2010年中考数学试题分类大全18_二次函数的图象和性质1

一、选择题

1．（2010福建福州）已知二次函数y ＝Ax 2

＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是

( )

A ．a ＞0

B ．c ＜0

C ．b 2－4ac ＜0

D ．a ＋b ＋c ＞0

(第10题)

【答案】D

2．（2010 河北）如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，

B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为

（0，3），则点B 的坐标为

A ．（2，3）

B ．（3，2）

C ．（3，3）

D ．（4，3）

【答案】D 3．（2010 山东莱芜）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D 4．（2010年贵州毕节）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致

是( )

（第9题图）

图5

【答案】C.

5．（2010年贵州毕节）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2－3x＋5，则（）

A．b=3，c=7B．b=6，c=3 C．b=-9，c=-5D．b=-9，c=21 【答案】A.

6．（2010湖北荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是

A．ab＜0 B．ac＜0 C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小D．二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。

【答案】B

7．

（2010 四川成都）把抛物线2

y x

=向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）（A）21

y x

=+（B）2

(1)

y x

=+

（C）21

y x

=-（D）2

(1)

y x

=-

【答案】D

8．（2010山东潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－1

2

x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则

自变量x的取值范围是（）．

A ．－3

2＜x ＜2

B ．x ＞2或x ＜－32

C ．－2＜x ＜

3

2 D ． x ＜－2或x ＞3

2

【答案】C 9．（2010湖北荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？

A ．向上平移１个单位

B ．向下平移１个单位

C ．向左平移１个单位

D ．向右平移１个单位

【答案】D

10．（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2

+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个

A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．

4

【答案】C

11．（2010湖北省咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、

B （3-，1y ）、

C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是

A ．1y ＞2y

B ．1y 2y =

C ．1y ＜2y

D ．不能确定 【答案】A

12．（2010北京） 将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）

A ．y ＝(x ＋1)2＋4

B ．y ＝(x －1)2＋4

C ．y ＝(x ＋1)2＋2

D ． y ＝(x －1)2＋2 【答案】D

13．（2010山东泰安）下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()10y x x =-

<；

④223y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

【答案】B

14．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）

A. 6或－1

B. －6或1

C. 6

D. －1

【答案】D 15．（2010黑龙江哈尔滨）在抛物线42-=x y 上的一个点是（ ）

（A ）（4，4） （B ）（1，－4） （C ）（2，0） （D ）．（0，4）

【答案】C

16．（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为

A ．向上平移4个单位

B ．向下平移4个单位

C ．向左平移4个单位

D ．向右平移4个单位

【答案】B

17．（2010陕西西安）已知抛物线103:2-==x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '若

两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是

A ．将抛物线C 向右平移25

个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位

C ．将抛物线C 向右平移5个单位

D ．将抛物线C 向右平移6个单位 【答案】C

18．（2010 福建三明）抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是

（ ） A ．47

-≥k B ．47

-≥k 且0≠k C ．47

->k D ．47

->k 且0≠k

【答案】B

19．（2010 山东东营） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac

bx y -=与反比例函数x c

b a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）

【答案】B 20．（2010安徽蚌埠）已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则

实数b a n m ,,,的大小关系可能是

A ．

n b a m <<< B ．b n a m <<< C ．n b m a <<< D ．b n m a <<< 【答案】D

21．（2010安徽省中中考） 若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为

………………（ ）

A ）0.5

B ）0.1

C ）—4.5

D ）—4.1

【答案】C

22．（2010甘肃兰州） 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是

A ．（-1，8）

B ．（1，8）

C ．（-1，2）

D ．（1，-4）

【答案】A

23．（2010甘肃兰州） 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0

C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

【答案】B

24．（2010甘肃兰州） 抛物线c bx ax

y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 a b c y x ++=

在同一坐标系内的图像大致为

x

x

x

x

x x x x x

第15题图

【答案】D

25．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③x y 1=

；④2x y =．0

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】C 26．（2010山东烟台）如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 于PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为

【答案】D

27．（2010台湾）坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图形，其顶点坐标为何？

(A) (0，-2) (B) (1，-24) (C) (0，-48) (D) (2，48) 。

【答案】C

28．（2010台湾） 坐标平面上，若移动二次函数y =2(x -175)(x -176)+6的图形，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？

(A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位 (C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。

【答案】D

29．（2010浙江杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为

[2m ，1 – m , –1– m ]

的函数的一些结论：

① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)；

② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23

； ③ 当m < 0时，函数在x >41

时，y 随x 的增大而减小；

④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.

其中正确的结论有

A. ①②③④

B. ①②④

C. ①③④

D. ②④

【答案】B

30．（2010 嵊州市）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,记

b a

c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,则p 与q 的大小关系为

( )

A.q p >

B.q P =

C.q p <

D.p 、q 大小关系不能确定

【答案】C

31．（2010 浙江台州市）如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n

m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为(▲)

C ．5

D ．8

32．（2010浙江金华） 已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ）

A . 最小值 －3

B . 最大值－3

C . 最小值2

D . 最大值2

【答案】B

33．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 【答案】B

34．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）

【答案】C

35.（2010 浙江衢州） 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，

设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的

函数关系式是（ ）

A ．22

25

y x = B ．2425y x = C ．22

5y x = D ．24

5y x =

36．（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：

①240b ac ->；

②0abc >；

③80a c +>；

④930a b c ++<．

其中，正确结论的个数是

（A ）1

（B ）2 （C ）3

（D ）4 (第10题) A

B C

D

【答案】D

37．（2010 内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、

1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．

【答案】4

38．（2010广西桂林）将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．

A ．221216y x x =--+

B ．221216y x x =-+-

C ．221219y x x =-+-

D ．221220y x x =-+-

【答案】D

39．（2010 四川自贡）y=x 2＋（1－a ）x ＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）。

A ．a=5

B ．a ≥5

C ．a ＝3

D ．a ≥3 【答案】B

40．（2010宁夏回族自治区）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移

后抛物线的表达式 （ ）

A ．2(1)3y x =--+

B ．2(1)3y x =-++

C ．2(1)3y x =---

D ．2

(1)3y x =-+-．

【答案】B

41．（2010 湖北咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是

A ．1y ＞2y

B ．1y 2y =

C ．1y ＜2y

D ．不能确定 【答案】A

42．（2010 广西钦州市）已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，则下列第（10）题

结论：

① ac >0； ② a –b +c <0； ③当x <0时，y <0；

④方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个大于－1的实数根．

其中错误的结论有 （A ）② ③ （B ）② ④ （C ）① ③ （D ）① ④

【答案】C

43．（2010青海西宁）下列哪一个函数，其图象与x 轴有两个交点 A. 155)23(41

2+-=x y B. 155)23(412++=

x y C. 155)23(41

2---=x y D. 155)23(412++-

=x y 【答案】D

44．（2010鄂尔多斯）已知二次函数c bx x y ++-=2中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点A(x 1，y 1) ，B(x 2，y 2)在函数的图象上，当0

A . y 1≥y 2

B . y 1＞y 2

C . y 1＜y 2

D . y 1≤y 2

【答案】C

45．（2010广西梧州）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图7所示，那么下列判断不正确的是（ ）

A ．ac <0

B ．a －b +c >0

C ．b = -4a

D ．关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=－1,x 2=5

【答案】B

46．（2010云南昭通）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列结论正确的是（ ）

A ．a <0，b <0，c >0，b 2－4ac >0;

B ．a >0，b <0，c >0，b 2－4ac <0;

C ．a <0，b >0，c <0，b 2－4ac >0;

D ．a <0，b >0，c >0，b 2－4ac >0;

第18题 图7

1 5

2 O ? ?

【答案】D

47．（2010贵州遵义）如图，两条抛物线y 1=-2

1χ2

+1、y 2=

2

1χ2

-1 与分别经过点（-2，0），

（2，0）且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 A ．8 B ．6 C ．10 D ．4

【答案】A

48．（2010广西柳州）抛物线y =-x 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：

从上表可知，下列说法正确的个数是

①抛物线与x 轴的一个交点为（-2，0） ②抛物线与y 轴的交点为（0，6） ③抛物线的对称轴是：x =1 ④在对称轴左侧y 随x 的增大而增大 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C

49．（2010湖北宜昌）抛物线2

21y x x =++的顶点坐标是（ ）。 A. (0,-1) B. (-1,1) C. (-1,0) D.(1,0) 【答案】C

50．（2010广西百色）二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为2=x ; ②当y ≤0时,x ＜0或x ＞4；③函数解析式为)4(--=x x y ； ④当x ≤0时，y 随x 的增大而增大. 其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】A 52．（2010 福建莆田）某同学利用描点法画二次函数2y a bx c =++（0a ≠的图象时，列

出的部分数据如下表：

析式：

【答案】

【答案】C

53．（2010江苏泰州）下列函数中，y 随x A.x y 3-

= B. 5+-=x y C. y 【答案】A

二、填空题

1．（2010 湖南株洲）已知二次函数()()2

21y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .

【答案】1

12x -

2．（2010湖南郴州）将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，?则此时抛物线的解析式是

_____________．

【答案】 y =x 2 －1

3．（2010江苏扬州）y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________．

【答案】4

4．（2010山东泰安）将y=2x 2-12x-12变为y=a （x-m ）2

+n 的形式，则m·n= .

【答案】-90

5．（2010湖北襄樊）将抛物线21

2y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．

．【答案】21

(1)2

x --+或21

32x x -++

6y x y x x +=-++则满足,0332的最大值为 .

723x m x -+的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信

【答案】4

8．（2010安徽蚌埠）已知抛物线bx x y +=2

21

经过点A(4,0)。设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

【答案】﹝2,-6﹞

9．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ．

【答案】y =-x 或y =-1x

或y =x 2-2x ，答案不唯一 10．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 .

【答案】－1＜x ＜3

11．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112

y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ▲ .

12．（2010 四川泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y =（x -2）2+2

的图像向左平移2个单位，所得图像对应的解析式为 ．

【答案】y =x 2+2

13．（2010 云南玉溪）如图7是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直

角坐标系中的图象，根据图形判断 ① c ＞0；

② a +b +c ＜0； ③ 2a -b ＜0；

④ b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．

【答案】② 、④

14．（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值

如下表：

则该二次函数的解析式为 ．

【答案】22y x x =+-

15．（2010青海西宁）将抛物线2)1(2-=x y 先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 . 【答案】2x 2y =

16．（2010吉林长春）如图，抛物线2

(0)y ax c a =+<交x 轴于点G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧。BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C 。四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为 。

【答案】4

17．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______。

x

y

O

图7

【答案】.-3＜x ＜1

18．（2010辽宁本溪）如图所示，已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过原点和点（-2，0），则2a -3b 0.(＞、＜或＝)

【答案】＞

19．（2010黑龙江绥化）

抛物线242m

y x x =-+与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛

物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .

【答案】（3，0）

20．（2010湖南娄底）二次函数y=(x －1)2－2的图像的对称轴是直线_____________.

【答案】x =1

【答案】)2,6(或)2,6(-(对一个得2分)

21．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ；

（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ．

【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、12222．（2010浙江金华）若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二x

次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ▲ ；

【答案】-1

三、解答题

1．（2010江苏泰州）如图，二次函数c x y +-

=221的图象经过点D ??

? ??-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．

⑴求c 的值；

⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

【答案】⑴ ∵抛物线经过点D (29

,3-)

(第15题图)

∴29

)3(21

2=+-?-c

∴c=6.

⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ，

∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF

又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE

∴△DEM ≌△BFM

∴DM =BM 即AC 平分BD

∵c =6. ∵抛物线为621

2

+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32）

∵M 是BD 的中点 ∴M （

49,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点 ∴?????=+=+-4923032b k b k 解得???

????==591033b k ∴直线AC 的解析式为59103

3+=x y .

⑶存在．设抛物线顶点为N (0，6)，在Rt △AQN 中，易得AN

=A 点为圆心，AB

=为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q ，连接AQ ，再作∠QAB 平分线AP 交抛物线于P ，连接BP 、PQ ，此时由“边角边”易得△AQP ≌△ABP ．

2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．

（1）求证：AH AD ＝EF BC

； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．

【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ 是矩形，∴ EF ∥QP ．

∴ △AEF ∽△ABC ．

又∵ AD ⊥BC ， ∴ AH ⊥EF ．

∴ AH AD ＝EF BC

（2）由（1）得AH 8＝x 10． AH ＝45x ． ∴ EQ ＝HD ＝AD －AH ＝8－45

x ， ∴ S 矩形EFPQ ＝EF 2EQ ＝x (8－45x ) ＝－452＋8 x ＝－45

（x －5）2＋20． ∵ －45

＜0， ∴ 当x ＝5时，S 矩形EFPQ 有最大值，最大值为20． （3）如图1，由（2）得EF ＝5，EQ ＝4．

∴ ∠C ＝45°， ∴ △FPC 是等腰直角三角形．

∴ PC ＝FP ＝EQ =4，QC ＝QP ＋PC ＝9．

分三种情况讨论：

① 如图2．当0≤t ＜4时，

设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ，则△MFN 是等腰直角三角形．∴ FN ＝MF ＝t ．

∴S ＝S 矩形EFPQ －S Rt △MF N =20－12t 2＝－12

t 2＋20； ②如图3，当4≤t <5时，则ME ＝5－t ，QC ＝9－t ．

∴ S ＝S 梯形EMCQ ＝12

[（5－t ）＋（9－t ）]34＝－4t ＋28； ③如图4，当5≤t ≤9时，设EQ 交AC 于点K ，则KQ =QC ＝9－t ． 第21题图

1

(第21题

)

∴S＝S

△K QC =

1

2

(9－t)2＝

1

2

( t－9)2．

第21题图2 第21题图3 第21题图4 综上所述：S与t的函数关系式为：

S=

2

2

1

204)

2

4285)

1

(9)9)

2

t t

t t

t t

?

-+<

?

?

--<

?

?

?-<

?

　(0，

　（4，

　（5．

≤

≤

≤

3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝

1

6

x2＋bx＋c过O、A两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝

1

6

x2＋bx＋c，

得

25

50.

6

c

b c

=

?

?

?

++=

?

?

，

解得

5

,

6

0.

b

c

?

=-

?

?

?=

?

∴该抛物线的解析式为y＝

1

6

x2－

5

6

x．

（2）点C在该抛物线上．

理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E．

∵点B在直线y＝2x上，∴B(5，10)

∵点A、C关于直线y＝2x对称，

∴OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10．

又∵A B⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．

∵S Rt

△OAB

＝

1

2

AE2OB＝

1

2

OA·AB，

∴AE＝25，∴AC＝45．

∵∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°，∴∠CAD＝∠OBA．

又∵∠CDA＝∠OAB＝90°，∴△CDA∽△OAB．

(第22题图1) (第22题图2)

∴ CD OA ＝AD AB ＝AC OB

∴ CD ＝4，AD ＝8 ∴ C （－3，4） 当x ＝－3时，y ＝1639－56

3(－3)＝4． ∴ 点C 在抛物线y ＝16x 2－56

x 上． （3）抛物线上存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切．

过点P 作P F ⊥x 轴于点F ，连结O 1P ，过点O 1作O 1H ⊥x 轴于点H ．

∴ CD ∥O 1H ∥BA ． ∵ C (－3，4)，B (5，10)，

∴ O 1是BC 的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH ＝DH ＝12

AD ＝4， ∴ OH ＝OA －AH ＝1．同理可得O 1H ＝7． ∴ 点O 1的坐标为(1，7)．

∵ BC ⊥OC ， ∴ OC 为⊙O 1的切线．

又∵OP 为⊙O 1的切线， ∴ OC ＝OP ＝O 1C ＝O 1P ＝5．

∴ 四边形OPO 1C 为正方形． ∴ ∠COP ＝900． ∴ ∠POF ＝∠OCD ． 又∵∠PFD ＝∠ODC ＝90°， ∴ △POF ≌△OCD ．

∴ OF ＝CD ，PF ＝OD ． ∴ P (4，3)．

设直线O 1P 的解析式为y ＝kx+B (k ≠0)．

把O 1(1，7)、P (4，3)分别代人y ＝kx+B ，

得743k b k b +=??+=?，． 解得43253k b ?=-????=??

，．

∴ 直线O 1P 的解析式为y ＝－43x ＋253

若以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切，则点Q 为直线O 1P 与抛物

线的交点，可设点Q 的坐标为(m ，n )，则有n ＝－43m ＋253n ＝16m 2－56

M ∴ －43m ＋253＝16m 2－56

M ．整理得m 2＋3m －50＝0， 解得m ＝－3±2092 ∴ 点Q 的横坐标为－3＋2092或－3－2092

．

4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2

，0），BC =设

直线AC 与直线x =4交于点E ．

（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线

一定过点E ；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一

动点，求△CMN 面积的最大值．

第22题图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fn7q.html