数列求和的常用方法（三课时）

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q1、 等差数列求和公式：Sn?n1123、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)

62k?1k?1n1325、 Sn??k?[n(n?1)]

2k?1例1（07高考山东文18）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4构成等差数列．

n（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bn?lna3n?1，n?1求数列{bn}的前n项和T． ，2，?，?a1?a2?a3?7，?解：（1）由已知得:?(a?3)?(a?4)解得a2?2．

13?3a2.??22 设数列{an}的公比为q，由a2?2，可得a1?，a3?2q．

q2又S3?7，可知?2?2q?7，即2q2?5q?2?0，

q1解得q1?2，q2?．由题意得q?1，?q?2．

2?a1?1．故数列{an}的通项为an?2n?1．

（2）由于bn?lna3n?1，n?1由（1）得a3n?1?23n ，2，?，?bn?ln23n?3nln2， 又bn?1?bn?3ln2n ?{bn}是等差数列． ?Tn?b1?b2???bn

n(b1?bn)?2n(3ln2?3ln2) ?23n(n?1)?ln2.23n(n?1)ln2． 故Tn?2

1

Sn的最大值.

(n?32)Sn?111 解：由等差数列求和公式得 Sn?n(n?1)， Sn?(n?1)(n?2) （利用常用公式）

22nSn ∴ f(n)?＝2

(n?32)Sn?1n?34n?64111? ＝＝

648250n?34?(n?)?50nn18 ∴ 当 n?，即n＝8时，f(n)max?

508练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)?*

二、错位相减法

设数列?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则数列?anbn?的前n项和Sn求解，均可用错位相减

法。

例2（07高考天津理21）在数列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn；

（Ⅰ）解：由an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，??0，

a?2??2?可得n?1????n????1， n????????nn?an?2??an?2???????n?1，所以数列?an?的通项公所以?n????为等差数列，其公差为1，首项为0，故

?n???????????式为an?(n?1)?n?2n．

（Ⅱ）解：设Tn??2?2?3?3?4???(n?2)?n?1?(n?1)?n， ①

an?1n?1n?Tn??3?2?4?3?5???(n?2)?n?(n?1)?n?1 ② 当??1时，①式减去②式，

?2??n?123nn?1?(n?1)?n?1， 得(1??)Tn?????????(n?1)??1???2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2． Tn???(1??)21??(1??)2(n?1)?n?2?n?n?1??2n?1这时数列?an?的前n项和Sn??2?2． 2(1??)n(n?1)n(n?1)?2n?1?2． ．这时数列?an?的前n项和Sn?22例3（07高考全国Ⅱ文21）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，

当??1时，Tn?a3?b5?21，a5?b3?13

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列??an??的前n项和Sn． ?bn? 2

4??1?2d?q?21，解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且? 2??1?4d?q?13，解得d?2，q?2．

所以an?1?(n?1)d?2n?1，

bn?qn?1?2n?1．

a2n?1（Ⅱ）n?n?1．

bn2352n?32n?1Sn?1?1?2???n?2?n?1，①

222252n?32n?12Sn?2?3????n?3?n?2，②

2222222n?1②－①得Sn?2?2??2???n?2?n?1，

22221?2n?1?11?2?2??1??2???n?2??n?1

2?2?2211?n?12n?1?2?2?2?n?1

121?22n?3?6?n?1．

2三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

2x例4（07豫南五市二联理22.）设函数f(x)?x的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若

2?211OP?(OP1?OP2),且点P的横坐标为.

22（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

*（II）若Sn?f()?f()?f()???f(),n?N,求Sn;

1n2n3nnn（III）略 （I）∵OP?∴P是

11(OP1?OP2),且点P的横坐标为. 22的中点，且

PP12x?x12?1

xx?22?12y?y12?2x?12x12?2x222x2?2?2x2?21?2x?2??2x?2?2?1?4?24?22x2?2x1???2x?2x??1?x??f?x??1,且f?1??2?12

?y?1p由（I）知，

x?x12?1f2 3

?1??2??n?1??n?又Sn?f???f?????f??f????1??n??n??n??n?，（1）+（2）得：

?n??n?1??2??1??f?f???f?f????????2?Sn?nnn???????n???1???n??n?1????2??n?2??2Sn?f?1???f???f??f?f????????????f?n??nnnn????????????????2f?1??1?1???1?n?3?22?Sn?n?3?222?1??f????f?1??n??

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）an?111 ??n(n?1)nn?1(2n)2111（2）an??1?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?11111?[?]等。 （3）an?n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)111,,???,,???的前n项和. 例5 求数列

1?22?3n?n?11?n?1?n （裂项） 解：设an?n?n?1111??????则 Sn? （裂项求和）

1?22?3n?n?1 ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?'m1?，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数m；

20anan?122

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x－2x.

又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n.

2

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－（3n?1)?2(n?1)＝6n－5.

2

?2?当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?2?31113?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1 4

故Tn＝

?bi＝

i?1n12111111?1?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??6n?177136n?56n?1?2?因此，要使

11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要26n?120220求的最小正整数m为10.

评析：一般地，若数列?an?为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：

n1首先考虑?i?1aiai?1nnnn11111111n1=(?。下列求和：? 也可??(?)则?)??da1an?1a1an?1ai?1ai?ai?1i?1aiai?1i?1daii?1aiai?1i?1用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可

分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{an}的前n项和Sn?2an?1，数列{bn}满b1?3,bn?1?an?bn(n?N?) . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：（Ⅰ）由Sn?2an?1,n?N?,?Sn?1?2an?1?1，

两式相减得：an?1?2an?1?2an,?an?1?2an,n?N?.同a1?1知an?0，

an?1?2,同定义知{an}是首项为1，公比为2的等比数列. an（Ⅱ）an?2n?1,bn?1?2n?1?bnbn?1?bn?2n?1, ? b2?b1?20,b3?b2?21,b4?b3?22,? bn?bn?1?2n?2,等式左、右两边分别相加得： bn?b1?2?2???201n?2

1?2n?1?3??2n?1?2,1?2?Tn?(20?2)?(21?2)?(22?2)???(2n?1?2)?(20?21?22???2n?1)?2n

1?2n =?2n?2n?2n?1.

1?2 例8求S?12?22?32?42???(?1)n?1n2（n?N?） 解：⑴ 当n为偶数时，

S?(12?22)?(32?42)???[(n?1)2?n2]??(1?2???n)??⑵ 当n为奇数时，

n(1?n)； 2n(n?1)1?n2?(n2?n)综上所22S?(12?22)?(32?42)???[(n?2)2?(n?1)2]?n2??[1?2???(n?1)]?n2??述，S?(?1)n?1n(n?1)．

点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

12六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

5

例9 求1?11?111?????111????1之和. ??n个1解：由于111???1????k个111k?999???9?(10?1) （找通项及特征） ?????99k个1n个1∴ 1?11?111?????111????1 ??11111(10?1)?(102?1)?(103?1)?????(10n?1) （分组求和） 999911123n＝(10?10?10?????10)?(1?1??1??????1) ???99??n个1＝

110(10n?1)n? ＝?910?191n?1＝(10?10?9n) 81?8例10 已知数列{an}：an?,求?(n?1)(an?an?1)的值.

(n?1)(n?3)n?111?] （找通项及特征） 解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[(n?1)(n?3)(n?2)(n?4)11?] （设制分组） ＝8?[(n?2)(n?4)(n?3)(n?4)1111 ＝4?(?)?8(?) （裂项）

n?2n?4n?3n?4???1111∴ ?(n?1)(an?an?1)?4?(?)?8?(?) （分组、裂项求和）

n?4n?4n?1n?1n?2n?1n?3111 ＝4?(?)?8?

34413 ＝

3

6

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