统计物理研究性学习教案（优秀教案模板）

统计物理 研究型学习

§7.2.7 最大功原理 平衡稳定性判据

2010-2011 第二学期

学 院：物理科学与技术学院

年 级： ***

姓 名： ***

学 号： ***

§7.2.7 最大功原理 平衡稳定性判据

课型：研究型学习 课时：45min 班级：2008级基地班 日期：2011-3-29

【本节地位】

【听课对象】

【讲课目标】 1、知识与技能

（1）理解动能的概念，掌握动能的表达式；

（2）深入理解动能定理的确切含义，熟练应用动能定理解决实际问题。 2、 过程与方法

（1）运用演绎推导方式推导动能及动能定理的表达式；

（2）结合课堂练习体会运用动能定理解题比牛顿运动定理解题的优越性。 【讲课重点】 （1）动能的概念； （2）动能定理及其应用。 【讲课难点】

动能定理的理解和应用。 【讲课形式】

“推导-探索”的教学形式，讲授式。 【教 具】 多媒体课件。 【讲课过程】

整体结构（流程）：讲授基本原理，推导最大功原理、稳定平衡的数学表达式，10-20min。余下时间课堂讨论，由组员提出问题，并给出自己的见解（参考解答）。讨论的问题是这一节中几个值得进一步思考的、概念性的、着眼于物理过程的问题。

一、 基本原理

（一） 最大功原理

出发点：（1）热力学第一定律

上式是对于封闭系统（有能量交换但无物质交换的系统）的无穷小变化

而言的。dU是内能的变化量，内能U适合系统内部能量（如分子的平动、转动、振动能量，磁性原子在外场中的能量、电子的能量等）有关的能量的系综平均，与过程无关。dW为外参量（如体积、磁场强度等）引起的内能变化，前面带有负号，所以这里代表系统对外界做的功，与过程有关。最后，dQ为外参量不变时，系统内能的变化量，与过程有关。 出发点：（2）热力学第二定律

由此推导：与热力学势（U、F、H、G）有关的最大功原理（其中H没有最大功原理），熵增加原理，“势减小原理”。

下面，我们将以表格的形式呈现（表1），并口头说明各个符号、等式、不等式所代表的物理过程与物理意义。

表1

热力学势 U 基本关系式 特殊物理过程 等熵 等熵不做功 F 等温 等温不做功 G 等温等压不做功 H 等熵等压？？？ ？有待商榷？？ 等熵等压不做功 绝热 绝热不做功 ⑧ 等温等压 相应关系式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑨ ⑩ 1、 上面的式子中（系统对外的功=膨胀功+非膨胀功）

2、 ①③⑤⑦式中，等号表示可逆过程内能的减少等于系统对外做的功，不等

号表示不可逆过程中，内能/自由能/焓/自由焓的减少大于系统对外做的功，也就是说，当减少相同的内能/自由能/焓/自由焓时，可逆过程比不

d?可逆过程系统对外做的功要大，即可逆过程最大功。

3、 ①③⑤⑦式的不同之处在于特性函数的态参量不同，也就是全微分的自变

量不同。但这绝对不是换几个自变量的问题，有很重要的物理意义。通过前面学习的普遍热力学方程，我们可以看到，通过对热力学第一定律：

进行勒让德变换，我们可以得到很多很多的全微分表达式，但其中只有很少的几个有意义。我觉得，我们选择某一个表达式的目的，就在于我们做研究的物理过程中的特殊条件可以使这个全微分表达式右边的一项或几项等于零，从而简化表达式，便于尽快积分得到结果。例如，物理过程是等温，我们就找含有dT的：

，

物理过程是等压的，我们就找含dp的：

，

从上面也可以看到，等温等压就用：

而熵的测得相对比较困难，（只能间接测量？）所以我们很少用：

，

这可能也是引入内能u以外的其他热力学势（F、H、G）的原因吧。 4、 说到引入热力学势，再多说两句，关于热力学势的物理意义。由

F=U-TS，

我们可以看到，F的物理意义就是，在等温可逆过程中，可以转化为功的那部分内能，即所谓“自由”。相应的，由

G=H-TS，

我们可以看到，G的物理意义即在等温等压可逆过程中，可以转化为功的那一部分焓，即“自由焓”。而焓的物理意义？？？？

5、②④⑥⑧说的是，在不同限定条件的物理过程中，系统的内能/自由能/焓、

自由焓只能减少或者不变，而我们知道系统的状态只能是平衡或者不平衡。显然，内能/自由能/焓/自由焓减少对应于不平衡状态，内能/自由能/焓/自由焓不变对应于平衡状态。换句话说，当系统处于非平衡态时，内能/自由能/焓/自由焓会一直减小，减小，减小到最小，也就达到平衡不再变。这时如果给系统一个扰动，（无论热力学势是否改变），都将打破平

衡，重新开始势减小的过程，直至势最小，达到新平衡。这也就是以熵增加原理为本源的，由三种热力学势表达出来的“势减少原理”。这种趋向最小值的特征，也就是内能/自由能/焓/自由焓被称为热力学势的原因，（类比于重力势能等）。关于势减小这个问题，我们还有一些拿不准的，留到最后的讨论中再说。

6、这里要注意的是，对于绝热过程，没有涉及到热力学第二定律

所以无论可逆不可逆，系统对外的非膨胀功都等于系统焓的减少（如⑨所示）；绝热系统不做功，则焓不变（如⑩所示）。

（二） 平衡以及平衡稳定的条件

表2

热力学势 （熵除外） U 平衡判据 平衡稳定性判据 F G H S 1、如果将变分类比与函数的导数，一次导数为零，对应最值（平衡点），二次导数小于零对应极大值（稳定平衡），我们不禁想问，二次导数大于零是什么平衡？这个问题我们放到最后的讨论中。

下面，我们从平衡和平衡稳定的判据出发，推导用直接可测量表示的平衡条件和平衡稳定性条件。

首先，根据线性代数中的定义，U（S,V）的平衡稳定性判据是以

为自变

量的正定二次型（只含自变量二次项的多项式叫做二次多项式。二次型多项式中，当自变量取任意值时，多项式都大于零，则成为正定二次型）。把正定二次型写成

的矩阵形式，其中A为是对称矩阵。则可用数学归纳法证明，对称矩阵A为正定的

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