自动控制理论阶段性作业31

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院

自动控制理论 课程作业3（共 4 次作业） 学习层次：专升本 涉及章节：第4章

1单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)?K(s?2)。试绘制其根轨迹，并从

s(s?1)数学上证明：复数根轨迹部分是以（-2，j0）为圆心、2为半径的一个圆。

2单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)?K(s?1)。当K:0??时，试

s(s?1)(s?4)绘制系统的根轨迹，并求出临界稳定时的K值。

3 单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)?K

(s?1)(0.5s?1)(0.2s?1)试绘制系统的大致根轨迹,并确定系统临界稳定的开环增益值K;

4 单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)?当K:0??时，试绘制系统大致的根轨迹。

5单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)?试证明复数根轨迹部分为圆。

6 已知系统的开环传递函数为G(s)?

7 已知系统的开环传递函数为G(s)?角及其与实轴的交点。

K(0.25s?4) ，试求根轨迹渐进线的夹

s(s?1)(0.2s?1)K(s?4) ，试绘制其根轨迹。

s(s?2)K(s?5)。

(s?1)(s?3)

K(s?z)(z?p?0)。

s(s?p)8已知控制系统前项通道和反馈通道传递函数分别为

G(s)?K(s?1)5 H,s(?)2(s?2)s?5试绘制当K从0→∞变化时系统的根轨迹，并确定使系统闭环稳定的K值范围。

参考答案

1解：开环传递函数为：G(s)?K(s?2)

s(s?1) 根轨迹的起点： 0，－1；

根轨迹的终点： －2及无穷远处； 实轴上的根轨迹：(??,?2]; [?1,0] 复平面上的根轨迹：

系统的闭环特征方程式为：D(s)?s2?s?Ks?2K?0 令复变量s???j?，代入上式，得：

?2??2?2j???(??j?)(1?K)?2K?0

整理，并令实部、虚部分别为0，并消去?，得：

(??2)2??2?(2)2

可见：此复数根轨迹部分是以（-2，j0）为圆心、2为半径的一个圆。

Root Locus1.510.5Imaginary Axis0-0.5-1-1.5-4-3.5-3-2.5-2Real Axis-1.5-1-0.50

2 解： 开环传递函数为：G(s)?

K(s?1)

s(s?1)(s?4)根轨迹起点：0， 1，-4； 根轨迹终点：1及无穷远处； 实轴上的根轨迹：[0，1]；（-?，-4]

[0?1?4]?(?1)??1； 渐近线：与实轴的交点??3?1?(2k?1)???? 与实轴的夹角??3?12系统的特征方程：s3?3s2?(K?4)s?K?0

Routh表为：

s3 1 K-4s2 3 K(2K?12)s 3s0 K可见：临界稳定时： K=6

1

Root Locus8642Imaginary Axis0-2-4-6-8-10-8-6-4Real Axis-2024

3解：G(s)H(s)?

K1(其中:K1?10K)

(s?1)(s?2)(s?5)根轨迹起点：－1，－2，－5； 根轨迹终点：无穷远处； 实轴上的根轨迹：（∞，－5]；[－2，－1-]

[?1?2?5]?08??； 渐近线：与实轴的交点??33?(2k?1)???? 与实轴的夹角??33

系统的根轨迹:

Root Locus10864Imaginary Axis20-2-4-6-8-10-16

在闭环特征方程中,令s=jω,即可求得:K=12.6,此即为临界稳定的K值.

Real Axis-14-12-10-8-6-4-20244 解：开环传递函数为：G(s)?

K(s?5)

(s?1)(s?3)根轨迹起点：－1，－2；

根轨迹终点：－5及无穷远处； 实轴上的根轨迹：[－2，－1]；（-?，-5] 根轨迹：

Root Locus4321Imaginary Axis0-1-2-3-4-9-8-7-6-5-4-3-2-10Real Axis

5 解：系统的闭环特征方程为：

s(s?p)?K(s?z)?0即：s?(p?K)s?Kz?02

令s???j?，代入上式，有：

(??j?)2?(p?K)(??j?)?Kz?0 整理，得：

[(?2??2)?(p?K)??Kz]?j[2???(p?K)?]?0 ?(?2??2)?(p?K)??Kz?0 ???2???(p?K)??0消去中间变量K（由第二个式子得到K,再代入第一个式子）,得： ?2?2?z??2?pz?0

整理，得：(??z)2??2?z2?pz

可见：这是圆的方程，圆心为(-z,0)，半径为z2?pz 即：复数根轨迹部分为圆。

6 解：

系统有两个极点0、－2；一个零点－4。 根轨迹起点：0，－2；

根轨迹终点：－4及无穷远处；

实轴根轨迹区间为[-2，0]以及（-∞，4]。

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