高中数学圆锥曲线方程试卷5(考点详解版)

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高中数学组卷圆锥曲线方程5

一．解答题（共30小题） 1．（2012?焦作一模）已知椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，左、右焦点分别

为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标． 2．（2012?宣威市校级模拟）如图，设△OEP的面积为S，已知（1）若（2）若S=|

，求向量|，且|

与

的夹角θ的取值范围；

|取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O为中心，

=1．

|≥2，当|

F为一个焦点且经过点P的椭圆方程．

3．（2012?分宜县校级一模）已知椭圆的两个焦点

，

且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使

恒为定值，求m的值．

4．（2012?湛江模拟）已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；

（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

第1页（共47页）

5．（2012?浙江模拟）已知抛物线C：y=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围． 6．（2012?宣威市校级模拟）线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线．（1）求这条抛物线方程；（2）若

，求m的最大值．

，一条准线的方程为x=2

．

7．（2011?重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足积为﹣．

，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之

问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

8．（2011春?凤凰县校级期末）已知椭圆

的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线

交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

；

第2页（共47页）

9．（2011?咸阳三模）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率物线

的焦点重合．

，且其中一个焦点与抛

（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（

，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在

一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2011?沅江市模拟）如图，设抛物线c1：y=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率e=的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P．（1）当m=1时，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

11．（2013秋?雁峰区校级期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

．求椭圆的方程．

12．（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x的焦点，离心率等于（1）求椭圆C的方程；

．

第3页（共47页）

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ2

，求证：λ1+λ2为定值．

的离心率为

．

=λ1

，

13．（2013?南开区二模）已知椭圆

（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若14．（2013?和平区校级模拟）直线

，求实数λ，μ满足的关系式．称为椭圆

的“特征

直线”，若椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的“特征直线”方程；

222

（Ⅱ）过椭圆C上一点M（x0，y0）（x0≠0）作圆x+y=b的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若

，求椭圆C的方程．

取值范围恰为

15．（2013?孝感校级模拟）已知椭圆C：心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求

取值范围；

=1，（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆=0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于

（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

16．（2013?杭州模拟）已知抛物线C：y=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

17．（2013春?开阳县校级月考）直线l：y=ax+1与双曲线C：3x﹣y=1相交于A，B两点．（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；

（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x﹣2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

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18．（2013秋?中山市校级月考）已知椭圆C：

，F1，F2是其左右

焦点，离心率为，且经过点（3，1）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且

，求直线A2Q斜率的取值范围；

（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值． 19．（2012?安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点，A

是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．

20．（2012秋?聊城校级期末）已知椭圆

（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线

段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明

．

21．（2015秋?太原校级期末）已知双曲线E：﹣=1 （a＞0，b＞0），其中斜率为的

直线与其一条渐近线平行．（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足

=λ

，求λ的值．

的中心为原点O，

22．（2015秋?东莞市期末）已知双曲线E：

左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点M（5，），又P点是直线x=点，点Q在双曲线E上，且满足

上任意一

=0．

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（1）求双曲线的方程；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足

，证明点H恒在一条定直线上．

23．（2015秋?丹阳市期中）椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l

的距离为10，圆G：（x﹣1）+y=1．（1）求椭圆的方程；

（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求

的取值范围；

（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足

？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理

由．

24．（2015秋?行唐县校级月考）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的右顶点，上顶点分别

为M、N，过其左焦点F作直线l垂直于x轴，且与椭圆在第二象限交于点P，=λ

（1）求证：a=；

（2）若椭圆的弦AB过点E（2，0）并与坐标轴不垂直，设点A关于x轴的对称点A，直线A1B与x轴交于点R（5，0），求椭圆C的方程． 25．（2015秋?河南月考）已知椭圆E：

=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x

﹣y+1=0的距离为．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．

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26．（2014?漳州校级模拟）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|数列，且

与

同向．

|、|

|成等差

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 27．（2014?惠州模拟）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

28．（2014?大庆一模）已知椭圆

（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，

椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求

的取值范围．

29．（2014?宜昌模拟）已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．

（1）求点M轨迹C的方程；

（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）． 30．（2014秋?武侯区校级月考）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上的

点到焦点的距离的最小值为2﹣，其离心率e是方程2x﹣3x+3=0的根．（1）求椭圆C的标准方程；

（2）（2）若椭圆C长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x轴交于点D，动点M是直线x=4上异于点D的任意一点，直线A1M，A2M与椭圆C交于P，Q两点，问直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．

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高中数学组卷圆锥曲线方程5

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?焦作一模）已知椭圆为F1、F2，点

（1）求椭圆C的方程；

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，左、右焦点分别

，点F2在线段PF1的中垂线上．

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．

（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．

【解答】解：（1）由椭圆C的离心率

得

，其中

，

椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上 ∴|F1F2|=|PF2|，∴∴

．

解得c=1，a=2，b=1，

（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由

消去y，得（2k+1）x+4kmx+2m﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），

222

则△=（4km）﹣4（2k+1）（2m﹣2）≥0

即2k﹣m+1≥0 则

，且

由已知α+β=π，得

化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0 ∴

．

整理得m=﹣2k．

第8页（共47页）

∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．

2．（2012?宣威市校级模拟）如图，设△OEP的面积为S，已知（1）若（2）若S=|

，求向量|，且|

与

的夹角θ的取值范围；

|取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O为中心，

=1．

|≥2，当|

F为一个焦点且经过点P的椭圆方程．

【分析】（Ⅰ）令 ∵

，∴

，由题设知，由此可求出

，

的范围．．

，

（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），由题设知

，

．由此知

取最小值时，能够求出椭圆的方程．

，由此入手，当

【解答】解：（Ⅰ）令 ∵∵∴

，∵

，∴．

，∴

=，，∴

，，

，

∵θ∈[0，π]，∴

（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），

且，∴．

∵，

第9页（共47页）

∴∴∴∵c≥2， ∴当c=2时，

，∴

．

．，

最小，此时Q（），

设椭圆方程为，

∴，

∴a=10，b=6． ∴所求椭圆为

．

【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方

法．

3．（2012?分宜县校级一模）已知椭圆的两个焦点

，

且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使【分析】（I）由题意得到 c=

恒为定值，求m的值．，tan30°=

=，可得b、a值，即得椭圆的方程．

（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入的解析式化简得

恒为定值，故有

【解答】解：（I）由题意可得 c=

，tan30°=

，从而解出m值．

=，∴b=1，∴a=2，

故椭圆的方程为．

第10页（共47页）

（Ⅱ）设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k．代入椭圆的方程化简可得（1+4k）x﹣8kx+4k﹣4=0， ∴x1+x2=

，x1?x2=

．

∵

=（m﹣x1，﹣y1 ）?（m﹣x2，﹣y2）=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2

=（m+k）+（1+k）x1?x2﹣（m+k）（x1+x2） =（m+k）+（1+k）

﹣（m+k）（

）

= 恒为定值，

∴，

∴m=．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由

恒为定值，得到

4．（2012?湛江模拟）已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、

且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；

（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

，是解题的关键和难点．

【分析】（Ⅰ）抛物线的准线为（Ⅱ）由题意得B，M的坐标，由此可知点N的坐标即可；

第11页（共47页）

，于是，

，p=2，由此可知抛物线方程为y=4x．，直线FA的方程，直线MN的方程，

（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．【解答】解：（1）抛物线

，∴p=2．

∴抛物线方程为y=4x．

（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴

，∴

，

．*k*s*5*u

则FA的方程为y=（x﹣1），MN的方程为

解方程组，∴．

（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为

，即为4x﹣（4﹣m）y﹣4m=0，

圆心M（0，2）到直线AK的距离，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，

直线AK与圆M相离；

当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交．

【点评】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

5．（2012?浙江模拟）已知抛物线C：y=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．【分析】（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；

（2）设A（x，y），y=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：

对x≥0都成立

令

立，下面分类讨论：（i）若

，（ii）若

对x≥0都成

，求得m的取值范围即可．

【解答】解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，∵∠PQF=90°， ∴A为PF的中点，∵

第12页（共47页）

，

且点A在抛物线上，代入得所以抛物线方程为

．（5分）

（2）设A（x，y），y=2px，根据题意：∠MAF为锐角

且

，

∵y=2px，所以得令

对x≥0都成立（9分）（i）若整理得：所以（ii）若所以

．（11分），即（13分）

且

．（15分）

，只要使

成立，得m＞0

，即

时，只要使

，且

，

成立，

对x≥0都成立

由（i）（ii）得m的取值范围是

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，

考查了计算能力． 6．（2012?宣威市校级模拟）线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线．（1）求这条抛物线方程；（2）若

，求m的最大值．

【分析】（1）设抛物线方程、直线AB的方程，联立这两个方程组消去x，利用两端点A、B到x轴的距离之积为2m，可求m的值，从而可得抛物线方程；

（2）利用tan（∠AOM+∠BOM）=﹣1，结合韦达定理，确定k、m的关系式，从而可得不等式，由此可求m的最大值．

【解答】解：（1）可设抛物线方程为y=2px（p＞0），设直线AB的方程为y=k（x﹣m）（k≠0）…（2分）联立这两个方程组消去x得，ky﹣2py﹣2pkm=0，…（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得|y1|?|y2|=2m，注意到y1?y2＜0，所以y1?y2=﹣2m，

第13页（共47页）

又y1?y2=﹣2pm，所以﹣2m=﹣2pm，因为m＞0，所以p=1．

所以抛物线方程为y=2x；…（6分）（2）因为

，所以tan∠AOB=﹣1，即tan（∠AOM+∠BOM）=﹣1

又，，

所以，

整理得y1y2+4=2（y1﹣y2）．…（8分）因为y1y2=﹣2m，所以y1﹣y2=2﹣m＞0，从而即

，

因此m﹣12m+4＞0，…（10分）

又当AB⊥x轴时，y1+y2=0，所以8m=（2﹣m），即m﹣12m+4=0，

于是m﹣12m+4≥0，且0＜m＜2，解之不等式组得到．故m的最大值是．…（12分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查解不等式，属于中档题．

7．（2011?重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足积为﹣．

问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之

，一条准线的方程为x=2

．

，，即

，所以

【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．

第14页（共47页）

（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x+2y20+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进

而求得x+2y的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==∴b=

，

，求得a=2，c=

∴椭圆的方程为：

（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由

，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x=x1+2x2，y=y1+2y2， ∵点M，N在椭圆上，所以

，

故x+2y=（x1+4x2+4x1x2）+2（y1+4y2+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=﹣ ∴x1x2+2y1y2=0 22

∴x+2y=20 所以P在椭圆

上；

，

设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

8．（2011春?凤凰县校级期末）已知椭圆

的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线

交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

；

第15页（共47页）

【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距

，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，

故x0+y0=1，由此可以证出

．

（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=

，并化简得（3k+2）x+6kx+3k

2222

再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小

值．

【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距

，

由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0+y0=1，所以，

．

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程

，并化简得（3k+2）x+6kx+3k﹣6=0．

设B（x1，y1），D（x2，y2），则

，

|BD|=；

因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，

第16页（共47页）

所以，|AC|=．

四边形ABCD的面积

?|BD||AC|=

．

当k=1时，上式取等号．

（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为

．

【点评】本题综合考查椭圆的性质信其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细计算，注意公式的灵活运用，避免出现不应有的错误．

9．（2011?咸阳三模）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率物线

的焦点重合．

，且其中一个焦点与抛

（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（

，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在

一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．

（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x+y=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）+y=

．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，

进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入?0）．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

，离心率

，

，抛物

的表达式中，求得

=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，

线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x+

第17页（共47页）

（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x+y=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）+y=

．

由解得即两圆相切于点（1，0）．

因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．

事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．

由即（k+2）x+kx+k﹣2=0．

2222

记点A（x1，y1），B（x2，y2），则

又因为

=（x1﹣1，y1），

=（x2﹣1，y2），

=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）

（x2﹣1）+k（x1+）（x2+）

=（k+1）x1x2+（k﹣1）（x1+x2）+k+1

=（k+1）

+（k﹣1）

++1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

第18页（共47页）

（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

【分析】由题设条件设椭圆方程为

．

（1）当m=1时，故椭圆方程为．

（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立得点P的坐标为

．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．

（3）假设存在满足条件的实数m，由解得：

．，，又

．由此可知当m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．

【解答】解：∵c1：y=4mx的右焦点F2（m，0） ∴椭圆的半焦距c=m，又

，

．

∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长椭圆方程为

．

（1）当m=1时，故椭圆方程为，（3分）

（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R

第19页（共47页）

联立得点P的坐标为

．

将x=ky+1代入y=4x得y﹣4ky﹣4=0．设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=﹣4．又

，

．

∵k∈R，于是

．

的值可能小于零，等于零，大于零．

即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）（3）假设存在满足条件的实数m，

由解得：．

∴，

、

．

，又．

即△PF1F2的边长分别是

∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

第20页（共47页）

11．（2013秋?雁峰区校级期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

．求椭圆的方程．

【分析】先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=

可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根

之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程．【解答】解：设所求椭圆方程为依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

①②

将②式代入①式，整理得 222222

（a+b）x+2ax+a（1﹣b）=0，③

设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．由题设OP⊥OQ，|PQ|=

，可得

整理得 ④⑤

解这个方程组，得或

根据根与系数的关系，由③式得

（Ⅰ）或（Ⅱ）

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或

第21页（共47页）

故所求椭圆的方程为，或

【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题． 12．（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x的焦点，离心率等于（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ2

，求证：λ1+λ2为定值．

的焦点，离心率等于

．易求=λ1

，

．

【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线

出a，b的值，得到椭圆C的方程．

（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中

，

，求出λ1+λ2值，即可得到结论．

【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）

∴．∴a=5．…（4分）

∴椭圆C的方程为．…（5分）

（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）

2222

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k）x﹣20kx+20k﹣5=0．…（8分）∴

．…（9分）

又∵．（11

分）∴．…（12分）

【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．

第22页（共47页）

13．（2013?南开区二模）已知椭圆

的离心率为

．

（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若

，求实数λ，μ满足的关系式．

【分析】（I）由题意知b=2，a=12，b=4．由此可知椭圆的方程为（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x+3y=3b，AB：

．设A（x1，y1），B（x2，y2），

．，所以

，所以b=1．（II）（ii）显然内的向量

与

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面

成立．同上经可知λ+μ=1．

，∴

∵a﹣b=c，∴

，有且只有一对实数λ，μ，使得等

，∴b=2∵

【解答】解：（I）∵解得a=12，b=4．椭圆的方程为

．（4分）

（II）（i）∵易知右焦点由①，②有：

，∴

，据题意有AB：

③

．椭圆的方程可化为：x+3y=3b①

②

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴b=1（8分）（II）（ii）显然内的向量

与

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面

成立．

，有且只有一对实数λ，μ，使得等

第23页（共47页）

设M（x，y），∵（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，

222

又点M在椭圆上，∴（λx1+μx2）+3（λy1+μy2）=3b④ 由③有：则

3b﹣9b+6b=0⑤

222222

又A，B在椭圆上，故有x1+3y1=3b，x2+3y2=3b⑥

将⑥，⑤代入④可得：λ+μ=1．（14分）

【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．

14．（2013?和平区校级模拟）直线

称为椭圆

的“特征

直线”，若椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的“特征直线”方程；

222

（Ⅱ）过椭圆C上一点M（x0，y0）（x0≠0）作圆x+y=b的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若

，求椭圆C的方程．

【分析】（Ⅰ）由离心率的值求得

，即得特征直线

的方程．

取值范围恰为

（Ⅱ）用点斜式求出直线PQ的方程，与圆的方程联立求得E的纵坐标y1 ，同理求得F

的纵坐标y2，再根据点M满足的条件及两个向量的数量积公式求得，由0＜x0≤4b 进一步化简得，程．

【解答】解：（Ⅰ）设c=a﹣b（c＞0），则由

，或，结合条件有 b=1，从而得到椭圆C的方

，得，

∴，椭圆的“特征直线”方程为：x±2y=0．

（Ⅱ）根据P、Q是以MO为直径的圆和圆x+y=b的交点，把两圆的方程相减可得

直线PQ的方程，并化为一般式为 x0x+y0y=b，设E（x1，y1），F（x2，y2），联立

，解得

．同理可求

，

，∵M（x0，y0）是椭圆上的点，

第24页（共47页）

∴，从而，

∵0＜x0≤4b，∴

由条件得 b=1，故椭圆C的方程为

，∴．

，或，

【点评】本题考查椭圆的简单性质，两个向量的数量积公式，以及不等式的性质的应用．

15．（2013?孝感校级模拟）已知椭圆C：心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求

取值范围；

=1，（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆=0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于

（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率得到a，b的关系式

，由原点到直线x﹣y+

=0的

距离求得b，则a可求，椭圆方程可求；

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线方程与椭圆方程，由△＞0得k的范围，利用根与系数的关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入?

，结合k的范围可得

取值范围；

（Ⅲ）由B、E两点关于x轴对称，得到E（x2，﹣y2），写出直线AE的方程，求出直线在x轴上的截距x=1，则可说明直线AE与x轴交于定点（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：由题意知

，∴，即，

又，∴a=4，b=3，

故椭圆的方程为；

（Ⅱ）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），

由得：（4k+3）x﹣32kx+64k﹣12=0．

由△=（﹣32k）﹣4（4k+3）（64k﹣12）＞0得：

2222

．

第25页（共47页）

设A（x1，y1），B （x2，y2），则∴y1y2=k（x1﹣4）k（x2﹣4）=

， ①

，

∴∵∴

，∴的取值范围是

，则

．

，

；

（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x2，﹣y2），直线AE的方程

又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）， ∴

，

，令y=0，得

，

将①代入上式并整理得：x=1， ∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系求解，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是压轴题．

16．（2013?杭州模拟）已知抛物线C：y=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．【分析】（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；

（2）设A（x，y），y=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：对x≥0都成立，令

性质分类讨论，即可求得m的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|， ∵∠PQF=90°，∴A为PF的中点， ∵

且点A在抛物线上，代入得所以抛物线方程为

＞0对x≥0都成立，下面结合二次函数的

， ?

．…（5分）

第26页（共47页）

（2）设A（x，y），y=2px，根据题意：∠MAF为锐角

且

，，

，

∵y=2px，所以得令

对x≥0都成立…（9分） ①若整理得：所以②若所以

．…（11分），即…（13分）

且

．…（15分）

，只要使

成立，得m＞0

，即

时，只要使

，且

，

成立，

对x≥0都成立

由①②得m的取值范围是

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，考查了计算能力．

17．（2013春?开阳县校级月考）直线l：y=ax+1与双曲线C：3x﹣y=1相交于A，B两点．（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；

（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x﹣2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y1y2=﹣x1x2．根据韦达定理表示出x1x2．进而根据直线方程表示出y1y2，代入y1y2=﹣x1x2．求得a．

（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把AB的中点代入直线y=x中求得y1+y2和x1+x2的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出x1+x2，联立方程求得a，看结果是否与a=﹣2矛盾即可．

2222

【解答】解：（1）联立方程ax+1=y与3x﹣y=1，消去y得：（3﹣a）x﹣2ax﹣2=0（*）又直线与双曲线相交于A，B两点，3﹣a≠0，所以a≠±，∴又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=﹣x1x2．

．

第27页（共47页）

且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=ax1x2+a（x1+x2）+1=﹣x1x2?x1x2（1+a）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：

，

代入上式得

．满足条件．

（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=﹣2．又AB中点在

上，则

，

又y1+y2=a（x1+x2）+2，代入上式知

这与a=﹣2矛盾．

故这样的实数a不存在．

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．

18．（2013秋?中山市校级月考）已知椭圆C：

，F1，F2是其左右

焦点，离心率为，且经过点（3，1）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且

，求直线A2Q斜率的取值范围；

（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．【分析】（1）根据椭圆的离心率为

，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；

（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则可得kk'=

=，利用，

即可求直线A2Q斜率的取值范围；

（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为

，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可

第28页（共47页）

∴，

∴椭圆C的标准方程为…（3分）

（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则

，…（5分）

∴kk'=及…（6分）

则kk'==

又…（7分）

∴

，

故A2Q斜率的取值范围为（

） …（8分）

（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有

由椭圆定义，有

…（9分）

∴cos∠F1QF2=

…（10分）

=…（11分）

≥…（12分）

==…（13分）

第29页（共47页）

，

∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，

cos∠F1QF2取得最小值）

…（14分）

【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．

19．（2012?安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点，A

是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40

，求a，b 的值．

【分析】（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40a，b 的值．

【解答】解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°?a=2c?e==．

（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，

222

在三角形BF1F2中，|BF1|=|BF2|+|F1F2|﹣2|BF2||F1F2|cos120° ?（2a﹣m）=m+a+am．?m=△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60° ?

?a=10， ∴c=5，b=5

=40

，直接求

．

第30页（共47页）

【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．

20．（2012秋?聊城校级期末）已知椭圆

（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线

段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明

．

【分析】设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．

【解答】证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即

2222

（x1﹣x0）+y1=（x2﹣x0）+y2① ∵A、B在椭圆上， ∴

，

．

将上式代入①，得 2（x2﹣x1）x0=

②

∵x1≠x2，可得

∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2， ∴﹣2a＜x1+x2＜2a， ∴

．

．③

【点评】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．

21．（2015秋?太原校级期末）已知双曲线E：

﹣

=1 （a＞0，b＞0），其中斜率为

的

直线与其一条渐近线平行．（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足

=λ

，求λ的值．

a，由a，b，c的关系和离心率

【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=公式，计算即可得到所求值；

第31页（共47页）

（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代足

=λ

+﹣

，即可求得λ的值．

=1的渐近线方程为y=±x，

【解答】解：（1）双曲线E：

由斜率为=c=可得e==

的直线与其一条渐近线平行，可得

a， a，；

，即b=

（2）由（1）可得双曲线的方程为x﹣5y=5b，联立

，得4x﹣10cx+35b=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=c，x1?x2=设即

=（x3，y3），

=λ，

， +

，

又C为双曲线上一点，即x3﹣5y3=5b，

222

有（λx1+x2）﹣5（λy1+y2）=5b，

222222

化简得：λ（x1﹣5y1）+（x2﹣5y2）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，

222222

所以x1﹣5y1=5b，x2﹣5y2=5b，而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c） =﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c=﹣4?=

+5c?

﹣5c

﹣35b=

?6b﹣35b=10b，

得λ+4λ=0，解得λ=0或﹣4．

【点评】此题是个难题．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

第32页（共47页）

22．（2015秋?东莞市期末）已知双曲线E：的中心为原点O，

左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点M（5，），又P点是直线x=点，点Q在双曲线E上，且满足

=0．

上任意一

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足

，证明点H恒在一条定直线上．

【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的a，b，c的关系，即可求得a，b，进而得到双曲线的方程；（2）设出P（

，t），Q（x0，y0），代入双曲线的方程，再由

=0，得到方程，

再由直线的斜率公式，得到直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值

；

，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，

（3）设点H（x，y），且过点（

y1），N（x2，y2），则9x1﹣16y1=144，9x2﹣16y2=144，即y1=﹣16），设上．

【解答】解：（1）双曲线E：

﹣

=1（a＞0），c=a+b，

（x1﹣16），y2=

（x2

==λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线9x﹣5y﹣45=0

由于离心率为，即e==，

即有=，

M（5，）代入双曲线的方程可得解得a=4，b=3，c=5，即有双曲线的方程为

﹣

=1；

﹣=1，

（2）证明：由于点P是直线x=可设P（

，t），

=上任意一点，

第33页（共47页）

再由Q为双曲线﹣

=1一点，可设Q（x0，y0），

则﹣

=1，即y0=

（x0﹣16）．

由F2（5，0），则

=（5﹣

，﹣t）?（5﹣x0，﹣y0）=0，

即有9﹣x0+ty0=0，即有ty0=﹣9+x0，

则kPQ?kOQ=

==，

则直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值（3）证明：设点H（x，y），且过点P（

；

，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），

则9x1﹣16y1=144，9x2﹣16y2=144，即y1=设

（x1﹣16），y2=

=λ，

（x2﹣16），⑥⑦

则．

即，

整理，得

第34页（共47页）

由①×③，②×④得，

将y1=

（x1﹣16），y2=

（x2﹣16），代入⑥，

得y=×﹣9 ⑦

将⑤代入⑦，得y=x﹣9．

所以点H恒在定直线9x﹣5y﹣45=0上．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标公式，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．

23．（2015秋?丹阳市期中）椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l

的距离为10，圆G：（x﹣1）+y=1．（1）求椭圆的方程；

（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求

的取值范围；

（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足

？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理

由．

【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则

椭圆方程可求；

第35页（共47页）

（2）圆G：（x﹣1）+y=1的圆心在椭圆的右焦点上，把

转化为含椭圆离心率与PH的

式子，求出PH的范围可得答案；

222

（3）设圆M：（x﹣m）+（y﹣n）=r（r＞0）满足条件，N（x，y），可知点（m，n）满足

，化圆的方程为一般式，由

得x+y﹣6x﹣1=0，

代入圆的方程可得2（m﹣3）x+2ny﹣m﹣n﹣1+r=0对圆M上点N（x，y）恒成立，由系数为0求得m，n，r的值，验证满足

后可得答案．

【解答】解：（1）由题意可得，解得a=3，c=1，∴b=a﹣c=8．

222

则椭圆方程为

；

（2）圆G：（x﹣1）+y=1的圆心在椭圆的右焦点上， ∴

，

∵e=，PH∈[∴

[

]=[6，12]， ]，则

∈[

]；

（3）设圆M：（x﹣m）+（y﹣n）=r（r＞0）满足条件，N（x，y），其中点（m，n）满足

，则x+y=2mx+2ny﹣m﹣n+r，

，

要使

即NF=2NT，即x+y﹣6x﹣1=0，

2222

代入x+y=2mx+2ny﹣m﹣n+r，

222

得2（m﹣3）x+2ny﹣m﹣n﹣1+r=0对圆M上点N（x，y）恒成立，

只要使，得，经检验m=3，n=0满足，

故存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足

，圆M的方程为（x﹣3）+y=10．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，对于（3）的求解是该题的难点所在，与恒成立问题进行了交汇，试题设置难度较大．

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24．（2015秋?行唐县校级月考）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点，上顶点分别

为M、N，过其左焦点F作直线l垂直于x轴，且与椭圆在第二象限交于点P，=λ

（1）求证：a=；

（2）若椭圆的弦AB过点E（2，0）并与坐标轴不垂直，设点A关于x轴的对称点A，直线A1B与x轴交于点R（5，0），求椭圆C的方程．【分析】（1）由椭圆方程得M、N的坐标，进一步求得

，写出过椭圆左焦

的坐标

点F作直线l的方程：x=﹣c，联立直线方程和椭圆方程，求得P的坐标，再求出由

=λ

可得b=c，结合a=b+c得答案；

（2）设椭圆方程为x+2y=2b，设直线AB：y=k（x﹣2），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，求出A1（x1，﹣y1），结合A1、B、R共线得求．

【解答】（1）证明：由椭圆方程C：N（0，b），则

，

=1（a＞b＞0）得M、N的坐标为M（a，0），，再结合根与系数关系求得b=5．则椭圆方程可

又过椭圆左焦点F作直线l垂直x轴，设直线l方程：x=﹣c，

由，得P（﹣c，），∴=（﹣c，），

由

=λ

，得

，化简得b=c，

由a=b+c，得a=；

222

（2）解：由（1），椭圆方程可设为x+2y=2b， ∵弦AB经过点E（2，0），并与坐标轴不垂直， ∴设直线AB：y=k（x﹣2），由

，得（1+2k）x﹣8kx+8k﹣2b=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

． ①

点A关于x轴的对称点为A1，∴A1（x1，﹣y1），

第37页（共47页）

由A1、B、R共线得

，又，

∴（5﹣x1）（﹣y2）﹣y1（5﹣x2）=0，化简得2x1x2+20=7（x1+x2）．② 将①式代入②中得解得b=5．椭圆方程为

．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常联立直线方程和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系解题，该题（2）采用向量求解简化了运算量，该题是压轴题．

25．（2015秋?河南月考）已知椭圆E：

=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x

﹣y+1=0的距离为．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．【分析】（1）由题意得到关于a，c的方程，求出a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）设出直线l的方程y=kx+t，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M，N的横坐标的和与积，再由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，代入三角形面积公式，结合MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等可得k的值，把三角形面积转化为含有t的关系式，则求出使三角形OMN的面积最大时的k与t的值，进一步求得△OCD的面积．

【解答】解：（1）由题意，得

，解得，

∴b=a﹣c=2﹣1=1，则椭圆E的标准方程为

；

（2）如图，设直线l的方程为y=kx+t，

联立

，得（1+2k）x+4ktx+2t﹣2=0，

△=16kt﹣4（1+2k）（2t﹣2）=16k﹣8t+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），

第38页（共47页）

则，

由C，D两点到直线OG的距离相等，可知G为CD的中点，由直线方程为y=kx+t，得C（﹣∴G（

），D（0，t），），