第6讲 对数与对数函数

第6讲 对数与对数函数

【高考会这样考】

1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．

3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】

复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．

基础梳理

1．对数的概念 (1)对数的定义 (2)几种常见对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质

①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式

logaN

①换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1)；

a

1

②logab＝loga，推广logab·logbc·logcd＝logad.

b(3)对数的运算法则

如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么

M

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaN＝logaM－logaN； n

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④log amMn＝mlogaM. 3．对数函数的图象与性质 4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

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一种思想

对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范

解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点

?1?画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，?a，－1?.

??四种方法

对数值的大小比较方法

(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较． 双基自测

1．(2010·四川)2 log510＋log50.25＝( )． A．0 B．1 C．2 D．4

2．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是( )． A．a＜b＜c C．b＜a＜c

B．a＜c＜b D．c＜a＜b

3．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )． A．(0，＋∞) C．(1，＋∞)

B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)

4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )． A．(－∞，1] 3??

0，C.? 2???

4??

B.?－1，3? ??D．[1,2)

2

5．若loga3>1，则a的取值范围是________．

考向一 对数式的化简与求值

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log89

【例1】?求值：(1)log3；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；

21324

(3)2lg 49－3lg 8＋lg 245.

11

【训练1】 (1)若2a＝5b＝10，求a＋b的值． (2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．

考向二 对数值的大小比较

【例2】?已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，1

设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( )． A．c＜a＜b C．b＜c＜a

B．c＜b＜a D．a＜b＜c

1

【训练2】 (2010·全国)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－2，则( )． A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a

考向三 对数函数性质的应用

【例3】?已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．

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【训练3】 已知f(x)＝log4(4x－1) (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性；

?1?

(3)求f(x)在区间?2，2?上的值域．

??

难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法

指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论． 一、与对数函数有关的求值问题

??lg x，x＞0，

【示例】? (2011·陕西)设f(x)＝?x＋?a3t2dt，x≤0，

???0若f(f(1))＝1，则a＝________.

二、与对数函数有关的解不等式问题

1－x

?2，x≤1，

【示例】? (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝?则满足f(x)≤2的x

?1－log2x，x＞1，

的取值范围是________．

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