6.1 总体、样本与统计量

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数理统计基本概念

第六章 数理统计的基本概念总体、 §6.1 总体、样本与统计量 §6.2 常用统计分布电子科技大学

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总体、 §6.1 总体、样本与统计量 一、引言 数理统计以概率论为理论基础 以概率论为理论基础, 数理统计以概率论为理论基础,研究 1)研究如何以有效的方式收集和整理随 )研究如何以有效的方式收集和整理随 收集和整理 机数据; 机数据; 2) 研究如何合理地分析随机数据从而作出 研究如何合理地分析随机数据从而作出 分析随机数据 科学的推断 称为统计推断 统计推断). 科学的推断 (称为统计推断).电子科技大学

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两类工作有密切联系. 两类工作有密切联系. 将主要介绍统计推断方面的内容. 将主要介绍统计推断方面的内容. 二、总体 总体：研究对象的单位元素所组成的集合. 总体：研究对象的单位元素所组成的集合. 个体：组成总体的每个单位元素. 个体：组成总体的每个单位元素. 要考察本校男生的身体情况， 例1 要考察本校男生的身体情况，则将本校 的所有男生视为一个总体， 的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是 一个个体. 一个个体.电子科技大学

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考察某厂生产的电子元器件的质量， 例2 考察某厂生产的电子元器件的质量，将全 部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体. 部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体. 通常需要对总体的一项或几项数量指标进 通常需要对总体的一项或几项数量指标进 数量指标 行研究. 如仅考虑男生的身高和体重(X, 如仅考虑男生的身高和体重 Y) ,不考虑 男生的视力、胸围等. 男生的视力、胸围等. 关心电子元件的寿命， 如，关心电子元件的寿命，则寿命 X 为其 一个数量指标， 一个数量指标，且 X 是服从指数分布的随机 变量. 变量.电子科技大学

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由于上述数量指标往往是随机变量， 由于上述数量指标往往是随机变量，具有 随机变量 一定的分布. 一定的分布. 以后将(实际)总体和数量指标 等同起来. 等同起来 以后将(实际)总体和数量指标X等同起来. 总体分布是指 是指数量指标 的分布 的分布. 总体分布是指数量指标 X的分布.

总 体

是

随

机

变

量

三、样本 一般，从总体中抽取一部分( 一般，从总体中抽取一部分(取 n 个)进 行观测， 个个体的试验( 行观测，再依据这 n个个体的试验(或观察) 个个体的试验 或观察) 的结果去推断总体的性质. 的结果去推断总体的性质.电子科技大学

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样本: 按照一定的规则 一定的规则从总体中抽取的 样本: 按照一定的规则从总体中抽取的 一部

分个体. 一部分个体. 抽样：抽取样本的过程. 抽样：抽取样本的过程. 样本容量： 样本容量：样本中个体的数目 n . 将第 i 个个体的对应指标记为 Xi,i=1,2, …, n, 构成的随机向量 (X1 , X2 , ···, Xn )称为样本 称为样本. 称为样本 样本是一组随机变量，其具体试验 观察 观察) 样本是一组随机变量，其具体试验(观察 是一组随机变量 样本观测值， 数值记为： 称为样本观测值 数值记为：x1 , x2 , ···, xn ,称为样本观测值， 简称样本值 简称样本值. 样本值电子科技大学

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为使样本具有代表性， 为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件 从民意测验看抽样 (1)Xi 与总体同分布； ) 与总体同分布； 相互独立. (2) X1 , X2 , ···, Xn 相互独立 ) 定义6.1.1 设X1 , X2 , ···, Xn是来自总体 是来自总体X 定义

?

的样本，如果相互独立且每个分量与总体同 的样本，如果相互独立且每个分量与总体同 相互独立且每个分量与总体 分布，称其为简单随机样本，简称样本 分布，称其为简单随机样本，简称样本. 简单随机样本电子科技大学

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若总体X的分布函数为 则样本X 若总体 的分布函数为 F(x), 则样本 1 , X2 , ···, Xn的联合分布函数为

F( x1 , x2 , , xn ) = P{X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , , Xn ≤ xn }= ∏FXk ( xk )k=1 n

四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ···, Xn是总体 的样本， 是总体X的样本 的样本， 定义 T为n元实值函数，若样本的函数 为 元实值函数 元实值函数， T=T(X1 , X2 , ···, Xn)电子科技大学

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是随机变量且不含未知参数， 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量 为统计量. 对相应的样本值( 对相应的样本值 x1 , x2 , … , xn ) ,称 t =T( x1 , x2 , … , xn ) 为统计量的统计值. 为统计量的统计值. 统计值

判断统计量

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总 样

体 本

是 是

随 随

机 机

变 向

量 量

统计量

随机变量(或向量) 是 随机变量(或向量)

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常见统计量： 常见统计量： 样本均值： 样本均值：1 n X = ∑ Xi n i=1

样本方差： 样本方差： 1 n 2 2 S = ∑( Xi X) n 1 i =1 样本k阶中心矩： 样本 阶中心矩： 阶中心矩

阶原点矩： 样本 k 阶原点矩：

1 n k A = ∑ Xi k n i =1

1n k Mk = ∑( Xi X ) n i =1电子科技大学

统称样本矩 统称样本矩

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几个重要关系式：

A =X 12 n 1 2 1 n 2 2 M2 = S = ∑ Xi X = A2 A 1 n n i =1 i=

X, S2, Ak, Mk 统计量

x, s2, ak, mk 统计值电子科技大学

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思考 样本矩与总体矩 (即第四章中定义的矩) 的概念有什么区别？ 的矩) 的概念有什么

区别？

样本矩 是 随机变量! 随机变量! 数值! 总体矩 是 数值!

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从民意测验看抽样 1936年，Franklin Delano Rosevelt(罗斯福 罗斯福) 年 罗斯福 州州长Alfred 与共和党的候选人 Kansas州州长 州州长 Landon(兰登 竞选总统 绝大多数观测家认为 兰登)竞选总统 兰登 竞选总统. 罗斯福会是获胜者， 文学摘要》 罗斯福会是获胜者，但《文学摘要》却预测兰 的优势获胜. 登会以 57% : 43% 的优势获胜 摘要》 《摘要》自1916年以来的历届总统选举中都 年以来的历届总统选举中都 正确地预测出获胜的一方, 正确地预测出获胜的一方 但这次罗斯福以 62% : 38% 的压倒优势取胜！ (不久《文学摘 的压倒优势取胜！ 不久 不久《 就垮了) 要》就垮了电子科技大学

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摘要》 《摘要》调查的过程是将问卷寄给一千万 人， 这些人的名字和地址摘自电话簿或俱 乐部会员名册， 乐部会员名册，这筛掉了不属俱乐部或未装 电话的穷人. 电话的穷人. 这在1936年前影响不大 因为穷人富翁以类 年前影响不大, 这在 年前影响不大 似的思考投票； 似的思考投票；但1936年经济正在从大萧条 年经济正在从大萧条 中恢复，故穷人选罗斯福，而富翁们选兰登. 中恢复，故穷人选罗斯福，而富翁们选兰登

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例 6.1.1 设总体 X ~ B( 1 , p ),其中 p 是未 ， 知参数， 知参数， ( X1 , X2 , … , X5 ) 是来自 X 的简单 随机样本， 随机样本， 1) 指出以下变量哪些是统计量，为什么？ 指出以下变量哪些是统计量，为什么？X1 + X2 , max Xi , X5 + 2 p , ( X5 X1)21≤ i ≤ 5

2) 确定 X1 , X2 , … , X5 ) 的联合概率分布？ 确定( 的联合概率分布？ 不是统计量,因 是未知参数. 解 1) 只有 X5 + 2 p 不是统计量 因 p 是未知参数P{X = x} = px(1 p)1 x, 2) 因电子科技大学

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故 ( X1 , X2 , … , X5 ) 的联合分布律为 P( X1=x1 , X2 =x2, … , X5 =x5)

= ∏ P{Xi = xi } = ∏ p (1 p)i=1 i=1

5

5

xi

1 xi

=

5 5 5 ∑ xi ∑ xi pi=1 (1 p) i=1

xi = 0, 1, (i = 1,2, ,5).

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fnr1.html