2014届高三数学一轮复习（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 12.3 几何概型

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂

内外+限时训练）：12.3 几何概型

一、选择题

1．(2012·辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm的概率为( )

1124

A. B. C. D. 6335

解析：设AC＝x，由题意知x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，所求事件的概率P＝4－0＋12－82

＝.

123

答案：C

2．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )

2

1A. 41C. 6

1B. 51D. 7

解析：令阴影部分的面积为S′，正方形的面积为S，则S＝1，S′＝

?3?211S′1??|1

221(x－x)dx＝＝－＝，所以点P恰好取自阴影部分的概率p＝＝02???326Sx －x?0

2??3

1

. 6

答案：C

?0≤x≤2?

3．(2012·北京)设不等式组?

??0≤y≤2

表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个

点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )

1

A. C.

π6

π4

B.D.

π－2

2

4－π

4

解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，

??0≤x≤2，?

?0≤y≤2?

π×4

4－

4

表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为＝4

4－π

. 4

答案：D

?π?4．(2013·福州质检)在区间?0，?上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率

2??

是( )

1

8

13

A.

B. C.

12

D.

2π

π41π

解析：由0＜tanx＜1，得0＜x＜，故所求概率为＝. 4π2

2答案：C

5．(2013·广东联考)在区间[－1,1]上任取两个实数x，y，则满足x＋y≥1的概率为( )

2

2

A. C.

π－1

4

π4

B.D.

2

4－π

44－π

π

2

解析：所求事件的对立事件为任取两个数使x＋y＜1，其概率为4－π

. 4

答案：B

π

，故所求概率为4

6．(2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )

2

A．1－ C.

2π

2π

B.－ D.

1π

112π

解析：不妨设扇形的半径为2a，各部分面积如图所示． 122

则S1＋S2＋S3＋S4＝π(2a)＝πa，

4又S1＋2S2＋S3＝πa，故S2＝S4，

2

?π212?122

由图可知S2＝2×?a－a?＝πa－a，

2?2?4

所以S阴影＝πa－2a.

S阴影πa－2a2

由几何概型概率公式可得所求概率P＝＝＝1－. 2

S扇形OABπaπ答案：A 二、填空题

7．在区间[0,9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为

3

2

2

2

2

__________．

2

解析：由1≤log2x≤2，得2≤x≤4，根据区间长度关系，得所求概率为.

92答案： 9

8．(2013·云南统考)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x＋mx＋m，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于__________．

解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足Δ＝m＋4m≥0，解得m≤－4或m≥0，2＋911又m∈[－6,9]，故－6≤m≤－4或0≤m≤9，因此所求概率P＝＝.

1515

11

答案： 15

2

2

9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地在单位圆内投掷一点，若此点到11

圆心的距离大于，则周末去看电影，若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家

24看书．则小波不在家看书的概率为__________．

解析：本题考查几何概型，设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C

＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，则P(D)＝1－P(C)＝1－13

＝. 16

13答案： 16三、解答题

?1?2π－?1?2π?2??4?????

π

4

10．(2013·宁波调研)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

解析：弦长不超过1，即|OQ|≥过1}．

3×223

由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.

22∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－

3

. 2

3

，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超2

11．(2013·临沂高新区期末)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；

(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y， 则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4. 0≤x＜24，??

作出区域?0≤y＜24，

??y－x＞4或y－x＜－4.

设“两船无需等待码头空出”为事件A， 1

2××20×20225

则P(A)＝＝.

24×2436

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fmr2.html