广东省广州六中二轮复习专题 - 函数与方程思想

函数与方程思想（一）

前言：

什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要思考下面一些问题: 1、是否需要把一个代数式看成一个函数?

2、如果把一个代数式看成函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？ 3、如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？ 4、是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？

5、如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？

一、课前小练

1、f(x)?lgx?x?3的零点所在区间是（ ） A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(3,4)

2、数列an?n?98n?994的最大项是第 项。

323、函数f(x)?x?2x?bx有3个零点，则b的范围是： 。 二、经典例题

1?2x?4xa1、设f(x)?lg，其中a?R，当x?(??，1]时，f(x)有意义，求a范围。

3

2、（07湛江一模）已知圆O：x2?y2?1，圆C：(x?2)2?(y?4)2?1，由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|. （Ⅰ）求实数a、b间满足的等量关系； （Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；

（Ⅲ）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切

并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程； 若不存在，说明理由.

3、设二次函数f?x??ax2?bx?c?a?0?，方程f?x??x?0的两个根x1,x2满足

0?x1?x2?

1. 当x?0,x1时，证明x?f?x??x1。 a??4、（2004广东21）设函数f(x)?x?ln(x?m)，其中常数m为整数。 （1）当m为何值时，f(x)?0；

（2）定理：若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一x0?(a,b)，使得g(x0)?0

试用上述定理证明：当整数m?1时，方程f(x)?0在??e

?m?m,e2m?m??内有两个实根。

三、课后练习

1、若函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A．若f(a)f(b)?0，不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；

B．若f(a)f(b)?0，存在且只存在一个实数c?(a,b)使得f(c)?0；C．若f(a)f(b)?0，有可能存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；

D．若f(a)f(b)?0，有可能不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0； 2、曲线y?ln(2x?1)上的点到直线2x?y?3?0的最短距离等于

A．5 B．2 C．2 D．1

223、不等式(a?a?2)x?(a?1)x?1?0对所有x?R均成立， 2则a的取值范围是_______ 。

1312x?x?2x?b有3个零点，则b的范围是： 。 325、（07中山名校）已知P?x0,y0?是函数f(x)?lnx图象上一点，过点P的切线与x轴交于B，过点P作x轴的垂线，垂足为A . （1）求点B坐标；

（2）若x0??0, 1?，求?PAB的面积S的最大值，并求此时x0的值.

4、f(x)?

6、（2010年高二水平测试）已知函数f?x??ax?x?1?3a?a?R?在区间??1,1?上有零点，

2求实数a的取值范围．

7、已知a、b、c?R且a＜b＜c，函数f(x)?ax2?2bx?c满足f(1)?0，且关于t的方程

f(t)??a有实根（其中t?R且t?1）.

（1）求证：a＜0，c＞0；（2）求证：0?b?1. a （3）设f(x)的两个零点是x1,x2，求x1?x2范围。

8、（选做）已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：

①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f(x)的定义域内存在区间[a,b]，使得

11f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]．若函数g(x)?x?1?t?M，求t的取值范围．

22

函数与方程思想（一）答案：

一、课前小练

1、C；2、10；3、b??1,且b?0 二、经典例题

1、可知1?2?4a?0，

xx11即a??[()x?()x]当x?(??,1]时恒成立。

4211而()x、()x都是减函数，

4211则g(x)??[()x?()x]在(??，1]上是增函数。

42113故当x＝1时，g(x)取得最大值是g(1)??(?)??，

424从而得a的取值范围是a??3。 4说明：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷，这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。 2、解：（Ⅰ）连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1， ∴|PO|2=|PC|2，从而a?b?(a?2)?(b?4)

化简得实数a、b间满足的等量关系为：a?2b?5?0. （Ⅱ）由a?2b?5?0，得a??2b?5

22 |PA|?|PO|?|OA|?2222a2?b2?1?(?2b?5)2?b2?1

?5b2?20b?24?5(b?2)2?4

∴当b?2时，|PA|min?2

（Ⅱ）∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切 并且与圆C相外切，则有 |PO|?R?1 且 |PC|?R?1

于是有：|PC|?|PO|?2 即 |PC|?|PO|?2

22 从而得 (a?2)?(b?4)?a2?b2?2

两边平方，整理得a2?b2?4?(a?2b) 将a?2b?5代入上式得：a2?b2??1?0

故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P. 3、证明：由题意可知

f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)，

1,∴ a(x?x1)(x?x2)?0, a?0?x?x1?x2?∴ 当x?0,x1时，f(x)?x。

又f(x)?x1?a(x?x1)(x?x2)?x?x1?(x?x1)(ax?ax2?1), x?x1?0,且ax?ax2?1?1?ax2?0, ∴ f(x)?x1,

综上可知，所给问题获证。

点评：在已知方程f?x??x?0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f?x??x的表达式，从而得到函数f(x)的表达式。

4、解析：（1）函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且

??f'(x)?1?1,令f'(x)?0,得x?1?m x?m当x∈(－m,1－m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m) 当x∈(1－m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m) 根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且 对x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1－m≥0

(2)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0, 函数f(x)=x－ln(x+m),在[e?m?m,1?m] 上为连续减函数.

f(e?m?m)?e?m?m?ln(e?m?m?m)?e?m?0当整数m?1时,f(e?m?m)与f(1?m)异号,

由所给定理知，存在唯一的x1?(e?m?m,1?m),使f(x1)?0 而当整数m>1时，

2m(2m?1)?3m?0 2(?m?1?2m?1?1,上述不等式也可用数学归纳法证明)f(e2m?m)?e2m?3m?(1?1)2m?3m?1?2m?类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在[1?m,e?m?m] 上为连续增函数且 f(1-m)与

f(e2m?m)异号，由所给定理知，存在唯一的x2?[1?m,e?m?m,],使f(x2)?0

故当m>1时，方程f(x)=0在[e?m?m,e2m?m]内有两个实根。

三、课后练习

1、C；2、A；3、{a|a??1或a?5}；4、(,5、解: （1）∵ f(x)?'710)； 631 x ∴ 过点P的切线方成为y?lnx0?1?x?x0? x0令y?0，得x?x0?x0lnx0，即点B的坐标为?x0?x0lnx0,0? （2）AB?x0?x0lnx0?x0??x0lnx0，PA?f(x0)??lnx0

112AB?PA?x0??lnx0? 2212111' S?lnx0?x0?2lnx0??lnx0?x0?2?

22x021'由S?0得，2?x?1，

e?1??1?∴ x??0,2?时，S单调递增；x??2,1?时S单调递减；

?e??e?2?1?121∴Smax?S?2??2ln2?2

ee?e?2e12∴ 当x0?2，面积S的最大值为2.

ee ∴ S?6、当a?0时，f?x??x?1，令f?x??0，得x?1，是区间??1,1?上的零点．

2当a?0时，f?x??ax?x?1?3a在区间??1,1?上有零点?x2?3a?1?x在区间

????1,1?上有解?a?x2?3在区间??1,1?上有解．

1?x

问题转化为求函数y?1?x在区间??1,1?上的值域． x2?3设t?1?x，由x???1,1?，得t??0,2?．且y?t?1?t?2?3?0．

而y?t?1?t?2?3?1． 4t??2t设g?t??t?4，求导可以证明当t??0,2?时，g?t?单调递减． t故g?t??g?2??4． 所以y?11?1??． 故实数a的取值范围为?0,?．

g?t??22?2?7、证明：（1）∵f(x)?ax2?2bx?c，∴f(1)?a?2b?c?0 ①.

又a＜b＜c，∴2a＜2b＜2c，∴4a＜a+2b+c＜4c， 即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0.

（2）由f(1)?a?2b?c?0，得c＝－a－2b，又a＜b＜c及a＜0，得?将c＝－a－2b代入f(t)?at2?2bt?c??a，得at?2bt?2b?0. 因为关于t的方程at?2bt?2b?0有实根，所以△＝4b?8ab≥0，

2221b??1 ②. 3abbb?b??b?即???2??≥0，解得≤-2或≥0 ③.由②、③知0??1.

aaa?a??a?（3）x1?x2224b2?4acb2b??4[()?2()?1]?[4,16)，x1?x2?[2,4) 2aaa8、由性质①知函数g(x)在[1,??)上单调递增。由性质②知存在区间[a,b]?[1,??)，满足

11a,g(b)?b，那么这两个等式如何向目标中的不等式靠拢呢？ 221观察到两个等式结构一样，说明方程g(x)?x在[1,??)有两个不等实根。

21即方程x?1?x?t在[1,??)有两个不等实根。

21令h(x)?x?1,?(x)?x?t，

2g(a)?此题等价于函数h(x),?(x)在[1,??)有两个不同交点。如图，

1x?t与曲线y?x?1相切时可解得t?0， 2111当直线y?x?t过点(1,0)时可解得t?，故0?t?。

222当直线y?点评：若遇到两个等式f(m)?0，f(n)?0的结构相同，且m,n?D。

那么可以构造方程f(x)?0，并且认为该方程在D内有两个实根m,n，这样问题就转化成熟悉题型：方程根的分布问题。

函数与方程思想（二） 一、课前小练

1、方程a|x|?x?a恰有两个实根，则实数a的取值范围是（ ） A．(1，??) B．(?1，1)

C．(??，?1]?[1，??) D．(??，?1)?(1，??) 2、已知x、y∈R，且2?3＞2xy?y?3?x，那么( ).

Ａ. x＋y＜0 Ｂ. x＋y＞0 Ｃ. xy＜0 Ｄ. xy＞0

3、（零距离专题一）已知抛物线y=x2-1上一定点A(-1,0)和两动点P?Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐

标的取值范围是（ ）

A.(-∞,-3) B.[1,+∞] C.(-3,1) D.(-∞,-3]∪[1,+∞] 二、经典例题

1、正数x,y满足x?y?1，证明：(x?

1125)(y?)? xy4

2、已知数列{an}各项都是正数,且满足a0?1,an?1?证明an?an?1?2，n?N

3、已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax?1. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a??2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.

2*1an(4?an),n?N. 2

4、设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．

3

（1）若首项a1? ，公差d?1，求满足S2?(Sk)2的正整数k；

2k（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S

三、课后练习

1、f(x) 定义在R上的函数，f(x＋1)＝－

A.－0.5 B.－1.5 C.1.5 D.－3.5

,当x∈[－2,－1]时，f(x)＝x,则f(－3.5)为

k2?(Sk)2成立．

x2y2??1的离心率e2、两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4．若a＞b，则双曲线ab等于 ． 3、函数f(x)?x?1?23x?1的四个零点分别为x1、x2、x3、x4，

则f(x1+x2+x3+x4)? .

4、如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记?CAD??,?ABC??. （1）证明：sin??cos2??0；

β B

A α

D C

（2）若AC?3DC，求?的值.

5、（2006年湖南卷，理）已知函数f(x)?x?sinx,

数列{an}满足:0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?. 证明: （I）0?an?1?an?1; （II）an?1?13an. 6

6、(2011届华附省实联考)某园林公司计划在一块O为圆心,R(R为常数，单位为米)为半径的半

圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，?OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的．．

利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元. ．．．．

（1）设?COD??(单位：弧度）, 用?表示弓形CMDC的面积S弓?f(?); （2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的? (参考公式:扇形面积公式S?

121R??Rl，l表示扇形的弧长) 22MC观赏样板地 D花木地

AOB

7、（选做）f(x)?ax?bx?c(x?1)，

2草皮地

草皮地

f(?1)?1，f(0)?1，f(1)?1，

5 4 证明：当?1?x?1时，证明：f(x)?

函数与方程思想（二）答案： 一、课前小练

－

1、D；2、B (提示：构造函数f(x)＝2x－3x)；3、5； 二、经典例题 1、?x?y?1

11?2xy2111xy1x2?y2?xy???xy??2 ?(x?)(y?)?xy????xy??xyxyxyxyxyyxxyxy 又x?0,y?0，则0?xy?(x?y21)?， 24

设t?xy，则xy?122?2?t??2，记为f(t)，定义域为(0,]

4xytf'(t)?1?21125?0(0,]?f()?，即在递减，所以 f(t)f(t)2444t11an(4?an),n?N.看作一个函数f(x)?x(4?x). 221112?ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]???ak?2??2?2. 222121ak?2ak?ak??ak?ak?2??0, 222、把递推公式看作一个函数，就可以获得解法。

解法1：把an?1?由此启发得ak?1 于是 ak?2, 又因为ak?1?ak??所以 ak?1?ak,

由以上有an?an?1?2,n?N; 解法2：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，a0?1,a1?13a0(4?a0)?, 22∴0?a0?a1?2；

2°假设n = k时有ak?1?ak?2成立，

1x(4?x)，f(x)在?0,2?上单调递增， 2所以由假设有：f(ak?1)?f(ak)?f(2), 111即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2), 222也即当n=k+1时 ak?ak?1?2成立，

令f(x)?所以对一切n?N?,有an?an?1?2.

a?12ax2?a?1?2ax?3、(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)?. xx当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；

当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?a?1.当x∈(0, 2a??a?1)时, f?(x)＞0； 2ax∈(?a?1，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, 2aa?1a?1）单调增加，在（?，+?）2a2a单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2,即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

a?12ax2?4x?a?1?2ax+4＝令g(x)=f(x)+4x,则g?(x)?. xx

?4x2?4x?1?(2x?1)2于是g?(x)≤＝≤0.

xx从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2. 4、解：（1）当a1?

3n(n?1)3n(n?1)12,d?1时， Sn?na1?d?n??n?n 222221412k?k2?(k2?k)2， 由Sk2?(Sk),得2231即 k(k?1)?0 又k?0,所以k?4． 4（2）设数列{an}的公差为d，则在Sn2?(Sn)中分别取k＝1，2，得

2

??S1?(S1),?2??S4?(S2)2?a1?a12,（1） ?即?4?32?12

d?(2a1?d)（2） ?4a1?22?

由（1）得 a1?0或a1?1. 当a1?0时,代入(2)得d?0或d?6,

若a1?0,d?0,则an?0,Sn?0,从而Sk?(Sk)2成立

若a1?0,d?6,则an?6(n?1),由S3?18,(S3)2?324,Sn?216知 s9?(S3)2,故所得数列不符合题意． 当a1?1时,代入(2)得4?6d?(2?d)2,解得d?0或d?2

2若a1?1,d?0,则an?1,Sn?n,从而Sk2?(Sk)成立;

若a1?1,d?2,则an?2n?1,Sn?1?3???(2n?1)?n,从而S?(Sn)成立． 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

22

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