2018届一轮复习人教A版 转化化归 峰回路转 学案

转化化归 峰回路转

一、数与形的相互转化

【例1】某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )

8

A．

9π24?2－1?3C．

π【答案】A

【解析】由三视图知该几何体是一个底面半径为r＝1，母线长为l＝3的圆锥，则圆锥的高为h＝

l2－r2＝

32－12＝22.

B．

8 27π

8?2－1?3

D． π

由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个底面A1B1C1D1

在圆锥的底面上，过平面AA1C1C的轴截面如图所示．

设正方体的棱长为x，

2x2h－xx22－x22则有r＝h，即＝，解得x＝，

3222(平面转化很重要，这是由形到数的关键所在) V正方体x38

则原工件的材料利用率为 ＝＝. 9πV圆锥12

πrh3【类题通法】

(1)数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息；由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．

(2)破解此类题的关键点：

①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．

②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解．

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③回归结论，回归原命题，得出正确结论． 【对点训练】

??x－y≥0，

1．已知D是由不等式组?所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝9在区域D内

?x＋y≥0?

的弧长为( )

3π

A．

4C．π 【答案】D

【解析】图中阴影部分内的圆弧长即为所求，易知图中两直线的斜π

率分别是1，－1，设α为两直线的夹角，所以α＝，而圆的半径是3，

2π3π

所以弧长是×3＝. 22

―→―→

2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足PA＝－2PM，则―→―→―→PA·(PB＋PC)＝________.

4

【答案】－

9

―→―→

【解析】如图所示，∵AM＝1，点P在AM上，且满足PA＝－2PM， ―→1―→1∴|PM|＝|AM|＝.

33

―→―→―→

∵M是BC的中点，∴PB＋PC＝2PM，

1?24―→―→―→―→―→―→

∴PA·(PB＋PC)＝－2PM·2PM＝－4PM2＝－4×?＝－. ?3?9

3．(2017·昆明质检)表面积为16π的球面上有四个点P，A，B，C，且△ABC是边长为23的等边三角形，若平面PAB⊥平面ABC，则棱锥P-ABC体积的最大值为________．

【答案】3

【解析】设球心为O，半径为R， 则4πR2＝16π，解得R＝2.

又由正弦定理，得△ABC外接圆直径2r＝

a23

＝＝4，则r＝2， sin Asin 60°π B．

23πD．

2

所以△ABC外接圆的圆心即是球心，如图所示． 因为平面PAB⊥平面ABC，

所以点P在平面ABC上的射影D落在AB上， 所以PD⊥平面ABC．

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易知当D为AB的中点时，PD的值最大，即所求三棱锥的体积最大． 因为△ABC是边长为23的等边三角形，

所以AB＝23，CD＝3，OD＝1，PD＝OP2－OD2＝3， 又S△ABC＝

3×(23)2＝33， 4

1

所以VP-ABC＝×33×3＝3. 3二、一般与特殊的相互转化

【例2】已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在 －1,1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1] C． －1,12] 【答案】D

【解析】当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈ －1，1]，显然满足条件，故排除A、B； (注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0,1往往是首选．) 339

当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，

222999

f′(x)＝x2－＝(x2－1)，

222当－1≤x≤1时，f′(x)≤0， 所以f(x)在 －1,1]上单调递减，

39

所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C．

22综上，选D. 【类题通法】

(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．

(2)破解此类题的关键点：

①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．

②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．

③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．

④得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论． 【对点训练】

B． 12，＋∞) 3

－，12? D．??2?

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