计算题

2.6.1 试计算面心立方晶体的（100），（110），（111）等晶面的面间距和面致密度，并指出

面间距最大的面。

答案：在面心立方中，当（hkl）不全为奇数或不全为偶数时，有附加面 因此：d100 = 1/2×a/(12+0+0)1/2 = 0.5a

d110 = 1/2×a/(12+12+0)1/2 = 0.354a d111 = a/(12+12+12)1/2 = 0.577a

K100 = [1/4×4 ＋ 1] πr2 / a2 = 0.785

K110 = [1/4×4 ＋ 1/2×2 ] πr2 / 21/2a2 = 0.555

K111 = [1/6×3 ＋ 1/2×3 ] πr2 / [ 31/2/4×21/2a2 ]= 0.907

2.6.2 试证明理想密排六方结构的轴比c/a=1.633。 答案：h ＝ (3/4)1/2 a

且：d = [(c/2)2 + (2h/3)2]1/2 = (c2/4 + a2/3)1/2 由于密排六方中：d = a 故 c/a = (8/3)1/2 = 1.633

2.6.3 Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为r=0.1243 nm，试求Ni的晶格常数和

密度。

答案：a = 4r/21/2 = 4×0.1243/1.4142 = 0.3516 nm

－

ρ = 4Ar/(a3×NA) = 4×58.69 / [(3.516×108)3×6.023×1023] = 8.967 g/cm3

2.6.4 Mo的晶体结构为体心立方结构，其晶格常数a=0.31468nm，试求Mo的原子半径r。 答案：a = 4r/31/2 因此，r = 0.1363 nm

2.6.5 Cr的晶格常数a=0.28844nm，密度为ρ=7.19g/cm3，试确定此时Cr的晶体结构。 答案：ρ = nAr/(a3×NA)

计算得：n = 1.9977 ≈ 2，故为体心立方

3.5.1 若将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量是否改变？位错的类型性

质是否变化？一个位错环上各点位错类型是否相同？

答案：将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量将反向，位错的类型性质不会发生变化。一个位错环上各点位错类型可以相同，即伯氏矢量与位错环垂直，都为纯刃位错；除了这种情况以外，一个位错环上各点位错类型处处不同。

3.5.2 有两根左螺旋位错线，各自的能量都为E1，当他们无限靠拢时，总能量为多少？ 答案：位错能量为E1，则其伯氏矢量为(E1/k)1/2；当他们无限靠拢时，合成后的位错为2(E1/k)1/2，则其能量为k×[2(E1/k)1/2]2 = 4 E1

3.6.1 Nb的晶体结构为bcc，其晶格常数为0.3294nm，密度为8.57g/cm3, 试求每106Nb中

所含空位数目。

答案：设空位之粒子数分数为x， Ρ＝[2(1-x)Ar]/[a3NA]

－－

x = [2Ar－ρa3NA]/ 2Ar = 1－[8.57×(3.294×109)3×6.023×1023]/[2×92.91]= 7176.6×106 因此，每106Nb中所含空位数目为：7176.6个

3.6.2 若fcc的Cu中每500个原子会失去一个，其晶格常数为0.3615nm，试求Cu的密度。

1)?63.54500答案：???8.915 g/cm3 ?8323(3.615?10)?6.023?104?(1?3.6.3 在Fe中形成1 mol空位的能量为104.675kJ，试计算从20℃升温至 850℃时空位数目

增加多少倍？

答案：X2/X1 ＝ exp(-Q/RT2+ Q/RT1)＝exp[-104675/(8.31×1123) + 104675/(8.31×293)] ＝ e31.8

3.6.4 由600℃降至300℃时，Ge晶体中的空位平衡浓度降低了六个数量级，试计算Ge晶

体中的空位形成能。

答案：X2/X1 = exp(-Q/RT2+ Q/RT1) = 106 T2 = 873 K, T1 = 573 K, R = 8.31 Q =

3.6.5 有两个被钉扎住的刃型位错A-B和C-D，他们的长度x

相等，且具有相同的b大小和方向（图3-2）。每个位错都可看作F-R位错源。试分析在其增值过程中两者间的交互作用。若能形成一个大的位错源，使其开动的?c多大？若两位错b相反，情况又如何？

答案：两位错在外力作用下将向上弯曲并不断扩大，当它们相遇时，将于相互连接处断开，放出一个大的位错环。新位错环的长度为5x，则开动该位错环的临界切应力为Gb/5X。 若两个位错伯氏矢量相反，当他们扩大接近时将相互排斥，从而使位错受阻，并使位错环形状发生变化。随着位错环的不断扩展，斥力越来越大，最后将完全抑制彼此的扩展而相互钉扎。

4.6.1 一块含0.1%C的碳钢在930℃渗碳，渗到0.05cm的地方碳的浓度达到0.45%。在t>0

的全部时间，渗碳气氛保持表面成分为1%，假设 D = 2.0×10-5exp(-140000/RT) (m2/s)，

(a) 计算渗碳时间；

(b) 若将渗层加深一倍，则需多长时间？ (c) 若规定0.3%C作为渗碳层厚度的量度，则在930℃渗碳10小时的渗层厚度为870℃渗碳10小时的多少倍？ 答案：（a）由Fick第二定律得：???s?(?s??0)erf(x2Dt)

两边同除合金密度，得： w?ws?(ws?w0)erf(计算得：t

1.0×104 (s)

x2Dt)

(b) 由关系式x?ADt，得：x1?AD1t1，x2?AD2t2

2x2Dt两式相比，得：2?22

D1t1x1当温度相同时，D1=D2，于是得：t2＝4×104 s

2x930Dt （c） 2?22

x870D1t1 因为： t930 = t870, D930 = 1.67×10-7 (cm2/s)

D870 = 0.2 × exp(-140000/8.314×1143) = 8.0 × 10-8 (cm2/s)

2x930Dt所以：2?22?1.45 倍

x870D1t1

4.6.2 有两种激活能分别为E1=83.7KJ/mol和E2=251KJ/mol的扩散反应。观察在温度从25℃

升高到600℃时对这两种扩散的影响，并对结果作出评述。 答案：

由D?D0exp(?Q)得： RTD873?8370011?exp[?(?)]?4.6?109 D2988.314873298D873?25100011?exp[?(?)]?9.5?1028 D2988.314873298对于温度从298K提高到873K，扩散速率D分别提高4.6×109和9.5×1028倍，显示出温度对扩散速率的重要影响。当激活能越大，扩散速率对温度的敏感性越大。

4.6.3在一个富碳的环境中对钢进行渗碳，可以硬化钢的表面。已知在1000℃下进行这种渗

碳热处理，距离钢的表面1 mm处到2 mm处，碳含量从5at%减到4at%。估计在近表面区域进入钢的碳原子的流入量J(atoms/m2s)。（γ-Fe在1000℃的密度为7.63 g/cm3，碳在γ-Fe中的扩散常数D0=2.0×10-5 m2/s,激活能Q=142 kJ/mol）。 答案：

首先求出单位体积铁的原子数：

X＝7.63×[(6.023×1023)/55.85]＝8.23×1022原子数/cm3

可以近似认为（碳原子数＋铁原子数）＝铁原子数，则

??(0.05?0.04)?(8.23?1022)???8.23?1021/cm4 ?x0.1?0.2而D=D0exp(-Q/RT)＝2.98×10

根据菲克第一定律：

－11

m2/s

J??Dd????D?2.45?1019/cm2s dx?x

4.6.4 含0.85%C的普碳钢加热到900℃在空气中保温1小时后外层碳浓度降到零。(a) 推导

脱碳扩散方程的解，假定t>0时，x=0处，ρ=0。(b) 假如要求零件外层的碳浓度为0.8%，

r-7

表面应车去多少深度？（ Dc ＝ 1.1×10 cm2/s）

?答案：答案：a) 由Fick 第二定律：??A1exp(??)d??A2

0?2由初始条件， t=0，x≥0，ρ＝ρ0 得：??x2Dt

由边界条件， t > 0，x=0，ρ=0；x=∞，ρ＝ρ0 得：A2 = 0

联立方程，解得：A1?2?0??

代入通解，得：??2?0?2exp(??)d???0erf(?) ?0同除以密度，得：w?w0erf(?) （a）

代入数据：0.80?0.85erf(x2Dt)

得：x = 0.055 cm

4.6.5 在950℃下对纯铁进行渗碳，并希望在0.1 mm的深度得到0.9 wt%的碳含量。假设表

面碳含量保持在1.20 wt% ，扩散系数Dγ-Fe=10-10 m2/s。计算为达到此要求至少要渗碳多少时间。 答案： 由题意，

ws?w1x?erf()

ws?w02Dt代入数据，计算得：t = 327 s

5.6.1 已知平均晶粒直径为1 mm和0.0625 mm的?-Fe的屈服强度分别为112.7 MPa和196

MPa，问平均晶粒直径为0.0196 mm的纯铁的屈服强度为多少？ 答案：由

?s??0?kd

?12代入数据，联立方程，解得：σ0＝84.935 MPa， k = 0.878

因此，平均晶粒直径为0.0196 mm的纯铁的屈服强度为：σ0＝283.255 MPa

5.6.2铁的回复激活能为88.9 kJ/mol，如果经冷变形的铁在400℃进行回复处理，使其残留加

工硬化为60%需160分钟，问在450℃回复处理至同样效果需要多少时间？ 答案：

由

t1?Q11?exp((?)) t2RT2T1代入数据，得：t2 = 59 min

5.6.3已知H70黄铜（30%Zn）在400℃的恒温下完成再结晶需要1小时，而在390℃完成再

结晶需要2小时，试计算在420℃恒温下完成再结晶需要多少时间？ 答案：

再结晶是一热激活过程，故再结晶速率：?R?Aexp(?一体积分数所需时间t成反比，即 ?R?

因此，?Bexp(?即：

Q)，而再结晶速率和产生某RT1tQ)， RT1tt1tQQQQ?exp(??)；1?exp(??) t2RT2RT1t3RT3RT1代入相应数据，得到 t3 = 0.26 h

5.6.4 已知纯铁经冷轧后在527℃加热发生50%的再结晶所需的时间为104s，而在727℃加

热产生50%再结晶所需时间仅为0.1s，试计算要在105s时间内产生50%的再结晶的最低温度为多少度？ 答案：

再结晶是一热激活过程，故再结晶速率：?R?Aexp(?一体积分数所需时间t成反比，即 ?R?

因此，?Bexp(?即：

Q)，而再结晶速率和产生某RT1tQ)， RT1tt1tQQQQ?exp(??)；1?exp(??) t2RT2RT1t3RT3RT1代入相应数据，得到 T3 = 769 K

5.6.5 已知Fe的Tm=1538℃，Cu的Tm=1083℃，试估算Fe和Cu的最低再结晶温度。 答案：Fe的Tm=1538℃=1811 K，Fe的最低再结晶温度为0.4×1811＝724 K＝451℃ 同样，Cu的Tm=1083℃＝1356 K，Cu的最低再结晶温度为0.4×1356＝542 K＝269℃

5.6.6 设有1 cm3黄铜，在700℃退火，原始晶粒直径为2.16×10-3 cm，黄铜的界面能为0.5 J/m2，

由量热计测得保温2小时共放出热量0.035 J，求保温2小时后的晶粒尺寸。

答案：设保温2小时共放出热量0.035 J是晶界总面积减小而释放的能量。而单位体积界面面积S和截面直径d之间存在S=d/2的关系，因此 由Q?(22?)?，代入数据，得：d2＝3.9×10－3 cm d2d17.6.1 Mg-Ni系的一个共晶反应为：L(23.5Wt.%Ni) ? α(纯镁)+Mg2Ni(54.6Wt.%Ni)。设C1

为亚共晶合金，C2为过共晶合金，这两种合金中的先共晶相的重量分数相等，但C1合金中的α相总量为C2合金中的α相总量的2.5倍，试计算C1和C2的成分。 答案：根据已知条件，由杠杆定律得：

C1合金的先共晶相的质量分数为α先＝23.5?C1

23.5

C2合金的先共晶相的质量分数为Mg2Ni先＝C2?23.5

54.6?23.5由题意，α先＝Mg2Ni先，即23.5?C1?C2?23.5 （1）

23.554.6?23.554.6?C1 1令C1中α相总量为?总，则?总＝154.654.6?C2 2C2中α相总量为?总，则?总＝254.6由题意得，54.6?C1?54.6?C2?2.5 （2）

54.654.6联立方程（1）和（2），得：C1＝12.7%，C2＝37.8%

7.6.2 假定我们在SiO2中加入10at%的Na2O，请计算氧与硅之比值。如果O:Si≤2.5是玻璃

化趋势的判据，则形成玻璃化的最大Na2O是多少？

答案：(1) 根据题意，合金中有90at%的SiO2和10at%的Na2O，则氧与硅之比值为： W(O) ：W(Si)＝（0.9×2＋0.1×1）：（0.9×1）＝2.111 (2) 设Na2O的最大含量为x，则SiO2的含量为1－x 由W(O) ：W(Si)＝[2 (1－x)＋x]：(1－x) ≤2.5，得 x≤1/3

7.6.3 根据Fe-Fe3C相图，分别求2.11%C，4.30%C的二次渗碳体的析出量。 答案：由相图可知奥氏体含碳量为2.11%时，二次渗碳体的析出量最大。 含碳量为2.11%时，Fe3C??2.11?0.77?22.6%

6.69?0.77 含碳量为4.3%时，合金首先生成由奥氏体和渗碳体组成的共晶组织，然后再由奥氏体析出二次渗碳体，因此，Fe3C??6.69?4.3?2.11?0.77?11.8%

6.69?2.116.69?0.777.6.4 根据所示Pb-Sn相图：（1）计算该合金共晶反应后组织组成体的相对量和组成相的相

对量；（2）计算共晶组织中的两相体积相对量，由此判断两相组织为棒状还是为层片状形态。在计算中忽略Sn在?相和Pb在?相中的溶解度效应，假定?相的点阵常数为Pb的点阵常数aPb = 0.390nm，晶体结构为面心立方，每个晶胞4个原子；?相的点阵常数为?-Sn的点阵常数aSn = 0.583nm，cSn = 0.318nm，晶体点阵为体心四方，每个晶胞4个原子。Pb的原子量207，Sn的原子量为119。

答案：（1）合金发生共晶反应后的组织组成物为?初和（?＋?）共，各自的含量为：

?初＝（61.9－50）/（61.9－19）＝28％ 则（?＋?）共＝72％

合金发生共晶反应后的相组成物为?和?，各自的含量为： ?＝（97.5－50）/（97.5－19）＝60.5％ 则?＝39.5％

（2）?相的晶胞体积为：V1＝aSn2 cSn＝0.0593 nm3

每个晶胞有4个原子，则每个原子占据的体积为V1/4＝0.01483 nm3 ?相的晶胞体积为：V2＝aPb3＝0.10808 nm3

每个晶胞有4个原子，则每个原子占据的体积为V2/4＝0.02702 nm3 在共晶组织中，?相和?相各自占质量分数为：

?共＝（97.5－61.9）/（97.5－19）＝45.35％

则?共＝54.65％

该共晶组织共有100g， 则其中?共＝45.35g，?共＝54.65g 则?共的体积为45.35/207 ×NA×0.01483＝0.00325NA ?共的体积为54.65/119 ×NA×0.02702＝0.01241NA 得?共/（?＋?）共＝20.75%

即?共相占共晶体总体积的20.75%。由此可见，该共晶组织应为棒状。

8.6.1 已知A、B、C三组元固态完全不互溶，成分为80％A、10％B、10％C的O合金在冷

却过程中将进行二元共晶反应和三元共晶反应，在二元共晶反应开始时，该合金液相成分（a点）为60％A、20％B、20％C，而三元共晶反应开始时的液相成分（E点）为50％A、10％B、40％C。（a）试计算A初％、（A+B）%和（A+B+C）%的相对量。（b）写出图中I和P合金的室温平衡组织。

oa80?60??50% Aa100?60Ao100?80 L％＝??50%

Aa100?6040?20(A?B)％＝50%??25%

40?020?0(A?B?C)％＝L%??25%

40?20答案：（1）A初％＝ （2）Ⅰ合金：B＋（A＋B＋C）共晶

P合金：（B＋C）共晶＋（A＋B＋C）共晶

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fn1r.html