高等代数第四版习题答案

高等代数第四版习题答案

【篇一：高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案】

xt>一、 判断题

1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b. 错.

2. 如果a2?0,则a?0.

错.如a???11?2?,a?0,但a?0. ??1?1?

23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.

正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.

4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.

5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.

错.如a???11??21??32?,b?,c??????，有ab?ac,但b?c. ??1?1???2?1???3?2?

6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq???0?0??. 0??

正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形. 7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.

*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且 (a*)?1? 1a. |a|

8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*. 正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又

(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.

因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*. 二、 选择题

1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.

(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab

(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.

2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵. (a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a

3．以下结论不正确的是（ c ）.

(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵； (b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；

(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵； (d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.

4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）

(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零； (c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零； 2222tt2t

5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）

(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b) (c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e) 6．下列命题正确的是（b ）. (a) 若ab?ac，则b?c

(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c (c) 若ab?ac，且a?0，则b?c

(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c

7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）. (a) 当m?n时，必有行列式ab?0； (b) 当m?n时，必有行列式ab?0 (c) 当n?m时，必有行列式ab?0； (d) 当n?m时，必有行列式ab?0.

ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0. 8

．以下结论正确的是（ c）

(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0； (b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；

(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的； (d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b

9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.

（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.

（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1. ?1???0t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)???0,?1?2?3?0. ?2????0?

因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由

a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o 可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.

10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵

nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0 (b) a主对角线上的元素全为零

11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d） (a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?0

12．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a） (a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca (b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba (c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c (d) 若b?c，则必有ab?ac

13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e

14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ） (a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；

(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵； ***t

**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵； （Ｄ）aa?a. aa*?ae?a.

*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（ Ｄ） 234n(a) a (b) a (c) a(d) a

16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ ） (a) **?a

k?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn 应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.

?a11?a1n??a11?a1n?????17.设a????, b????,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） ???????an1?ann???an1?ann?? (a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随 (d)以上结论都不对

18．设a,b为方阵，分块对角阵c???a0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b? 0? *?bb?

0?? abb*??a*(a) c???0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c) c???0?aba*0?? (d) c??ab*??0 利用cc*?|c|e验证.

19．已知a???46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b?????1?2??246? (a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba

【篇二：高等代数第4章习题解】

题4.1

1、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)? 1

(1,0,1,5) 2

（2）5(0,1,2)?(1, 1

,0)?(1,1,1) 2

15517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222 解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)? （2）5(0,1,2)?(1, 19

,0)?(1,1,1)?(0,,9) 22

2、验证向量加法满足交换律、结合律。

证明：设??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn),??(c1,c2,?,cn), 则 ????(a1,a2?,,a)?b(,2?,nb,?)a?1ba??b,a?,n b)n1b1(2,2n ?(b1?a1,b2?a2,?,bn?an)?(b1,b2,?,bn)?(a1,a2,?,an)???? (??

?)???(a(1a,2?,a?)b,,nb,?))cc?(,n c,n,1(b2?12

?((a1?b1,a2?b2,?,an?bn))?(c1,c2,?,cn) ?(a1?b1?c1,a2?b2?c2,?,an?bn?cn) ?(a1?(b1?c1),a2?(b2?c2),?,an?(bn?cn)) ?(a1,a2,?,an)?((b1?c1,b2?c2,?,bn?cn)) ?(a1,a2,?,an)?((b1,b2,?,bn)?(c1,c2,?,cn)) ???(???) ,)

3、证明性质4.1.5。

性质4.1.5的内容是：对任意n维向量?,?及数k，有 (?k)??k(??)??k?，k(???)?k??k?

证明：设??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn) 那么

(?k)??(?k)(a1,a2,?,an)?((?k)a1,(?k)a2,?,(?k)an)

?(?ka1,?ka2,?,?kan)?(k(?a1),k(?a2),?,k(?an)) ?k((?a1),(?a2),?,(?an))?k(?(a1,a2,?,an))?k(??)

其次k(??)?k(?(a1,a2,?,an))??k(a1,a2,?,an)??k? 最后： k(???)?k((a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn))

?k(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)?(ka1?kb1,ka2?kb2,?,kan?kbn)?(ka1,ka2,?,kan)?(kb1,kb2,?,kbn)?k(a1,a2,?,an)?k(b1,b2,?,bn)?k??k? 4、设?1?(1,0,1),?2?(0,1,0),一的一组数a1,a2,a3使 ?3?(0,0,1)，求证：对任意的??f3，在f中都有唯 ??a1?1?a2?2?a3?3

解：设?的坐标为(a1,a2,a3)，那么

??(a1,a2,a3)?(a1?0,0?a2,0?a3)?(a1,0,0)?(0,a2,a3)

?(a1,0,0)?(0?0,a2?0,0?a3)?(a1,0,0)?(0,a2,0)?(0,0,a3) ?a1(1,0,0)?a2(0,1,0)?a3(0,0,1)?a1?1?a2?2?a3?3

由于给定向量的坐标是唯一的，所以上面等式中的数a1,a2,a3是唯一的。 n

5、设??f,k,l?f，证明(k?l)??k??l?。 证明：设??(a1,a2,?,an)，那么

(k?l)??k??l??(k?l)(a1,a2,?,an)?((k?l)a1,(k?l)a2,?,(k?l)an) ?((k?l)a1,(k?l)a2,?,(k?l)an)?(ka1?la1,ka2?la2,?,kan?lan)

?(ka1,ka2,?,kan)?(la1,la2,?,lan)?k(a1,a2,?,an)?l(a1,a2,?,an)?k??l? 3 n

6、设??f，称方程x????有解，如果存在??f，使?????，证明对任

意?,??fn，方程x????有唯一解当且仅当关于加法算律中的3）、4）成立。

11 q2(x) ?11 -1 -111-3-4-1 q1(x) 1 0 244?5(?x1) 5?(?1x)1). 131 11-1-1 22

84? ?-1 r1(x)-2-3-1 q3(x) 2233 131? ? ? -2-2 244 33 r2(x)? ? -1-1 44 -1-1

r3(x) 0 所以

(f(x),g(x))?x?1. 2）(f(x),g(x))?1. 3

）(f(x),g(x))?x2??1.

6．求u(x),v(x)使u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x)):

1）f(x)?x4?2x3?x2?4x?2,g(x)?x4?x3?x2?2x?2； 2）f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9,g(x)?2x3?x2?5x?4； 3）f(x)?x4?x3?4x2?4x?1,g(x)?x2?x?1． 1）解 用辗转相除法 g(x) f(x)

q2(x) 1 1 1 1 -1-2-2 12-1-4-2 q1(x) 11 0 -201 1-1-2 1 1-2-2 r1(x) 1 0-2q3(x) 1 1 0-20 1 0-2 r2(x) 1 0-2r3(x) 0 由以上计算得

f(x)?q1(x)g(x)?r1(x), g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x), r1(x)?q3(x)r2(x), 因此

(f(x),g(x))?r2(x)?x2?2， 且

(f(x),g(x))?r2(x) ?g(x)?q2(x)r1(x)

?g(x)?q2(x)[f(x)?q1(x)g(x)]

??q2(x)f(x)?[1?1q(x2)q(x) g]x() 所以

u(x)??q2(x)??x?1,v(x)?1?q1(x)q2(x)?x?2． 0

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