建立模型巧求最值

建立模型，巧求最值

引言：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，解决这类问题的基本依据有： （1） “两点之间线段最短”，（2） “垂线段最短”，（3） “三角形两边之差小于第三边”。

一、常用几何模型：

Ⅰ．“将军饮马”模型：

（1）、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）、点A、B在直线m同侧。

APPBA,B在同侧A'A，B在异侧BA

A、A?关于直线m的对称。

2、在直线m、

AAPPA'PAn上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最

BQBQ建立模型巧求最值第 1 页 共 15 页 QBA,B在两直线外侧B'B'都在内侧一内一外小。

又区分为（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧： Ⅱ．台球两次碰壁模型 已知点A位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点， 使PA+PQ+QA周长最短.

变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直

线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 小例：?AOB?45

?建立模型巧求最值第 2 页 共 15 页

点P在?AOB内，且OP?10,请在OA,OB上找R,Q两点,使?RQP的周长最小，并求出它的最小周长？ Ⅲ．平移、旋转加对称

1、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB最小．

（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：

AA'AA'B

PQBPQB'

AAA'A'PQPNQ

MBBB'

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2、已知小河的宽度为a米，河的两岸有A,B两个村庄，现准备在河上建一座桥，使桥身下河岸垂直，问应该怎样选择桥址才能使两村间的路程最短？

变式：如图在A,B两个村庄之间有互相平行的两条小河，河宽分别为a米、b米，如果我们要在小河上建两座与小河河岸垂直的桥，应该怎样选择桥址，才能使A,B两个村庄之间的路程最短？

二、实例讲析

解决这类问题的基本策略是：首先通过对题目的精确分析，寻找建立相关的几何模型，其次才是适当添加辅助线，应用勾股定理等几何方法进行计算。

例1、 在?ABC中，BC?AC?2，?ACB?90，点D是BC的中点，E是AB上一点，那么EC?ED的

最小值是多少？

分析：由题意，动点E只有一个,且在直线AB上，定点C,D在直线AB同侧，是典型的“将军饮马问题”， 所以首先作点C(D)关于直线AB的对称点C1，连结C1D交AB于E1，那么线段C1D的长就是EC?ED的最小值，只须连结C1B就可计算了。 例2、 在?ABC，AB?5,AC?3,BC?4，试在AB,BC上分别找一

点P,M使PM?PC的值最小？

分析：由于这里的动点有P,M两个，要P到M的距离最短，只要作BC?AEC1E1CC1DBA建立模型巧求最值第 4 页 共 15 页

PBMC的垂线就行，故而联想到先做C关于AB的对称点C1，再过C1作C1M?BC于M，交AB于P，那么C1M的长就是PM?PC的最小值！（垂线段最短与对称结合，属于“将军饮马问题”的变化形式） 例3、M是正方形ABCD对角线BD上一点，试寻找使AM?BM?CM最小的点M的位置？

AADD

A'MM'ME

BCBC

模型应用：

1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ． 2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ．

3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．

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