中学数学基本能力培养

第9章 中学数学基本能力培养

教学目的：通过本章的学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力，即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。

教学内容：1、运算能力的培养。2、空间想象能力的培养。3、分析和解决实际问题的能力培养。4、逻辑思维能力的培养。

教学重、难点：三种能力的培养既是本章的重点又是难点。

教学方法：讲授法

教学过程：

§9．1 运算能力的培养

9．1．1 什么是运算能力

运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此，培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．

9．1．2 培养学生运算能力的基本途径

怎样才能使学生具有正确迅速的运算能力呢？在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好.总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．

1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则

第九章 中学数学基本能力培养

要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．

例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现的笑话．

因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．

例2 如化简sin50??1?3tan10?，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下：

?sin60?sin10??原式?sin50??1?cos60??cos10???

???112??之类235??cos60?cos10??sin60?sin10?cos60??10???sin50?sin50? ????cos60cos10cos60cos10???sin50?cos50?sin100?cos10?????1 ??1cos10cos10cos10?2这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．

例3 如解方程lg?x?1??2，首先应该知道方程的解域是x?1，再进行同

2解变形得

lg?x?1??lg100

2从而有（x-1）2＝100，解此方程得x＝11或x= -9

但要注意，如果把原方程变为：

244

§9．1 运算能力的培养

2lg?x?1??2?lg?x?1??1

由于未知数取值范围缩小为x＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．

在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．

例4 实系数方程x3?mx?1?0的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m的值的是：

（A）－1； （B）0； （C）1； （D）2． 答案（ ） 解 因为三点不可能都在实数轴上，所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．

设三根为α，a+bi，a-bi（α、a、b∈R，α≠0）它们的对应点分别为A（α,0），B（a,b），C（a,-b），其中A在实轴上．

由韦达定理，可得 α+（a+bi）（a-bi）＝0 所以：α＝-2a

故A与B、C位于y轴两侧． 设B、C连线交x轴于D点，则有 |OD|=|a| |OA|＝|-2a|＝2|a| 所以O为ΔABC的中心．

|OB|＝2|a|，a2+b2＝4a2 ∴b＝±3a 所以三根为-2|a|，a（1+3i），a（1-3i） 又因为（-2a）a（1+3i）a（1-3i）＝-1 解得a=

1，则α＝-2a＝-1 2将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m（-1）＋1＝0，故m=0，故选择（B）．

本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例，以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．

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第九章 中学数学基本能力培养

例5 某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：数学201人，物理177人，化学163人；参加两科的：数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人；三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？

解 这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理，如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就出现错误了．所以说，一些与运算相关的新的数学概念、法则、公式的引入都需要加以格外留意，以免在运算过程中，因算理不通，铸成谬误．对本题可作如下

B

A∩B A∩B∩C

A

解答：

设A、B、C分别表示参加数学、物理化学每一科竞赛学生的集合（如图9-1）,并且以n（S）表示有限集合S的元素个数．则有

n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）

-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C） =201+177+163-141-114-95+87 =278

2、提高记忆能力，加强运算基本功训练

B∩C C

A∩C

图9-1

培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．

（1）一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：

1131?0.5、?0.25、?0.75、?0.125等等． 2448（2）在初中阶段，作为运算的基本功主要是：

i）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．

ii）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：

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§9．1 运算能力的培养

a、多位数与一位数相乘，直接得积； b、1－20的平方数，1－10的立方数． c、将被开方数化为质因数乘积求方根；

d、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换． e、乘法公式．

（3）在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：

i）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．

ii）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度． 例如：logaa?1，loga1?0，（a?0且a?1）；

??????sin sin?co?s?co?ssin??；

sinx?1??1； lim?1???e；limx?0n??xn??n微积分基本公式等．

为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．下面选一组指数、对数的基础练习和一组心算练习题，供参考．

i）化简计算： ①???3.14?????3?2??2；

??2②33?43?83；

?3?2??1?③?????； ??4?3???④

2lg8?3lg3． 22?lg0.36?lg83?1ii）比较大小

?1??1?①??，???2??2?

?3.13； ②log0.52，log0.55；

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§9．2 空间想象能力的培养

他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程．由于此方程含有相异根??，

?2?，?3?……于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n次多项式分解成乘积的

形式，把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式：

sinx?x2??x2??x2????1?2?1?2?1??????x????4???9????…… ?这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是：

11111?2????…… 3!?4?29?216?2即

111?21????……?． 49166奇迹出现了．

在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．

9．2 空间想象能力的培养

9．2．1 什么是空间想象能力

想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学

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第九章 中学数学基本能力培养

的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．

空间想象能力的培养应当包括哪些要求？一般认为大体上包括下列三个方面的要求：

1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．

2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．

3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．

9．2．2 培养学生空间想象能力的基本途径

如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：

1、学好有关空间形式的基础知识

想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．

中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．

从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．

对于某一图形所反映的空间形式，怎样使学生形成关于它的空间概念呢？一般认为，大致需要经过如下过程．

（1）运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．

254

§9．2 空间想象能力的培养

（2）通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．

（3）研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性． （4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．

总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．

例如：在“直线和平面”这一章的教学中，为了有步骤地培养学生的空间想象能力，首先要着重向学生指出现在研究的图形是在空间里，是空间图形，它和平面几何中学习的图形有着本质的区别．其次在教学中，应尽可能多地利用模型实物的直观性，并结合模型绘制草图；往后则逐渐有意识地减弱模型的作用，增强图形的作用；再后则完全不要模型，只利用图形，以培养学生通过图形来想象实际各种元素在空间的位臵关系．最后，再进一步既不用模型，也不用图形，而能解决一些比较简单的问题（包括计算题、证明题和作图题），从而不断发展学生的空间想象能力．

2、从事数学实习活动

通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．

人们以现实世界中客观事物为观察研究对象，通过抽象，通过抽象概括，舍弃了诸多的特性，保留了数量关系和空间形式，这种数量关系和空间形式在人们给出了相应的表达方式之后，使人们能够见数、形就能想象出客观事物．或者见到客观事物可抽象出数、形．人们经常从事这种数学实习活动，无疑会加强空间想象能力．

例如，在立体几何教学中，对物体或模型的直观分析，在机械制图的教学中通过活动影片来分析视图的性质，在解三角形的教学中测量不可及物体的“高深远近”，凡此种种，对培养学生的空间想象能力都会收到良好的效果．

3、加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力

在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质，还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．

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第九章 中学数学基本能力培养

（1）研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力

在平面几何课里，最重要的图形是三角形和圆，在立体几何里最重要的基本图形是直线和平面．在教学中，在同类图形之间，研究其线面位臵和量的关系，会有助于培养学生的空间想象能力．事实上，对各种位臵和量的关系理解得越清楚，空间想象能力就越强．现举例如下：

例 延长等边△ABC的各边BA、CB、AC到D、E、F，使AD＝CF＝BE．求证：△DEF也为等边三角形（如图9－2所示）

证 因为AB＝BC＝CA， AD＝BE＝CF， 所以AF＝BD＝CE， AD＝BE＝CF， 又因为∠DAF＝∠EBD

＝∠FCE＝180°－60°＝120°

所以△DAF≌△EBD≌△FCE （SAS） 所以DF＝ED＝EF，即△DEF为正三角形．

例 已知两圆相切，求证连心线垂直于过切点的公切线．

已知：如图9－3，⊙O1和⊙O2外切于P点．AB为过P点的公切线． 求证：O1O2⊥AB．

证 分别连O1P，O2P，因为P为切点，所

O1 A P O2 B E 图9-2

C F D A 以O1P⊥AB，O2P⊥AB，所以∠O1PA+ ∠O2PA=180°，故O1，P，O2共线，所以O1O2⊥AB

讨论：本题两圆相内切的情形，读者可以自己证明．

例3 多面体中，线面间的位臵和量的关系． 解 ①正棱柱

a、上下底面是对应边互相平行的全等的正多边形． b、侧面是全等的矩形． c、侧棱互相平行且相等． d、两底面中心连线垂直于底面． ②平行六面体 a、对面平行且平等．

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B 图9-3

§9．2 空间想象能力的培养

b、对角线交于一点且在这点互相平分． c、对角线的平方和等于各棱的平方和． ③长方体

a、对角线的平方等于长宽高的平方和． b、体积等于长宽高之积． ④正棱锥 a、各侧棱相等．

b、侧面为全等的等腰三角形． c、斜高都相等．

d、顶点和底面中心的连线段和底面垂直．

e、高上任一点到底面各顶点、到各侧面的距离分别相等． f、相邻侧面所成二面角都相等． g、侧面和底面所成二面角都相等．

h、侧棱、高、底面半径组成一个以侧棱为弦的直角三角形． i、斜高、高、底面边心距组成一个以斜高为弦的直角三角形． j、侧棱、斜高、底面边长之半组成一个以侧棱为弦的直角三角形． ⑤正棱台

a、上下底面是相似正多边形． b、侧棱都相等．

c、侧面为全等的等腰梯形． d、斜高都相等．

e、两个底面中心连接线段和两底面垂直． f、侧棱、高、上下底面半径组成一个直角梯形． g、斜高、高、上下底面边心距组成一个直角梯形． h、侧棱、斜高、上下底面边长之半组成一个直角梯形． （2）研究不同类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力

圆和多边形的联系是平面几何中最主要的内容之一，大量的习题都与它们有关，在数学教学中应当引导学生重视这类问题的分析，并加以训练．

例 已知：如图9－4所示，四边形ABCD内接于⊙O．

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第九章 中学数学基本能力培养

求证：AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC

证 如图，作∠DAE＝∠BAC，E在BD上．在△DAE和△CAB中，∠DAE＝∠CAB，又因为∠EDA＝

ADDE?∠BCA，所以△DAE∽△CAB，所以，即 ACCBB C 图9-4 A D E AC〃DE=AD〃BC （1）

在△ABE和△ACD中，

∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAE＝∠CAD，所以△ABE∽△CAD，所以

AC〃BE=AB〃CD （2）

（1）＋（2）得

AC（DE＋BE）＝AB〃CD＋AD〃BC

所以 AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC

本题证明过程中，同弧上的圆周角相等这种关系的应用是十分重要的． 例2 直线a和平面内α内的直线b垂直，直线a和平面α的位臵关系如何？画出图来．

解 位臵有四种，如图9－5所示

a a α （a）a在α内

a

b α （b）a⊥α a ABBE?，即 ACDCb b α （c）a∥α

图9-5

α b （d）a与α斜交

分析和解答这类例题有利于巩固空间概念，培养分析问题的能力，不断发展空间想象能力，在教学中应当选编这类例题和练习题，加强对学生的训练．

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§9．2 空间想象能力的培养

例3 四个半径为1的等球，每一个与其余三个皆相切，三球在下，臵一平面α上，求最上一个球的球心到平面的距离．

解 由题意，可想象出四球的位臵关系，四球连心线组成一个正四面体如图9－6所示，通过观察，可构出上球心O到下三球中心A、B、C所确定平面ABC的距离OO?所在平面OO?D，于是运用勾股定理求得OO?，由于平面ABC距平面α为1，所以OO1加1即为所求．

3OD＝OCsin60°＝2?＝3

2113O?D＝?OD＝?3＝

333A O1 C 图9-6

D B

O ∴OO?＝OD2?O?D2＝3?∴OO?＋１＝

26＋１． 31826＝＝

333这类题目，由于空间想象能力和运算能力的有效结合，使得解题进展顺利，如缺乏空间想象能力和运算能力，是无法下手的．所以，在培养学生空间想象能力的过程中，宜和其它能力的培养结合起来，以求融会贯通．

（3）研究数形之间的联系，锻炼学生的空间想象能力

在中学阶段，数与形紧密联系起来学习的内容主要有两处：一是学习锐角三角函数与勾股定理；二是学习坐标法．学习这两部分内容时，要加强训练有目的地发展学生的空间想象能力，并进行唯物辩证法的教育．

例1 如图9－7，在ABC中，已知∠C＝90°，a＝9，∠A＝60°， 求∠B及b、c的长． 解 ∠B＝90°－60°＝30°， 因为tanB=

b3，所以b?atanB?9??33 a3b A c bb33因为sinB?，所以c???63．

csinB12C a 图9-7

B 例2 在任意△ABC中，AD⊥BC，求证：

（AC－AB）（AC＋AB）＝（DC－BD）（DC＋BD）

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第九章 中学数学基本能力培养

证 如图9－7在直角△ABD中，AB2－BD2＝AD2 在直角△ACD中，

AC2－DC2＝AD2

所以AB2－BD2＝AC2－DC2，即

AC2－AB2＝DC2－BD2

所以 （AC－AB）（AC＋AB） ＝（DC－BD）（DC＋BD）

解直角三角形是解一般三角形的基础，因为任何一个三角形都可分成两个直角三角形．正是通过这种联系，我们可以得到一般三角形中边角关系的基本定理：正弦定理、余弦定理．

这两个定理，在一定条件下定量地决定三角形中所有的边和角的大小．余弦定理可以看成是勾股定理在一般三角形中的推广；而在直角三角形中，正弦定理就转化为锐角正弦函数的定义了．

例3 在⊙O的内接正方形ABCD所在平面上任取一点P，连PA、PB、PC和PD．求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2

证 建立直角坐标系如图9－9所示，其中圆心O为原点，OD在X轴正半轴．

设⊙O的方程为x+y=r

2

2

2

CBODA B D 图9-8

C y APx 图9-9

则点A、B、C、D四点的坐标分别为（0，r）、（-r，0）、（0，-r）、（r，0）．又该点P的坐标为P（x1，y1），则有

PA2＋PC2＝x12+（y1-r）2＋x12+（y1+r）2＝2x12+2y12+2r2 PB2+PD2=(x1+r)2+y12+(x1-r)2+y12＝2x12+2y12+2r2

所以 PA2＋PC2＝PB2＋PD2

本题采用解析法，方法简捷，足见数形结合在培养学生的空间想象能力方面有独到之处．所以，加强这方面的训练是必不可少的．

（4）借助图形解决问题，增强学生的空间想象能力

数与形之间建立紧密联系之后，可以运用代数方法去解决几何问题；反过来，

260

§9．2 空间想象能力的培养

借助图形，也能帮助解决代数问题．我们知道，对空间想象能力高一级的要求，就是使学生“不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题”．下面分三个方面略加讨论．

①借助图形，理解概念

在教学中，学习一个数学概念之后，往往要研究它的几何意义，这样做的目的是为了借助图形，利用其几何直观性加深对概念的理解，同时也便于记忆概念或进行几何应用．

在微积分课程中，更是随时指出所研究数学概念的几何意义．

需要指出的是，借助图形的几何直观性虽可加深对于概念的理解和记忆，但绝不可以利用图形的几何直观性代替证明，代替对于概念的深刻分析．

例1 证明直角三角形中斜边的长度等于两直角边长度之和．

证 如图9－10，在直角△ABC中， D为AB的中点，DE⊥BC，DF⊥AC，则

DE＝FC，DF＝EC，

故四段折线有

AFDEB＝AC＋BC

B

E 图9-10

C D

F A

类似地对DBE和ADF作如图所示折线，则八段折线长也为AC＋BC，这个过程可无限地进行下去；把AB依次分为2、4、8……个相等的部分，并可依次得到锯齿形的折线，而它们的长度均为AC＋BC．

从几何直观可以看出，这个“锯齿形”折线的序列是以斜边AB为极限的，因此我们可推得“锯齿形”折线的长度AC＋BC＝AB，即斜边AB的长度就应当等于两直角边长度之和．这个命题显然是荒谬的．问题出在什么地方呢？分析之后我们会发现，原来是“极限”概念用得不正确，从几何直观就断定锯齿形折线的长度的极限等于斜边的长度是毫无道理的．

②借助图形，分析题意

培养学生良好的画图习惯，并依图去分析题意，从而可以达到解题的目的．也就是说，如果一个问题可以画图来分析题意，就应当画出图来帮助解题．

例2 求正方体二对角线的交角．

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第九章 中学数学基本能力培养

解 如图9－11，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，二对角线之交角为?，连接DB．在△ODB中．

DB?OB?sin? （1）

sin?ODBA′ D′ B′

C′

因为DB?2a，OB?3a， 2θ

D A

O

sin?ODB?B?Ba3， ??DB?33aC B 图9-11

3a?sin?2代入（1）得：2a?

33所以，sin??2222，即????arcsin． 33从本例的解题过程中可以看出，借助图形，有利分析题意，否则便会增加解题难度．

借助图形分析题意，要力求图画得精确一些，否则由于图形画得不正确、将会导出错误的结果．

例3 证明任意的三角形是等腰三角形．

证 如图9－12所示，△ABC的∠A平分线和对边BC的垂直平分线相交于O点，连接OB、OC，则OB＝OC，过O点作OE⊥AC，垂足为E，作OF⊥AB，垂足为F，则OE＝OF．

在Rt△OBF和Rt△OCE中，因为OB＝OC，OE＝OF，所以，Rt△OBF≌Rt△OCE，所以，

FB＝EC （1） 在Rt△AFO和Rt△AEO中，OF＝OE，OA＝B OA，所以Rt△AFO≌Rt△AEO，所以，

AF＝AE （2）

（1）＋（2）得 AF＋FB＝AE＋EC，即AB＝AC． 这就是说，任意的三角形是等腰三角形．

问题出在什么地方？原来角平分线AO和垂直平分线OD的交点不在△ABC内，而在△ABC的外部．所以画图万万不可草率从事．

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A

F O E

D 图9-12

C

§9．2 空间想象能力的培养

③借助图形解决问题

图解法就是利用图形解决计算问题、作图问题和证明题．在中学数学教学中，它虽不是重点内容，但在生产实际中，却是一种重要的方法．

?y?x3 例4 用图象法解方程组：?

?y?sinxy

y=x3

解 ①在同一直角坐标系中，作y?x3与y?sinx的图象，如图9－13．

o x y=sin x

②观察图象有三个交点，一个交点是（0，0），另二个交点分别近似地得到为（m，n），（-m，-n），其中0

图解法在数学课的学习中是要遇到的，在实际中也有许多应用，所以在数学中有必要加以训练．

图9-13

总之，为培养学生的空间想象能力，我们总结了一些行之有效的方法，寻求了一些基本途径，只要在教学实践中，联系实际情况，加在应用，一定会取得好的效果．

§9．3 逻辑思维能力的培养

9．3．1 什么是逻辑思维能力

所谓逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力．逻辑思维在教学中常常表现为从已知条件中导出结论；从某些一般情况中找出个别例子；从理论上预示具体结果，并将所获得的结果进行推广等等． 在教学中，发展学生的逻辑思维是发展学生思维的中心环节和主要标志． 学生的逻辑思维常常表现在各种数学结论的推导、归纳、演绎，以及证明定理和证题的过程之中，在这个过程中学生的逻辑思维能力得到发展． 9．3．2 培养学生逻辑思维能力的基本途径

数学中的逻辑思维能力已如上所述，它是指根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析，抽象概括，推理证明的能力．培养学生的逻辑思维能力有如下基本途径：

—263—

第九章 中学数学基本能力培养

1、教师要作出示范

中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的．数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程．数学中的概念的形成，命题的判断，都与逻辑思维紧密相连．所以，教师在传授数学知识的过程中要严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式，作出示范，循序渐进，潜移默化地培养学生的逻辑思维能力． 数学论证都是在一定的逻辑系统中进行的，所以教师必须在给定的逻辑系统中向学生传授知识．

例1 已知实数x、y、z，满足

11x?y?2y?z?z2?z??0 24求?z?y?的值．

x解 因为x、y、z为实数，所以

11x?y≥0，2y?x≥0，z2?z? 24111????z??≥0．又因为x?y?2y?z?z2?z??0，所以

242??1?x????4?x?y?0?1???2y?z?0 解得?y??

4??211z?z??0??z?4??2??11?x所以 ?z?y??????24??14?2．

本题是在实数范围内进行推演的，但是如果在复数范围内，这样推导出来的结果就不正确了．

例2 二次函数y＝x2的反函数是什么？

解 对于这个问题，首先必须清楚函数的概念，才可讨论反函数．有的中学数学课本采用集合的“单值对应”的观点来定义函数．即自变量的每一个值按一定对应规律对应因变量的唯一确定值．根据这种观点，二次函数y=x2在实数集中没有反函数，只有当把定义域缩小为x≥0或x≤0时，才有反函数．至于有的课本不是采用“单值对应”的观点来定义函数，那就自当别论了．

因此，在数学教学中进行逻辑论证时，必须使学生首先搞清楚这个问题是在

264

§9．2 空间想象能力的培养

哪个范围（即条件）内考虑的，然后再用正确思维规律和形式去进行推理论证．显然教师的示范作用会给学生带来潜移默化的作用．

教师对于思维规律的使用不能有半点差错，否则他（或她）的学生思维便会发生混乱．教师对思维形式的使用也应是规范的，不然学生无章可循，也会无所适从．

2、教会学生运用逻辑常识

培养学生逻辑思维能力的另一个途径是教会学生运用逻辑思维常识进行推理论证，并通过此过程提高他们抽象概括、分析综合、推理证明的能力． 众所周知，在中学数学教材中，运用了许多与逻辑知识有关的数学内容的推理证明方法．因此，应在数学教学过程中，结合具体数学内容通俗地讲授一些必要的逻辑常识，当然应该包括一些数理逻辑常识，使学生能运用它们来指导推理、证明．这样会有助于提高学生的逻辑思维能力．

例如，在学生学习了概念的从属关系以及“属概念加种差”的定义方法之后，在根据某概念的定义进行推理时，就不会只单单考虑定义中的种差，而且同时也会考虑被定义概念还具有它的属概念的一切属性．这样，在推理证明中的思路就会畅通得多．

例1 如图9－14所示，延长矩形ABCD的边BA至E，连结CE，交AD于F，已知AE＝3，AB＝6，BC＝12，求FC之长．

解 如图9－14所示，因为ABCD是矩形，故∠B、∠EAF都是直角，所以

EC?EB2?BC2?6 E

3 A

F D

B 12 图9-14

C

?3?6?2?122?15

欲求EF，但AF是未知，怎么办呢？如果思维仅局限在矩形的特殊性质方面，则思路就受阻，倘考虑矩形还具有平行四边形的一切属性时，则思路顿时畅通． 因为AD∥BC，所以

EAAF3AF??，所以，所以AF＝4 EBBC3?612 所以EF?EA2?AF2?32?42?5，所以FC＝EC－EF＝15－5＝10

此题若在解题过程中，由AD∥BC，得简捷一些．

EAEF?，直接求得EF?5，则又EBEC—265—

第九章 中学数学基本能力培养

又如学生如果掌握了概念的分类方法和要求，当他们运用穷举法证明问题时，就不会遗漏或重复某种情况．

例2 求证直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图9－15，CD是Rt△ABC斜边上的中线，D是AB的中点． 求证：CD＝

1AB． 21AB，则有 2B D A

证 假设CD≠ CD＞

2 图9-15

1 C

11AB，或CD＜AB 221AB 21AB，所以CD＞AD，CD＞DB， 2 （1）假设CD＞ 因为AD＝DB＝

所以∠A＞∠1，∠B＞∠2，所以∠A+∠B＞∠1+∠2 又因为∠1+∠2=90°，所以∠A+∠B＞90° 所以 ∠A+∠B+∠C＞180°．

这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以，CD＞ （2）类似地可以证明，CD＜ 所以 CD＝

1AB 21AB也是不可能的 21AB是不可能的． 2 本题用反证法证明并不复杂，所用知识不多．若用直接证法则需添加辅助线或增加一些知识，足见一些证题方法若选择得当可补偿知识的不足．

所以，学生若能运用逻辑知识来指导推理证明，就容易做到思维畅通，正确无误．

3、加强逻辑思维能力的训练

在数学教学中，通过加强对数学概念形成的认识，来加强对数学命题推理证明的训练，是提高学生逻辑思维能力的更有效的途径．因此数学内容的讲授应加强逻辑的严谨性．讲授的例题，布臵的习题应增加思考题、证明题、讨论题，借以加强逻辑思维能力的训练．不仅需在几何内容中加强逻辑推理的训练，还要在

266

§9．2 空间想象能力的培养

代数、三角、解析几何等内容中也要加强推理证明的训练，从而培养学生的逻辑思维能力．一些学校在课外活动中也加强逻辑思维能力的培养，同样是值得提倡的．

例1 有两个人玩这样一种游戏，第一个人说出一个个位数（即从1至9的整数）；第二个人对该数加上另一个个位数（也是从1至9的整数）；说出和数，不加数不行．接着第一个人对这个和数再加上一个个位数，并说出和数，如此下去．谁先说到66，谁便得胜．试问，如果玩法正确，胜者是谁？先开头的呢，还是其对手，要想得胜，应当怎样玩这种游戏呢？

解 若玩法正确，先开头说者得胜．这是因为二人竞赛，均想先说到66．而要想先说到66，必须先说到56，此时不论其对手说1至9中的哪一个，并加在56上，其和只能是57至65中的一个，均达不到66，先说者只需将1至9中的一数加到57至65中一数之上即可得66．依此类推，欲先说到56，又须先说到46、36、26、16、6，所以先说者开始只须讲6，然后控制16、26、36、46、56，作为每次加法的和数，则胜利定可在握．

这类题对培养学生的逻辑思维能力是很有益的．若本题所给条件均不变，最后改变为“谁先说到66谁便输．试问，如果玩法正确，胜者是谁？先开头的呢？还是其对手，要想得胜，应当怎样玩这样游戏？”这个题目留给读者去做． 利用推理证明以培养学生的逻辑思维能力在平面几何中的例子是非常多的，这里不再列举．由于代数、三角、解析几何诸学科利用推理证明培养学生的逻辑思维能力也具有自身的作用，今特举数例以说明． 例2 设x、y、z为三个互不相等的数，且x?求证：x2y2z2?1

证 由x?11?y?，得 yz111?y??z?， yzxyz?x?y??y?z （1）

由y?11?z?，得 zxzx?y?z??z?x （2）

由x?

11?z?，得 yx—267—

第九章 中学数学基本能力培养

xy?z?x??x?y （3）

（1）×（2）×（3）得

x2y2z2?x?y??y?z??z?x???x?y??y?z??z?x? 因为 x?y?z，所以?x?y??y?z??z?x??0，故 x2y2z2?1．

本题解题关键在于将已知连等式看成三个等式，将已知条件进行恒等变换使之出现两个数乘积的形式．

x2y2 例3 过点R(,0)垂直于x轴的直线与椭圆2?2?1交于P、Q，

22aba?ba2求证：过P、Q的两切线互相垂直（图9－16）． 证 过点R(a2a?b22,0)垂

y P 直于x轴的直线与椭圆

x2y2??1两交点P、Q的坐标a2b2o R x 为：

Q P(a2a2a?b,?22,b2a?bb222)，

图9-16

Q(a?b22a?b22)

过P、Q的两切线方程为：

xa?bxa?b因为A1A2?B1B2?2222??ya?bya?b2222?1 （1） ?1 （2）

11??0，所以，过P、Q两点的切线互相垂直．

a2?b2a2?b2 例4 证明sec2x?csc2x?sec2xcsc2x．

乍一看可能以为这是一个错题，两个函数的平方和竟是他们的平方积．由观察而产生怀疑，那么只好求助于证明，或者肯定它，或者否定它．事实上，证明是直接的．

268

§9．2 空间想象能力的培养

11sin2x?cos2x??证：secx?cscx? 2222cosxsinxsinxcosx22 ?122?secxcscx． 22sinxcosx同理，我们还可以证明其它二个类似的恒等式：

22nx?sinx?ta2nxsinx ta2 co2tx?co2sx?co2txco2sx

在这里，逻辑推理显示了自己的作用，而凭观察就作出结论，有可能就出现错误．

另外，每一个数学概念的定义，它既是一个判定定理，又是一个性质定理，我们利用每个数学概念可以去判断，去推理、去证明，对培养学生的逻辑思维能力也起着重要作用．

1?1? 例1 已知f?x???x2?2，则函数f?x?1?的表达式为：

x?x?（A）f?x?1???x?1??221?x?1?2；

1?1?（B）f?x?1???x???； 2x??1??x???x??（C）f?x?1???x?1??2；

2（D）f?x?1???x?1??1． 答案（C）

2解 本题只有在理解函数f?x?的含义之后，才可能动手推理，从而进行判断选择，否则，便会乱猜一气．

1?1?1?? 因为f?x???x2?2??x???2

x?x?x??则f?t??t2?2，所以f?x?1???x?1??2，故选择C．

22 例2 化简：52log5?lgx??2lgx?1 解：原式＝5log5?lgx??2lgx?1?2?lgx?2?2lgx?1??lgx?1?2

?lgx?1,?x?10? ＝?

??1?lgx,1?x?10?

—269—

第九章 中学数学基本能力培养

本题在化简过程中，涉及了幂的对数、对数的定义及算术根等数学概念，每步推导都以相应的概念作为逻辑依据，所以，在数学教学中，加强基本概念训练的教学有助于培养学生的逻辑思维能力．

这一节和前两节学习了基本能力的培养，在学习中，我们可以看出，上述三种能力的培养是不可分割的．所以，我们应该在教学过程中，把三种能力的培养有机地结合起来，互相促进．我们知道，各部分中学数学内容，一般都同时包含有运算、推理和作图，这也从根本上给我们在教学中将三种能力有机地结合起来培养提供了依据和条件．但是中学各部分数学内容都有自己的重点，因此，我们在传授各部分数学知识时，既要考虑到培养各种能力的因素，同时还要考虑培养能力的重点和相互配合的问题，有计划地培养学生的各种能力．

§9．4 分析和解决实际问题的能力培养

9.4.1 什么是分析和解决实际问题的能力

中学数学教学大纲在数学教学目的中明确指出，要培养并“逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力”（1987），“使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题”（九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲，试用修订版，2000年3月第3版），“进一步培养……解决问题的能力”（全日制普通高级中学数学教学大纲，试验修订版，2000年2月第2版），这里的实际问题一方面是指现实生活中一些具体问题，另一方面是指数学学习中的一些具体问题，而现实生活中的一些具体问题往往要抽象成数学问题加以解决．所以说“逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力，”归根结蒂，就是要培养学生分析和解决实际问题的能力．

现实世界中存在的一切，莫不与数量关系和空间形式相关．人们要想从数形方面去认识世界，改造世界，首先必须善于从现实世界中抽象出研究对象的数量关系和空间形式．然后才有可能利用数学知识去分析和解决实际问题．这里离开观察、分析、抽象是不行的，它需要与三种基本能力相互结合，并与其它相关的诸能力相互作用，才能有效地解决实际问题．

中学数学教学内容十分广泛，数学问题俯拾皆是．为了巩固所学内容，教学中配备的例题、习题也相当丰富，而且题型多变，并有一定难度．要解决这些问

270

§9．2 空间想象能力的培养

题，不但需要扎实的数学知识、三种能力和各种相关能力的有机结合，而且需要灵活多变的解题方法．可以说，中学数学教学是伴随着分析和解决实际问题而进行的．没有解题的数学教学是不成功的教学，学习数学不会解题犹如登宝山空手而回，一无所获．所以“分析和解决实际问题的能力的培养”便集中表现在解数学题上．

9.4.2 培养学生分析和解决实际问题的能力的主要途径

如上所述，“学生分析和解决实际问题的能力的培养”集中表现在解数学题上．也就是说，解数学题是培养学生分析和解决实际问题的能力的主要途径． 为什么解数学题具有培养学生分析和解决实际问题的能力的作用呢？这是我们要首先回答的问题．其次，我们还将对数学解题教学进行一些讨论． 1、解题在数学教育中的作用和地位 解题是一种富有特征的数学学习活动．

用现代教育观点来看，学习不仅仅是在理解的基础上掌握和记忆所学知识，认识个别的事物或某一类事物，更重要的是掌握探索和解决所认识的问题的方法．前者只是构成极其复杂的思维过程结构的材料，而后者则是通过思维过程本身及结果去形成学生一定的素质（思维的、智能的）．而解题在这一过程中负有特殊重要的作用．这就是为什么在数学教学的现代方法和形式中要赋予习题一种特殊的地位．不管数学教师采取什么样的手段、方式、方法和以期达到什么样的教学目的，他们都会认真选定一些与教学大纲的学习内容有联系的习题让学生解答．学生解答了这些问题，不仅可以有效地掌握这些内容，而且也有助于发展学生的数学思维、提高能力和形成一定的思维素质．

著名的数学教育家波利亚指出：“掌握着数学意味着什么呢？这就是善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”

思维与解题过程的密切联系是我们大家都清楚的．虽然思维并非总等同于解题过程，然而思维形成的最有效办法是通过解题来实现的．在解题思维过程中，需要经过不断地分析、不断地综合，才能寻求到已知条件和结论之间的逻辑联系，建立已知条件和结论之间的桥梁．

解一道数学题，必须经由一个数学解题思维过程．所以说，解数学题，不仅在于可培养学生的分析和解决实际问题的能力，更重要的还在于培养发展了学生

—271—

第九章 中学数学基本能力培养

的思维能力．另一方面，学生的解题思维能力得到了培养和发展，解题能力也就提高了，因而分析和解决实际问题的能力也就提高了． 2、关于数学解题的教学

由上述讨论我们知道培养学生的分析和解决实际问题的能力，实质上就是要培养学生的解题能力．那么如何培养学生的解题能力呢？显然使学生牢固掌握基础知识、提高基本能力是培养学生解题能力的根本．但要进一步提高学生的解题能力，还需要与其它相关知识和相关能力相互融会贯通，灵活运用．下面我们将讨论在数学解题过程中提高学生解题能力的基本途径． （1）认真审题，理解题意

任何一个数学问题都包括已知条件和结论两个组成部分，以及与这个数学问题相关的已知概念、定理、公式和方法，已知条件和结论的各种关系等，这些都是解题的依据．审题，理解题意就是要弄清数学问题的已知、结论、已知和结论间的各种关系．

在进行解题教学的过程中，教师要做好审题的示范，教会学生审题的方法，使学生养成认真审题的良好习惯．对学生在审题过程中出现的失误，要及时加以纠正．

例1 写出集合{一年中有30天的月份}里的元素．

解 4月，6月，9月，11月．

现在我们要问：1月份有30天吗？回答当然是肯定的．同理，3月份，5月份，7月份，8月份，10月份，12月份也都有30天．所以原解是错误的．本题的答案是：1月、3月、4月、5月、6月、7月、8月、9月、10月、11月、12月．

如果将本例改为“写出集合{一年中仅有30天的月份}里的元素，”那么开始的解答就是正确的了．可见一字之差，在审题时都疏忽不得．

在审题过程中，往往根据不同的数学题的类型采用不同的方法．对于典型题，在审题时，只需审定题目所属类型并弄清其解法即可．而对于一些综合性较强，已知条件、结论比较复杂，或者条件隐蔽的数学题，为了提高学生的审题能力，要特别注意培养训练学生分析隐蔽条件和转换化简数学问题的能力．

例2 有一个3n项的等差数列，前n项的和为A，中间n项的和是B，最后

272

§9．2 空间想象能力的培养

2?A?C?n项的和为C，证明：B－AC＝??．

?2?2

本题已知条件和结论都是清楚的．但A、B、C的确切内容还要和等差数列联系起来才能表达出来，不然的话就无法进行推理证明，足见在审题过程中挖掘这一隐蔽关系十分重要．

事实上，可设等差数列首项为a，公差为d，则由等差数列求和公式可得 A? B? C?n?2a??n?1?d? 2n?2?a?nd???n?1?d??n?2a??n?1?d?2nd? 22n?2?a?2nd???n?1?d??n?2a??n?1?d?4nd? 22所以B＝A?n2d，C?A?2n2d．

因为B2－AC＝（A+n2d）2-A（A+2n2d）＝n4d2

?A?A?2n2d??A?C?42??????nd

2?2???2??2?A?C? 所以B－AC＝??．

?2?2

2A

上述都是人们按常规审题的思考过程，只要人们认真地将数学题的条件、结论进行分析综合，一般在一定范围内，总可寻得已知条件和结论之间的联系．但是也存在另一些数学题，已知条件和结论的关系并不是充要的，有的数学题甚至是假命题，通过审题，可作出正确判断．

例3 （国际数学竞赛题）已

B E D 图9-17

C

G

I

F O

知△ABC为等腰三角形，外接圆半径为r，内切圆半径为?，证明两圆的圆心距为d?r?r?2??．

如图9－17，连结CI交△ABC的外接圆于点F，连结BI、BF，因∠ABI=∠

—273—

第九章 中学数学基本能力培养

IBC，∠FBA=∠ACF=∠ICB，而∠FIB=∠IBC+∠ICB，∠FBI=∠ABI+∠FBA，所以∠FIB=∠FBI．

所以FB=FI．

连结FO交△ABC的外接圆于点G，连结BG，在△IEC与△FBG中，因为∠IEC=∠FBG=90°，∠ICE=∠FGB，所以△IEC≌△FBG，从而

CIIE? GFFB因为GF=2r，IE=?，FB=FI，故得 CI〃FI=2r? CI〃FI=AI〃DI

因为 AI〃DI=?r?d??r?d?，当∠A≤60°时，（图9-17）AI=r?d，DI=r?d． 当∠A＞60°时（图9-18），AI=r?d，DI=r?d，所以

?r?d??r?d??2r?

所以d?r?2r?， 即d?r?r?2??．

实际上本题的条件尚可减弱，这个结论对于任意的三角形都是成立的，这就是有名的欧拉公式．而证明也需在上述证明的基础上作些改变．如图9－19所示，同样可得IC〃FI＝2r?，然后连结OI，交 △ABC的外接圆于X、Y两点，显然有 CI〃IF＝IX〃YI 而XI＝r+d，YI＝r-d，从而得

（r+d）（r-d）＝2r? 同样可得d?r?r?2??．

通过本例的解题过程，我们可以看到AB＝AC，是过剩条件，也就是说本例的条件是充分的，然而这一结论的得出，并不B

X 274

22A

F I O

B

E C

G D 图9-18

F

A

Y

I

O C

G 图9-19

§9．2 空间想象能力的培养

是一开始就能在审题时轻易得出的，倒是因为解题及其讨论，我们对题目的条件与结论之间的关系更明确了、更清楚了，这样的辩证思维过程对审题是有益的． 还有的数学题所给的条件不足，即是说所给条件不足以合乎逻辑地得出与结论的联系．

例 已知两底角和两条腰的长，求作一梯形． 解 满足题目所给条件，作出的梯形并不是确定的．如图9－20所示，梯形ABCD和梯形ABC′D′都满足条件，因而求作的图形不确定，这是条件不足造成的．

B

图9-20

C′ C A

D′ D

例4 在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，求∠A的度数． 这个题目的条件不足是明显的，它使得我们无法得出∠A的度数． 但是有的数学题的条件不足，并不是人们一下子就能看出来的．它需要在解题过程中认真分析、综合方可得出．

由于已知条件的不妥，使得人们不能由此得到与结论之间的必然联系，于是人们往往举反例以断定这类数学题的错误，只有这时，题目的已知条件和结论间的联系人们才能有看清楚的可能．

例5 试证明在同阶矩阵中，A≠0，B≠0，若干AB＝0，则BA＝0 这是一个假命题，今举反例以说明．

?11??11??00??11??????? 今有A＝?，B＝，则AB＝，但BA＝?00???1?1??00???1?1??，所????????以BA≠0．

举反例是在审题过程中，明确地判断命题与已知定理、公理等相矛盾的情况下使用的证明方法．或是证出了结论的反面，这时亦可举反例．

认真审题，理解题意是解题的前奏，没有这一步，解题无法开始，但即使有了这一步，经审题之后，题意已清楚，解题仍感到无从下手，或是屡作屡败，终不济事的情况也是存在的．

例5 在△ABC中，若∠B和∠C的角平分线相等，则△ABC是等腰三角形． 这题就是初二的中学生也可把题目的条件与结论明确地区分出来，然而寻求其间的联系却不是轻而易举的事情．据有关资料提供，一百多年前，德国数学家莱麦斯公开提出了这个问题，不久，为德国数学家史坦纳解决．现在此题已有了

—275—

第九章 中学数学基本能力培养

80多种证法．而其中一个十分简单添圆弧证明的方法，却出现在20世纪60年代，距问题提出已有100年之久．这说明证题方法并不是在审题过程中就能确定了的．但若以此否定审题的作用也是不可取的．

还有一些数学问题，如哥德巴赫猜想，黎曼猜想等，至今人们既不能证明它们，又不能否定它们，然而它们的已知条件和结论都是清楚无疑的．这足以说明寻求已知条件和结论之间的逻辑关系是一件不容易的事情，因此在解题教学中要努力培养学生灵活运用知识寻找解题途径的能力． （2）机动灵活，寻找途径

寻找解数学题的途径，就是要找已知条件和结论间的逻辑联系．就寻找的方向而言，可以用顺推法，可以用逆推法，也可以用两头凑法．从思维的角度来看，它是一种复杂的分析综合过程．在这个过程中，人们需要灵活运用已有的知识和数学方法去进行推理．一般来说，如果能从已知向着结论的方向找出各种可能的结果，又能从结论向着已知方向寻找出各种充分条件，那么解题途径就不难找到． 例7 求方程X＋Y＋Z＋W＝11的正整数解的个数．

这个数学问题已是形式化问题，即已是抽象的数学问题．要解这个问题，由于X、Y、Z、W都是正整数，且其四者之和为11，显然只要通过有限次实验必可求出其正整数解的组数．然而这并不是简单的方法，我们还可以把11拆成11个1，并写成排，每两个1之间有一个间隔位臵，共有10个间隔位臵．然后把方程中的三个加号分别放在其中的3个间隔位臵上．易看出，每一种放法就是方程的一组正整数解．于是求方程有多少组正整数解的问题就变成在写在一排的11个1之间放了3个加号有多少种放法的问题．后一个问题显然是在前一个问题的基础上的进一步抽象，也就是抽象基础上的再次抽象．当我们灵活运用已有知识寻求解题途径时，抽象化的方法我们要随时准备使用，以使问题变得简单．可以说，在本题中抽象化的方法使我们找到了解题的途径．

培养学生灵活运用知识寻求解题途径，根据具体数学问题有时需推理证明，有时需通过计算实验．有时运用类比法，有时运用归纳法．有时还需将一些复杂的数学问题变形、转化成已知的典型的数学问题去求解．在一些适当的时候，还需添加辅助线，增设辅助数，在已知条件和结论之间搭桥铺路，以求其间的逻

2 276

A 1 5 3 D

4 C 图9-21

B §9．2 空间想象能力的培养

辑关系．

例6 证明：任意△ABC的内角和是180°．如图9－21．

本例若不增添辅助线是无法展开证明的．因此添加辅助线就成为必不可少的步骤，这是由于寻求已知条件与结论之间的联系而分析综合的结果．本例添加辅助线的方法有多种，今取其一种，过A点作AD∥BC，则有

∠1=∠2 ∠3=∠4 因为 ∠5+∠1+∠3=180° 所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

此题说明了添加辅助线的必要性．它为寻求解题途径提供了必由之路． 一般地说，一个数学题由于添加了辅助线，其寻求解题途径的难度总是有所减低，因为增加了已知条件和结论间的中介物．对同一数学题，添加不同的辅助线，会寻求到不同的解题途径，一般地说，不同的解题途径中，总有较佳者，对于较佳途径的选择，不但可看出人们思维的灵活性，更重要的是还能够体现出人们思维的批判性．

为了寻求解题途径，对于一些数学题增设辅助量也是一种重要的方法． 例7 解方程x4+（x－4）4＝626

解：此题若把（x－4）4展开，整理则得到一个一般的一元四次方程，虽然可解，但确实是繁了一点．能否有简单一点的方法呢？通过尝试，答案是肯定的． 令 y＝x－2，则x＝y＋2，x－4＝y－2 原方程化为（y＋2）4+（y－2）4＝626

化简整理得 y4＋24y2－297＝0 （1） 令 y2＝t，则得t2＋24t－297＝0， 解得 t1＝9，t2＝－33，

由此得y1＝3，y2＝－3，y3＝33，y4=-33； 所以x1=5，x2=-1，x3=2+33i，x4=2-33i．

本题的代换显得很巧妙，这是由于预见到可以化成（1）式，其中的y的奇次项能消去，继而可用解二次方程的方法求解．至此，由于增设辅助量，解题途径可以说已寻求到．

灵活运用各种知识，寻求解题途径，反证法也是一种十分有用的方法．为了寻求解题途径，直接证法固然用场很大，但有时即很繁很难，若改用反证法却较

—277—

第九章 中学数学基本能力培养

易．

例8 证明素数的个数是无穷的（即存在无穷个素数）．

本题若采用直接证法，则比较繁难，但若采用反证法，则较易．证明如下： 假设素数是有限的，设为P1、P2、……Pn（按大小的次序写的）．令N＝P1P2……Pn＋1

则N或者是素数，或者是合数．若N是素数，则N≥Pn，所以Pn不是最大素数．

若N是合数，则N必有一最小素因数P，且P≠Pi，若P＝Pi，则P|P1P2……Pn，又因为P|N，所以可得P|1，矛盾，所以P≠Pi，即N的最小素因数P＞Pn，这与我们已假设Pn是最大素数相矛盾，所以Pn不是最大素数． 所以最大素数不存在，素数的个数是无穷的．

为了寻求解题途径，有时可用代数方法处理几何问题，有时也可用三角知识处理几何问题，有时运用三角方法解代数问题，有时我们还要借助几何图形处理三角问题，凡此种种，用意皆在能迅速寻求到已知条件与结论之间的联系． 总之，抽象化的方法，添设辅助线，增设辅助量的方法，反证法都是寻求解题途径不可缺少的方法，只有在它们的参与下，直接证明计算，类比，归纳，化归等方法才能在寻求解题途径的过程中发挥更大的作用． （3）加强练习，尽力创造

培养学生的分析和解决实际问题的能力就是要培养学生的解题能力，除了教会学生审题，寻求解题途径外，就是要在教学中加强解题训练，做各种典型的习题，对一些习题给出多种解法，并且予以推广，努力培养学生的创造思维能力． 对中学生提出培养创造性思维能力是否妥当？回答是肯定的．

创造性思维，人皆有之．中学生的创造性思维虽同科学家的创造性思维有很大的不同，但两者也有着深刻的一致性．创造性思维的主体是创造性想象，而学生在学习中大量地需要“再造想象”，即对外来材料进行加工．再造想象同创造性想象，如阿达玛所说：“只有程度和水平的不同，两种工作在性质上是相似的．”中学生的思维活动中不断地产生对他们自己来说是新鲜的、开创的因素．对青少年学生，“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就称得上创造．我们要把创造的范围看得广一些，不要把它看得太神秘了．非要有新的科学理论才叫创造，那就高不可攀了”，这种看法不无道理．

278

§9．2 空间想象能力的培养

因此，学生发现某一问题的新解法，独立地、创造性地掌握数学，对不太复杂的数学问题作系统的阐述、发现定理的证明、独立演绎公式等，也都应是数学创造思维的表现，在数学教学中，加强练习，是培养学生创造性思维的良好途径． 现在我们用下面例子说明如何培养学生的创造性思维能力．

例1 如图9－22，在矩形ABCD中，A1E∥AB，A1A＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4D＝a，AB1＝B1B2＝B2B＝3a，试用三种方法证明：

∠B1A1E+∠B2A1E+∠BDC=角、几何知识为主来证明）． 这是“文革结束”，恢复高考后，1977年安徽省高考的附加题．这题给学生指明了创造的方向，至于创造的方法则由考生的水平所决定，各呈特色了． 法一：如图9－22所示，取

A3 D A4 C y

? （注：三种方法是指每种方法各以代数、三2A为坐标原点，AB为x轴正方向，A2 AD为y轴正方向，建立直角坐标

A1 E α β F x B1

B2 图9-22

B 系．作矢量AE，AF，AC，矢量AE表示的复数为Z1＝矢量AF表示的复数为3a+ai，

A Z2＝23a?ai，矢量AC表示的复数为Z3＝33a?5ai，因为A1E∥AB，

又因为α＝argz1，β＝argz2，γ＝argz3， 所以Z1Z2Z3=

?3a?ai??23a?ai33a?5ai?52a3i

D A4 A3 A2

E α β B1

B2 图9-23

F

—279— B C

???所以∠B1A1E+∠B2A1E+∠BDC=α+β+

γ＝argz1 +argz2+argz3

? ＝arg（z1z2z3）=arg（52ai）=

23γ 法二：如图9－23，显见??0，设

?BDC??， ?B1A1E??，?B2A1E??，

A1

A

第九章 中学数学基本能力培养

设tan??a3aa??3，因为?是锐角，所以??．

633， 6tan??tan??23a5a33a??53，所以 9tan???????tan??tan??3，又因为0??????，所以????，所

31?tan?tan?以???????2．所以

∠B1A1E+∠B2A1E+∠BDC=

? 2法三：如图9－24，作B1E⊥AB，B2F⊥AB，以AB为对称轴，作矩形ABGA1的对称图形ABB3A5，连结AE1，BE1，DE1，因为CD∥AB，所以∠BDC=∠ABD，在△E1BB1和△B2A1F中，因为∠BB1E1＝∠B2FA1＝90°，BB1＝A1F＝23a，B1E1=B2F=a，所以△E1BB1≌△B2A1F，∠B2A1F=∠E1BA．

因为DE1= BD=

?3a??33a?2??6a??39a，BE1=

2?23a?2?a2?13a，

2??5a??213a，

2所以DE12+BE12=BD2． 所以△DE1B是直角三角形

D A4 A3

C

?所以∠DE1B=

21?因为E1B=BD，所以∠DBE1=，

23A2

所以

∠B2A1E+∠BDC=∠E1BA+∠ABD

=∠DBE1=

A1

E

F

G

B1 E1 图9-24

B2 F1

B B3

? 3A A5

又因为在Rt△B1A1E中， A1B1=

?3a?2?a2?2a，

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§9．2 空间想象能力的培养

所以B1E＝

1?A1B1，∠B1A1E=，所以 26 ∠B1A1E+∠B2A1E+∠BDC=

?． 2 上述三种方法，显然三角方法最简．当三法俱已证毕时，得出上述结论是较易的，但这需要思维的批判性．而若能在未解题之前，通过审题，就能大致判定某个解法的优劣，繁简，这不但需要思维的灵活性，还需要思维的深刻性，在这些过程中，创造性思维能力都会得到培养．

一道数学题，当寻找到了已知条件和结论之间的逻辑联系之后，若能在此基础上进行推广，无疑会有利于培养学生的创造性思维能力． 例2 求 解

1111???……?． 2?33?44?599?100111??，

n?n?1?nn?111111111) 原式＝(?)?(?)?(?)?……?(?23344599100 观察可知，由第二个括号起，每个括号内的前项与前一括号的后项刚好正负相消，于是只剩下首项和末项，故

原式＝

1149??． 2100100此题解题规律，可推广到证明下列不等式： 求证：

1111??……??（n≥2）

?n?m??n?m?1?2n?n?1??n?1??n?2?证 由上例可知， 不等式的左端＝

11111??，且≤．所以命题得证． nn?m?1nn2将有限项推广到无限项，那么则有 求

11111????…的和S． ?…?2?33?44?55?6n?n?1?这需要引进极限的思想，于是

11111111????…??，当n??时，S?． ?…?2?33?44?55?62n?12n?n?1? 这里在解题的思想方法上就有了一个新的飞跃．若在此基础再进行推广．我

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第九章 中学数学基本能力培养

们还可得到一些相关的结果，如，求级数

1234????……的和S，2?33?44?55?6要求得这题的结果已非易事，它需要到大学里学了微积分的幂级数方能解答．在数学教学中，若能推广习题的结论，不但可培养学生的创造性思维能力，而且还可培养学生的学习数学的兴趣．即使这些推广学生一时还不完全会做，但它毕竟可把一些学生带到一个新的数学天地．倘若学生在老师的指导下，也能做一些推广，相信他们一定会感到其乐无穷．

此外，一些研究性的数学问题，一些数学竞赛题，由于问题的新颖性，学生每解出一道，多多少少总会有点新意，因此这些题目是培养学生的创造性思维的好材料．平时在数学教学中，有时可以竞赛题为例讲解，做作业有时可布臵竞赛题为选作题，使学生心理上感到竞赛题不神秘，创造性也不神秘，这样学生在将来的学习和生活中，就能在健康的心理状态下去学习、去创造．

创造意识的养成．对创造能力的培养具有积极的促进作用．所以，在数学教学中，还应注意培养学生的创造意识． （4）数学解题的基本要求

解答数学习题应做到正确、合理、简捷、完满、清楚．按照这些基本要求来培养学生良好的解题习惯，对于提高练习质量和解题能力都有很好的作用． 解题的正确性是指解题过程中的运算、推理、证明和所得结果均准确无误．这是解题中最重要的一点．在解题过程中，如果步步无错，一般说来，结果也是正确的．即使如此，复核和验证也是必需的．思维的批判性不但可断定解题的正确与否，而且可判断解题的质量，包括解题是否合理，方法是否简捷，结果是否完满，表达是否清楚等．显然后面四条相对于正确性具有锦上添花的作用． 解题合理是指列式、运算、推理、作图有充分的理由，即遵循正确的思维规律和形式．提高解题的合理性的关键在于提高学生思维能力，重视数学理论知识对于解题的指导作用．

解题简捷是指采用比较简单快速的方法．要做到解题简捷，关键在于培养熟练技巧和提高分析问题的能力，能灵活运用知识找出解题捷径．

解题完满是指完满解决习题提出的全部问题或者求出全部结果，习题无解时需说明理由，不合题意的解答应除去，解答应验算的要验算，有参数的问题应根据参数的取值范围进行全面讨论．

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§9．2 空间想象能力的培养

解题清楚是指解题有条理、表达清楚并符合一定的格式．

以上我们简略地叙述了解答数学习题的基本要求，要达到上述要求，一要有教师的典型示范，二要加强学生的基本训练．基本要求只有解题过程中才能得以实施并加以完成．

本章小结：世界各国的教育家很早就认识到培养学生能力的重大意义．我国古代教育早就有“举一反三”、“触类旁通”的教学经验概括，至于古语中的“授人以鱼，供一饭之需；教人以渔，则终身受益”，则更是精辟地指出了培养学生能力和学习方法的重要性．18世纪捷克教育家第斯多惠指出：“一个坏的教师廉价奉送真理，一个好的教师教人发现真理．”这句话更加深刻地对培养能力作出了高度评价，现代苏联教育家赞可夫说：“教学应同时完成两重任务：既在掌握知识和技巧方面达到高质量，又在学生发展上取得重大进步．”这是面对当代现代科学技术发展形势，对掌握知识和培养能力提出的更高要求．

凡是有经验的数学教师无不认为，在教学中教给学生一种有效的学习方法和培养他们的自学能力，比教会他们一种具体知识更有意义．我国的教育工作者过去和现在都有不少人在教学中致力于学生能力的培养．但一般的教师在学生的能力培养上只是自为的，而今日的形势则要求我们的教师在教学中要自觉地培养学生的能力．总之，今天的中学数学教师的教学应同其他各学科教学一样，不仅要传授数学知识，而且更重要的是给学生开启数学知识宝库的“钥匙”．只有这样才能使学生将来在四化建设中学会那些迫切需要的东西，才能使他们的知识臻于取之不尽用之不竭的境界．也只有这样的教学才能为我国的四化大厦培养出大批的栋梁之材．

既然培养学生的能力是这样重要，那么在教学中，究竟要培养学生的哪些能力呢？众所周知，中学数学教学大纲对此给予了明确回答：培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力．我们还知道，培养学生的“分析问题和解决问题的能力”，并不是单靠培养三种基本能力能完成的．在数学教学过程中，还必须注意其它能力的培养，例如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力，它们都是在教学过程中的各个阶段所需要的“一般能力”．

在数学教学中，三种基本能力的培养是十分重要的．培养这三种基本能力是

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第九章 中学数学基本能力培养

数学的内在要求，是数学本身的特点所决定的．因为数学是研究客观世界中数量关系和空间形成的一门科学．数学本身就具有逻辑的严谨性，所以数学教学中选择诸多能力中的三种，即运算能力，空间想象能力，思维能力，对学生加以培养，是很自然的事情．

培养学生的三种能力的最终归宿是使学生逐步形成分析问题和解决问题的能力．问题是什么？是数学问题和由现实世界中抽象出来的数学问题．要分析和解决这些问题，说到底，就是解数学题．当然与运算能力、空间想象能力、思维能力紧密相关，还与其他一般能力相关．也就是说解数学题要靠三种能力和一般能力交互作用，其中逻辑思维能力起着核心作用．

还要指明的一点是，能力和知识、技能的获得不是同步的，但却是有联系的．知识、技能、能力三者之间的关系是辩证的，知识面越广，技能越娴熟，在数学思维中，在解题过程中，可发现数学真理的机会就越多越快！很难设想，知识面很窄的人能完成重大的发现．反之，能力愈强，也就更有利于知识技能的掌握．

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