专题十三角形的等积变形

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正方形十三角形等于20推荐度：
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专题十三角形的等积变形

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内容精要：

我们已经知道三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2

从这个公式我们可以发现三角形的面积大小取决于三角形的底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大则面积越大，高越小则面积越小；如果三角形的高不变，底越大则面积越大，底越小则面积越小。

这说明三角形的面积发生变化时，底和高至少有一个要发生变化，但是当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定发生变化，比如当高变为原来的3倍，底变为原来1

的，则三角形面积的大小与原来的一样，这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它3的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数个不同的形状。

在实际问题的研究中，我们还会常常用到一下结论：定理一：等底等高的三角形面积相等

定理二：底在同一条直线上并且相等该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形的面积相等。如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD=S△BCD，反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

即：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形的面积的几倍；若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的高的几倍，那么，这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。定理四：梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。平行四边形中的等积三角形模型如图：

S△DOC= S□ABCD，S△AOD=S△DOC－S△BOC

2变形：

图②、③中的三角形的面积和平行四边形的面积有什么关系呢？通过虚线每个平行四边形都可变为两个平行四边形，这时同①比较即可得出结论，这个模型可以使我们解决这一类问题。

例1：如图：三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求三角形DEF的面积。

例2：如图所示：在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE（图中为阴影部分）的面积为8平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？

例3：图中△AOB的面积为15cm,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。

例4：用不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

例5：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？

例6：如图：平行四边形ABCD的面积为240平方厘米。如果在平行四边形内任意取一点O，连接AO、BO、CO和DO。三角形AOD与三角形BOC面积的一半，加上三角形AOB与三角形COD面积的三分之一，得到的面积是多少平方厘米？

练习题：

1、如图：，BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的（）。

三角形DEF的面积111