤∕厘米2）如下：

32.56 ，29.66 ，31.64 ，30.00 ，31.87 ，31.03

试问这批砖的平均抗断强度是否为32.50（显著性水平????= 0.10）？

解 检验的假设为

H0:??32.50,此为双侧U检验, 检验统计量为

2H1:??32.50

U?X?32.50

1.1/6 查标准正态分布表, 得临界值

u??u0.05?1.645

2故拒绝域为

??W??u?u????u?1.645?

?2?又由题设可算得x?31.13,故U的样本观测值为 u?31.1?31.1/32.5?3.03?1.6 4 56所以拒绝H0, 即不能认为平均抗断强度为32.50.

2．某种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现从一批这种元件中随机抽取25个，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差为????= 100的正态分布．可否据此判定这批元件不合格（显著性水平????= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:??1000,此为单侧U检验,检验统计量为

H1:??1000

U?查标准正态分布表, 得临界值

X?1000

?/n u??u0.05?1.645 故拒绝域为

W?{U????}??U??1.645? 又由题已知x?950, 故检验统计量U的样本观测值为 U?950?1000??2.5??1.645

100/25所以拒绝H0, 即应判定这批元件不合格.

0.75）3．在正常情况下工厂生产的某种型号的无缝钢管的内径服从正态分布N（54 ，，

从某日生产的钢管中抽出10根，测得内径（单位：cm）如下：

53.8 ，54.0 ，55.1 ，52.1 ，54.2 ，54.2 ，55.0 ，55.8 ，55.1 ，55.3

2如果标准差不变，该日生产的钢管的平均内径与正常生产时是否有显著差异（???= 0.05）？

解 检验的假设为 H0:??54,此为双侧U检验,检验统计量为 U?查标准正态分布表, 得临界值

u??u0.025?1.96

2H1:??54

X?54

?/n故拒绝域为

W?{U?u?}?{U?1.96}

2又由题设可算得x?54.5, 故U的样本观测值为 U?54.5?54?2.11?1.96

0.75/10所以接受H0,即可以认为该日生产的钢管的平均内径与正常生产时无显著差异.

4．某人从一房地产商处购买了一套据称是120平方米的住房，?并请人对房子的建筑面积（单位：平方米）进行了5次独立测量，得数据如下：

119.2 ，118.5 ，119.7 ，119.4 ，120.0

设测量值近似地服从正态分布，可否据此判定该套住房“缺斤短两”（显著性水平????= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:??120,，H1:??120. 此为单侧T检验.,检验统计量为 T?查t分布表,得临界值

t?(n?1)?t0.05(4)?2.13 故拒绝域为

X?120

S/n W?{T??t?(n?1)}?{T??2.13} 又由题设可算得x?119.4, s = 0.57, 故检验统计量T的样本观测值为 t?119.4?120??2.35??2.13

0.57/5所以拒绝H0, 即认为该住房面积不够120平方米.

5．已知制药厂一自动生产线生产的一种药片中有效成分的含量（单位：mg）服从正态分布，按照标准，该药片中有效成分的含量不应低于100 ．某日厂质检科从自动生产线生产的药片中抽查了40片，测得其中有效成分的平均含量为98 ，样本标准差为5.8 ．厂质检科是否可以据此以0.05的显著性水平判定生产线该日生产的药片质量未达标？若将显著性水平改为0.01结论如何？

解 检验的假设为

H0:??100, H1:??100. 此为单侧T检验, 检验统计量为 T?查t分布表, 得临界值

t?(n?1)?t0.05(39)?1.68 故拒绝域为

W?{T??t?(n?1)}?{T??1.68} 又由题设可算得x?119.4, s = 5.8, 故检验统计量T的样本观测值为 U?X?100

S/n98?100??2.18??1.68

5.8/40所以显著水平为0.05时,拒绝H0,即应判定生产线该日生产的药片质量未达标.

同理, 当显著水平为0.01时, 查t分布表, 得临界值 t?(n?1)?t0.01(39)?2.43

检验统计量T的样本观测值为 U?98?100??2.18??2.43

5.8/40所以显著水平为0.01时，接受H0，即尚不能判定生产线该日的药片质量未达标.

6．某车间生产钢丝，生产一向比较稳定，?且其产品的折断力（单位：kg）服从正态分布．今从产品中随机抽出10根检查折断力，得数据如下：

578 ，572 ，570 ，568 ，572 ，570 ，570 ，572 ，596 ，584

问：是否可以相信该车间的钢丝折断力的方差为64（显著性水平????= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:?2?64,双侧?2检验，检验统计量为

H1:?2?64

(n?1)S2 ??

642查自由度为n - 1 = 9的?2分布表，得得临界值 拒绝域为

2 W?{?2??2?(n?1)或?2???(n?1)}

1?22222?2?(n?1)??0.975(9)?2.7， ??(n?1)??0.025(9)?19.02 1?22又由题设可得S 2 = 75.73, 检验统计量的样本观测值为 ??因为

2(10?1)?75.73?10.65

642.7??2?19.2

所以接受H0，即可以认为该车间的钢丝折断力的方差为64.

7．一自动车床加工零件的长度（单位：mm）服从正态分布N（? ，?），原来加工精度?0 = 0.18 ，?经过一段时间加工后，为检验该车床加工精度而随机抽取了31个零件，测得数据如下：

22

零件长 频 数

10.1 1 10.3 3 10.6 7 11.2 10 11.5 6 11.8 3 12.0 1 问：该车床的加工精度是否有所降低（显著性水平????= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:?2?0.18,H1:?2?0.18 单侧?2检验，检验统计量为

(n?1)S2 ??

0.182查自由度为n-1 = 30的?2分布表，得临界值 拒绝域为

2 W?{?2???(n?1)}

2??(n?1)??0.05(30)?43.77

又检验统计量的样本观测值为 ??2(31?1)?0.2667?44.45?43.77

0.18所以拒绝H0，即判定加工精度有所降低.

习题8.3

1．装配某种零部件可以采用两种不同的生产工序，经验表明，用这两种工序装配零部件所需的时间（单位：分钟）分别服从标准差为?1?2,?2?3的正态分布。现对两种工序装配零部件所需的时间进行了抽样检查，两种工序每装配10个零部件平均所需的时间分别为5和7分钟。在??0.10的显著水平下，检验两种工序的效率是否有显著差异？

解 检验的假设为

H0:?1??2,双侧U检验，检验统计量为 U?H1:?1??2

X?Y?21m??22

n拒绝域为

W?{|U|?u?}

2查表得临界值

u??u0.05?1.645

2这里?12?22,2?2?32,m?n?10，且x?5,y?7,则可得统计量的观测值

|u|?|5?723?101022|?2?1.645

拒绝H0，即认为两种工序的效率有显著差异.

2．设甲、乙两个品牌的同类保健药品中有效成分A的每瓶含量分别为X ～

N?(?1，302) 和Y ～ N?(?2，432)??．现分别抽得甲牌药品10瓶、乙牌药品14瓶，测得其有效成分A的平均含量分别为?x?= 310 、y?= 283 ，是否可据此认为甲牌药品的有效成分含量较高（???= 0.10）？

解 检验的假设为

H0:?1??2,单侧U检验，检验统计量为 U?H1:?1??2

X?Y?21m拒绝域为

??22

n W?{U?u?} 查表得临界值

u??u0.1?1.28 这里?1?30,统计量的观测值

222?2?432,m?10,n?14，又根据题目已知x?310,y?283,，从而

U?310?2833043?101422?1.81?1.28

所以拒绝H0，即可以认为甲牌药品的有效成分含量较高.

3．设甲、乙两机床加工的同一种零件的尺寸（单位：mm）均服从正态分布．现分别抽得甲、乙两机床加工的零件的尺寸数据如下：

甲：31.2 ，30.8 ，31.2 ，30.3 ，31.9 ，31.5

乙：30.3 ，32.1 ，29.8 ，31.7 ，29.9 ，29.0 ，31.9 ，32.4 问：甲、乙两机床的加工精度是否有显著差异（显著性水平????= 0.1）？

解 检验的假设为

22 ?:??1122 H0:?2??12,H

双侧F检验，检验统计量为

S12 F?2

S2拒绝域为

W?{F?f查F分布表，得临界值

1??2(m?1,n?1)或F?f?(m?1,n?1)}

2f1??(m?1,n?1)=f0.95(5,7)?21?0.20， 4.88f?(m?1,n?1)=f0.05(5,7)?3.97

2又F的观测值

f?0.31?0.18?0.20 1.69所以拒绝H0，应判定两机床的加工精度是有显著差异.

4．为了解各系学生素质教育的效果，学校抽测了甲、乙两系各20名学生．测试结果是：甲系平均分?x?= 75 、标准差s1 = 15 ，乙系平均分?y?= 79 、标准差s2 = 23 ．?试据此判断甲、乙两系学生素质教育效果有无显著差异（显著性水平????= 0.1）？

解 因为二总体方差均未知，故先检验假设

H0:?1??2,双侧T检验，检验统计量为 T?H1:?1??2

X?Y 11SW?mn2(m?1)S12?(n?1)S2其中SW?.

m?n?2拒绝域为

W?{T?t?(m?n?2)}

2查t分布表，得临界值 t??t0.05?1.6860

2又根据题目已知数据可计算得x?75,y?79,Sw?19.4165，从而T的观测值为

T?75?79?0.6515?1.6860

1119.4165?2020所以接受H0，即可以认为两系学生素质教育效果无差异显著.

综合练习八

一、填空题

1．假设检验可能犯两类错误：第一类错误是( 拒真错误 )，第二类错误是( 纳伪错误 )．

2．假设检验的显著性水平????是指检验犯( 第一类 )?错误的概率的上限． 3．设总体X ～ N（? ，4），（x1 ，x2 ，? ，xn）为其一组样本观测值，则检验问题

H0 ：???= 30 ，H1 ：???≠?30

的检验统计量为 ( U?域为 ( W?X?302n )；若检验的显著性水平????= 0.01 ，则此检验的拒绝

?u?2.57? )．

24．设总体X ～ N（? ，?），（x1 ，x2 ，? ，x9）为其一组样本观测值，则检验问题

H0 ：?22?≥?2

，H1 ：?2?＜?2

(n?1)S2的检验统计量为( ?? )；若检验的显著性水平????= 0.1 ，则此检验的拒

222绝域为 ( W???3.490 )；若据样本观测值已算得样本方差?s?= 1.4 ，则应

??( 接受 )H0 ．

二、选择题

1．在假设检验中H0 、H1 分别表示原假设与备择假设，通常所称的“犯第二类错误”是指 ( (c) ) ．

(a) H0 真而接受H1 ； (b) H1 不真而接受H1 ； (c) H1 真而接受H0 ； (d) H0 不真而接受H1 ． 2．设（X1 ，X2 ，? ，Xn）是来自正态分布N（? ，?）的样本，其中参数????和????未知，记

21X?=?

n?Xi?1ni ，

T?=??(Xi?X)2

2ni?1则对假设H0 ：???= 0作检验所使用的检验统计量为（ (d) ）． （a）

nX??； (b) Tn?1X??； T(c)

n(n?1)XT2??； (d)

n(n?1)X??．

T3．假设检验中，当原假设H0 在显著性水平0.05下被接受时，若将显著性水平变更为0.01 ，则 ( （a） ) ．

(a) H0 必定仍被接受； (b) H0 必定被拒绝；

(c) H0 可能被接受亦可能被拒绝； (d) 无法判定H0 是否被接受． 4．设总体X ～ N（? ，?） （? 、??均未知），（X1 ，X2 ，? ，Xn）为其样本，则检验问题

H0 ：???≤?10 ，H1 ：???＞?10

的检验统计量是( (a) )．

22

(a)

X?10Sn??； (b)

X??Sn??；

(c)

X?10?n??； ???(d)

X???n??．

5．设总体X ～ N（? ，?） （? 、??均未知），（X1 ，X2 ，? ，Xn）为其样本，则检验问题

H0 ：?的检验统计量为???=?

2222?≥?

222??，H1 ：??＜??0 ?0(n?1)S22?0??，若取显著性水平为0.1则检验的拒绝域为（ （b） ）

(a) (c)

????2222??0.9(n)??； (b) ???0.9(n?1)??； 222??0.1(n)??； ??(d) ???0.1(n?1)??．

???2???

三、解答题

1.设某味精厂生产的味精在手工包装时的每袋重量X~N(15,0.05)。技术革新后，改用机器包装，现抽查8个样品测得重量（单位：克）为：14.7， 15.1，14.8，15，15.3， 14.9，15.2，14.6. 已知方差不变，问机器包装的味精每袋平均重量是否仍为15(显著水平

??0.05) ？

解 检验的假设为

H0:??15,此为双侧U检验, 检验统计量为

H1:??15

U? 查标准正态分布表, 得临界值

X?150.05/8

u??u0.025?1.96

2故拒绝域为

????W??u?u????u?1.96?

??2??又由题设可算得x?14.95,故U的样本观测值为 u?|14.9?515|?0.05/80.4?1. 9 6所以接受H0，即可以认为平均重量仍为15.

2.已知某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)X~N(?,2002)，根据经验，原来灯泡的平均使用寿命不超过1500小时.现测试了25只采用新工艺生产的灯泡的使用寿命，得其平均值为1575小时.问新工艺是否提高了灯泡的使用寿命?（??0.05）

解 检验的假设为

H0:??1500,H1:??1500. 此为单侧U检验,检验统计量为

U?查标准正态分布表, 得临界值

X?1500200/25

u??u0.05?1.645 故拒绝域为

W?{u?u 5}0.0}5?{u?1.64又由题已知x?1575, 故检验统计量U的样本观测值为 u?1575?1500200/25?1.875?1.645

所以拒绝H0，即可认为新工艺提高了灯泡的使用寿命。

3. 某超市为了增加销售额，对营销方式、管理人员等进行了一系列调整，调整后随机抽查了9天的日销售额（单位：万元），结果如下：

56.4，54.2，50.6，53.7，55.9，48.3，57.4，58.7，55.3

根据统计，调整前的日平均销售额为51.2万元. 假定日销售额服从正态分布，试问调整措施的效果是否显著（??0.05）.

解 此问题为为检验问题

H0:??51.2, H1:??51.2.

检验统计量为

T?查t分布表，得临界值

t?(8)?t0.05(8)?1.8595 故拒绝域为

W?{t?u 5}0.0}5?{t?1.859

又计算可得

X?51.2S/9

x?54.5, s?3.29

于是可得T的样本观测值为 t?54.5?51.2?3?1.8595

3.29/3故拒绝H0，即可以判定调整措施的效果是显著的。

4. 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80 ? (?=0.05，熔化时间为正态变量)

解 要检验的假设为

H0：?2?80；H1：?2?80. 单侧?2检验，检验统计量为

(n?1)S2 ??

802查自由度为n-1 = 9的?分布表，得临界值 拒绝域为

W?{????(n?1)}

又检验统计量的样本观测值为

222??(n?1)??0.05(9)?16.919

2 ??2(10?1)?121.8?13.7?16.919

80故接受H0，即可以认为这批保险丝的熔化时间的方差小于等于80.

*5. 假设A厂生产的灯泡的使用寿命（单位：小时）X~N(?1,952)， B厂生产的灯泡的使用寿命Y~N(?2,1202).在两厂生产的产品中各抽取了100只和75只样本，测得灯泡的平均使用寿命分别为1180小时和1220小时.问在显著水平??0.05下，这两个工厂生产的灯泡的平均使用寿命有无显著差异？

解 要检验的假设为

H0:?1??2,H1:?1??2

双侧U检验，检验统计量为 U?X?Y?21m拒绝域为

??22

n W?{|U|?u?}

2查表得临界值

u??u0.025?1.96

22这里?1?952,2?2?1202,m?100, n?75，且x?5,y?7,则可得统计量的观测值

|u|?|1180?122095120?1007522|?2.38?1.96

拒绝H0，即认为这两个工厂生产的灯泡的平均使用寿命有显著差异

*6．假设在校大学生每周进行课外体育活动的时间（单位：小时）近似地服从正态分布．某高校学生会对此作了一次抽样调查，结果是：21名男生的平均活动时间?x?= 3.4 、标准差s1 = 2.3 ，18名女生的平均活动时间?y?= 2.3 、标准差s2 = 1.9 ．问：该校男女生的课外体育活动时间是否有显著差异（显著性水平????= 0.2）？

解 (1) 因为两个总体方差均未知，故先检验假设 H0:?1??2,222 H1:?12??2双侧F检验，检验统计量为

S12 F?2

S2拒绝域为

W1?{F?f查F分布表，得临界值

1??2(m?1,n?1)或F?f?(m?1,n?1)}

2f1??(m?1,n?1)= f0.9(20,17)?21?0.55， 1.81f?(m?1,n?1)= f0.1(20,17)?1.86

2又F的观测值

2.32?1.47 f?1.92因为

0.55?f?1.86

故接受H0，即可认为男女学生课外体育活动时间方差相同.

(2) 再检验假设

H0:?1??2,H1:?1??2

2因为有?12??2，故用双正态总体的双侧T检验法，检验统计量为

T?X?Y 11SW?mn2(m?1)S12?(n?1)S2其中SW?.

m?n?2拒绝域为

W2?{T?t?(m?n?2)}

2查t分布表，得临界值

t?(m?n?2)?t0.1(21?18?2)?t0.1(37)?1.305

2又根据题目已知数据可算得x?3.4,y?2.3,Sw?2.13，从而T的观测值为 t?3.4?2.3?1.61?1.305

112.13??2118所以拒绝H0，即应认定男女生的课外体育活动时间有显著差异.

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