水声习题解答(1)

工程水声学基础习题

1. 已知，两个声压幅值之比为2、5、10、100，求它们声压级的差；若它们的声压

级之差为1、3、6、10dB时，它们的声压幅值之比又是多少？ 解：由声压级的表达式：

SPL?20logpepref，若它们的幅值之比

pe1prefp1p2?n，则声压级之差为：

SPL1?SPL2?20log?20logpe2pref?20logpe1pe2?20logp1p2?20logn

当n?2,5,10,100时相应的声压级差为：

?SPL?20logn?6dB,14dB,20dB,40dB

反之，若?SPL?SPL1?SPL2?m?dB?， 即：20logpe1pref?20logpe2pref?20logpe1pe2?20logp1p2?m?dB?

于是，

p1p2m?1020；当m?1,3,6,10dB时相应的声压幅值之比是：

p1p2?1.122,1.413,1.995,3.16

2. 房间内有n 个人各自无关地说话，假如每个人单独说话时在某位置均产生声压

级为SPL0?dB?的声音，那么，当n 个人同时说话时在该位置上的总声压级是多少？

解：由声压级的表达式：

SPL?10logpe22pref?20logpepref

2n当pe是多个声源的共同作用时产生的声压，则pe??i?1pei，并且p2???pei?

e??n??i?1?n?2只有这些声源辐射的声波彼此互不相关时，才有pe???pei???i?1?2n?i?1pei。

2于是：

nSPL?10logppref2e2??10logi?1pei2ref2p?10logn?10logpeip2ref2?10logn?20logpeipref?SPL0?10logn

1

3. 对于平面声波，其有效声压peff(x,t)与声强I之间有何关系？相应的声压级SPL

与声强级IL有何关系？

解：对于平面波，其声强与有效声压的关系为：I?peffprefpeff2?c，

IIref由声强级和声压级定义：SPL?20logpref2(dB)，IL?10log；

另一方面：I?I?c；

peffp2ref2于是：IL?10logIref?10log?20logpeffpref?SPL

4. 在信号+噪声场中进行信号测量，已知信号与噪声互不相关，信号声压级为SPL，

测得总声压级为SNL，二者的声压级之差为?LS =SNL-SPL(dB)。问总声压级与噪声声压级之差?LN =SNL-NL为多少？ 解：如果信号+噪声的总声压为p=ps+pn，二者不相关，p2?ps2?pn2；总声压级和信

号声压级分别为：

SNL?10Lg2ps?pnp22ref22;2SPL?10LgpSppnp222ref

二者之差：?LS?10Lg2ps?pnp2ref2?10Lgpsp22ref?10Lg(1?2s) (*)

于是：?LN?10Lgps?pnppsp22ref?10Lgpnp2ref?10Lg(1?psp22n)

另一方面，由(*)式，

2n?101?LS10；可求得：

?1?LS10??LS10?LN?10Lg(1?101?LS10)?10Lg?1101010?LS??10Lg(1?10?1)(dB)

5. 在20°C的空气中，频率f0?1kHz、SPL?0dB的平面波声场中质点位移幅值、

质点速度幅值、声压幅值及平均能量密度各为多少？如果SPL?120dB，上述各量又为多少？为了使质点振速达到与声速(空气中)相同的数值，需多大声压级？ 解：在20°C的空气中，?c?416kg/m2?s；

2

当SPL?0dB时：pe?pref?2?10?5(Pa)，其声压幅值：pA?2pe?22?10?5(Pa) 对于平面波，声压与质点振速的关系为：uA?pA?22?10416?5?c?6.8?10?8(m/s)；

相应的质点位移：???udt??uA?e质点位移幅值：?A?uA6.8?10?83j(?t?kx)dt?uAj??ej(?t?kx)?uAj??ej(?t?kx??2)，

??2??10?1.08?10?11(m)；

对于平面波，声能密度D(t)?12?0u(t)?21p(t)2?0c222?2p(t)???0?u(t)?22? 2?0?c??1?p??p?j(?t?kx)由于u(t)?；则：D(t)??0?Aej(?t?kx)???0?A??cos2(?t?kx)e?0?c??0?c???0?c?pA22

平均能量密度：??pe221T2T?0D(t)dt?1T2T?022?pA?pe1pA2?0????cos(?t?kx)dt?22??c2??c?0?c0?0?2

即：???0c?1pA22?0c?(2?10)?5416?344?2.8?10?15(J/m)

3如果声压级SPL?120dB，上述相应各量为：

120pA?uA?2pe?1020?pref?10?22?10pA?202416?6.8?10?26?5?202(Pa)

?cuA(m/s)

?A???26.8?10?232??10??1.08?102?5(m)

??1pA2(20)2?0c416?344?2.8?10?3(J/m)3

如果要使uA?344(m/s)，则pA??c?uA?416?344?1.43?105(Pa)； 声压有效值pe?12pA?1.012?10(Pa)；

55相应的声压级SPL?20logpepref?20log1.012?102?10?5?194(dB)

6. 半径ra=5×10-2m的脉动球形声源以工作频率f0=5kHz向水中辐射均匀球面波(对

3

于水：?c?1.5?106(kg/m2s))，设声源表面质点振速幅值Ua?2?10?2(m/s)。问此声源在距其声学中心r=20m处产生的声压级SPL和声源的辐射声功率Wa各为多少？

解：声源辐射均匀球面波的声压表式为p(r,t)?为u(r,t)?kr?jp(r,t)?1?jkrj?ck?Ar2Arej(?t?kr)，相应的场点质点振速表式

?ckrej(?t?kr)

在声源表面上：u(ra,t)?1?jkraj?ck?Ar2aej(?t?kra)?Ua?ej??ej(?t?kra)

声源表面的质点振速幅值Ua?A?ckr2a1?(kra)2，

3由题意，Ua?2?10ra?5?10?2?2(m/s)，k?62??f0c2?2??5?101.5?103?20.944(/m)，

(m)，?c?1.5?10(kg/ms)，解得：

22A?Ua??ckr1?(kra)?2?10?2?1.5?10?20.9?25?101?(20.9?5?10?26?4)2?1570.81.448?1084.8(/s)。

2则声源在距其声学中心r=20m处产生的声压振幅有效值和声压级分别为：

p0r?20m?Ar?1084.820?54.24(Pa)，有效值per?20m?54.242?38.35(Pa)

SPL?20logpepr?20mref?20log38.3510?6?31.68?120?152(dB)。

考虑到声源为无指向性声源，其声源级与辐射声功率的关系为：

SL?10LgWa?170.8(dB)，

而SL?20logpepr?1mref?20logA2?10?178(dB)，

6则声源辐射声功率Wa?10SL?170.810?10178?170.810?5.25(W)

7. 如果在水中与空气中具有同样大小的平面波质点振速幅值，问水中的声强比空

气中声强大多少倍？

解：空气中声特性阻抗z1??1?c1?1.21?344?416(kg/m2?s)

水中声特性阻抗z2??2?c2?1?103?1.5?103?1.5?106(kg/m2?s)

4

由声强与质点振速的关系I?I2I1?z2z1?1.5?104166122??c?uA；当uA1?uA2时，

?3600

8. 坐标原点有一点声源辐射均匀球面波，以距原点r处为参考点，求距离为2r、

4r、10r等位置上的声压级之差为多少？在距原点1m和100m处，分别向r正

方向移动?r＝1m，得到的声压级变化量各为多少？ 解：参考位置处的声压级为SPL(r)?20logpe(r)pref?20logA2r?pref 相应各个位置上的均匀球面波声压级分别为：

SPL(2r)?20log2A4r?pref；SPL(4r)?20log2A8r?pref；SPL(10r)?20Lg2A20r?pref

它们与参考位置上的声压级之差为：

?SPL1?SPL(r)?SPL(2r)?20log2A2r?pref2A2r?pref2A2r?pref?20log2A4r?pref2A8r?pref2A20r?pref?20log2?6dB；

?SPL2?SPL(r)?SPL(4r)?20log?20log?20log4?12dB；

?SPL3?SPL(r)?SPL(10r)?20log?20log?20log10?20dB

在距原点1m处的声压级与2m处的声压级之差为：

?SPL?SPL(1m)?SPL(2m)?6dB

101100在距原点100m处的声压级与101m处的声压级之差为：

?SPL?SPL(100m)?SPL(101m)?20log?0.086dB

9. 平面波入射到两种介质的分界面上，上层和下层介质的声特性阻抗分别为Z1、

Z2，当满足什么条件时，该边界为绝对软、硬边界？在垂直入射时相应的声压反射系数VP和折射系数WP是多少？ 解：在绝对软边界条件下，Z2?0；

在绝对硬边界条件下，Z2??； 当声波垂直入射于分界面时：

Vp?Z2?Z1Z2?Z1,Wp?2Z2Z2?Z1θi ρ1c1 θr ；

ρ2c2 θt 5

17. 在无限大障板上半径a＝1.5cm的圆面活塞辐射器以f0＝5kHz的频率、160dB的

声源级向水中辐射声波，在距活塞声轴方向20m处的声压幅值为多少？声源的辐射声功率和同振质量又是多少？ 解：声源辐射声源级的表式为：SL?20logpe(1m)pref，在声场中声波以球面波形式扩

20?pe(20m)pref展，则：即p1(mr?p(r)?r0?p(r0)，)20?20()p?m120SL?20log，上式成为：

SL得到20m处的声压有效值为：pe(20m)??pref?1020?120160?10?6?1020?5(Pa)

相应的声压幅值为：pA(20m)?2?pe(20m)?52(Pa) 声源的辐射声功率为：Wa?12um?Rs

2其中，um为声源表面质点振速幅值；Rs为声源的辐射阻。对于圆面活塞声源，当a＝0.015m、f0＝5kHz时：

ka?2?f?ac?2??5?10?1.5?101.5?1033?2??102

满足低频条件，这时，圆面活塞声源的辐射阻Rs??cS(ka)2

另一方面，圆面活塞声源在声轴方向上的辐射声压的幅值与声源表面上质点振速幅值的关系为：

pA(r)??ckum?S2?r

222于是：Wa?12u??cS2m(ka)22?rpA(r)1?2?r?pA(r)?22pe????cS?ka??2?r ???4??ckS?c?c?22得到：Wa???20?(52)1.5?1062?0.042(W)

低频条件下声源的同振质量：ms?8??S?a3?a23Xs，其中Xs??cS?ka?是声源的辐射抗，于

??3??3?3?8?是：ms?

?83??a?383?10??0.015??9?10(kg)

318. 收发合置主动式声呐全向发射声功率Pa?1kW的声信号，目标距离为r?2km，目

标强度TS?15dB；声传播以球面扩展方式并伴有1dB/km的吸收损失。求声呐接

收到的回波信号级。

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解：由声纳方程：EL?SL?2TL?TS 声源的发射声源级为：SL?10logI1mIref?10logPa4?r2r?1m?1Iref??10logPa?10log??4??Iref?

即有：SL?10logPa?170.8(dB)?10log103?170.8(dB)

声信号的单程传播损失：TL?20logr?2km?1dB?20log2000?2?68dB 于是，声呐接收到的回波信号级：

EL?30?170.8?2?68?15?79.8dB

19. 工作频率f0=10kHz的声呐对某水下目标的最大探测距离为2km，设影响探测的

环境因素是噪声而非混响，海洋中的声速为1500m/s，介质的吸收系数

3/2dB/km(其中f以kHz为单位)。请分析： ??0.036?f(1) 如果声呐将声源级提高10dB，对此目标的探测距离变为多少？ (2) 如果声呐将工作频率降为f0=5kHz，对此目标的探测距离又变为多少？ 解：在噪声背景下的主动声呐方程为：SL?2TL?TS?NL?DI?DT (1) 题设探测距离为R1(R1?2km)，满足SL1?2TL1?TS?NL?DI?DT； 将声源级提高10dB后声呐对此目标的探测距离变为R2，满足：

(SL1?10dB)?2TL2?TS?NL?DI?DT；

二式相减得：TL2?TL1?5dB；根据题设，可求得TL1，即当f0?10kHz,R1?2km时

TL1?20log2000?0.036?103/2?2?68.3dB

即有：TL2?5?68.3?73.3dB，相应的作用距离满足

TL2?60?20logR2?0.036?103/2?R2?73.3

解得：R2?3.1km。

(2) 题设探测距离为R1(R1?2km)，满足SL1?2TL1?TS?NL?DI?DT； 将工作频率降为f0=5kHz后声呐对此目标的探测距离变为R3，满足：

SL1?2TL3?TS?NL?DI?DT；

二式相减并由上面的结论，得：TL3?TL1?68.3dB；相应的作用距离满足

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TL3?60?20logR3?0.036?53/2?R3?68.3

解得：R3?2.35km。

20. 一水下目标的辐射噪声声源级为120dB，设无指向性声呐的自噪声级为28dB，

检测阈-8dB。在不考虑介质吸收的条件下，它可以检测到此水下目标的最大距离是多少？若考虑吸收且介质的吸收损耗因子α＝2dB/km，最大检测距离又是多少？

解：根据题意应考虑被动声呐方程：SL?TL?NL?DI?DT；由于系统为无指向性

声源，则：TL?SL?NL?DT?120?28?8?100dB。

如果不考虑吸收，TL?20logr?100dB，解得系统的最大检测距离为：

r?10m?10km52。

如果考虑介质的吸收，TL?20logr???r?10?3，当r?102km时：

??r?10?3?2?10?200dB2，使得TL?300dB，与声呐方程确定的TL相差很大，

故考虑r至少应小一个数量级，令：r?104m，则：

正是由声呐方程所求的TL，于是确定了在介质吸收条件下系统的最大检测距离为

TL?20log(10)?2?10?80?20?100dB4r?10m?10km4。

21. 试简述何为简正波？如果浅海海深H=25m，声在其中以简正波的形式传播（波

导传播），表示为：

?p(r,z)??n?02???(2n?1)???(2n?1)??2?An?sin?z??exp??jrk???2H2H????????

问第三阶简正波的临界频率是多少？波导的截止频率是多少？ 解：第n阶简正波的临界频率ωn满足：kn??2n?1??2H，即有：fn??75Hz(2n?1)?c4H；式中

c为水中声速，c=1500m/s。当n=3时：f3?波导的截止频率为：f0?

c4H?15Hz5?15004?25。

。

22. 位于坐标原点的声源以出射角?0向水下射出一束声线，设海区的声速分布为

c?z??c0?1?az? ，其中a 为常数，c0为海面处的声速，试求这束声线的轨迹。

解：在程函方程中得到的声线轨迹方程的一般形式是：

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zx??z0cos?0??n?z????cos?022dz

声源位于坐标原点，则上式积分下限为0，根据snell定律：cos?c?z??cos?0c0?cos?1c1??

这里?为常数(射线参数)，再将n?c0/c?z?代入方程，得：

cos?0zx??0cos?0dz?c0?2???cos?0?c?z??2z??0c0c?z?dz2z??cos?0?1??c?z???c0??0?c?z?dz1???c?z??2

令y??c?z?，并注意到：c?z??c0?1?az?，则有：

dy??ydc?z?dzdz??ac0dz

于是得到：x?1?ac0?y0ydy1?y2??1?y2?1?y2?0??ac0?1，

?c?z?y??cz?cos?0???上下限变为：?c0?y??c0??c?cos???00?011

于是：

2?cz?????1?y2?1?y2???sin??1?x?cos?0??00?acos???ac0?c0?0??????

如果要写的更好看一点，作适当变换：

?c?z??2221??cos?0??sin?0?acos?0?x?1??1?az?cos?0??sin?0?acos?0?x? ?c0?21acos?022??1?az?a22??11?1?1??????tan?0?x???x?tan?0???z?????aa?acos??a????0??2222

这是一个圆心坐标位于?走的。

?1?atan?0,?1??的圆的方程，说明声线轨迹是按照圆的轨迹行a? 14

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