基于Delaunay三角剖分的超分辨算法分（修改）

基于Delaunay三角剖分的超分辨算法分析

摘要：在进行对低分辨率图像处理得到高分辨率图像时，如果遇到非等间隔采样的图像样本的问题，如何恢复成规律的等间隔的高分辨率图像，Delaunay是一种比较有效解决手段，本文将介绍两种方法：梯度估计法和最小曲率法，并给出实验结果和对比。结果显示使用梯度估计法会产生较多的图像奇异点，并且运算效率较低，而最小曲率法则会因为避免求解不稳定的奇异矩阵给出较好的图像显示结果。

关键词：非等间隔采样；超分辨；Delaunay三角剖分 引言

目前红外成像导引头上所用的红外探测器由于受到探测器工艺水平和导引头空间体积的限制，其成像的图像分辨率一般都比较低，如128*128，256*256，这样就极大的限制了导引头的探测能力和制导精度。为此如何在现有的低分辨平台下获得更高分辨率的图像信息，超分辨便成为了一种十分有效的图像处理手段。但是在导弹飞行的过程中进行的连续采样帧由于弹体平台的抖动很难得到等间隔的规律采样帧图像，因此要想生成等间隔的高分辨率网格图像，引入Delaunay三角剖分的概念可以将其转化为最终我们所需要的图像。

本文将简要的介绍Delaunay三角剖分的概念，并给出两种基于三角剖分形成高分辨率图像网格图像的方法，通过对比分析实验结果给出相应结论。 Delaunay三角剖分

Delaunay三角网格以其具有适应性强、分布灵活，对于非规则离散分部的散乱数据、复杂的构图研究、图像处理、科学计算可视化和有限元计算、神经网络等应用领域有着广泛的用途。

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图1

对于平面上的N个散乱点集，有且只有一种三角剖分，使所有三角形的最小内角之和最大，这就是由Delaunay定义的三角剖分法。

在一个平面上，点集V的三角化是指以点集V中的点为顶点的三角形块的集合T，并且同时满足所有三角形块互不相交，三角形块的并集组成一个凸面。众所周知，三角形的外接圆是一个通过三角形的三个定点的唯一圆，存在且唯一。所谓空圆是指点集V中的任何点都不落入外接圆中。如果三角形的外接圆是空圆就称该三角形是Delaunay三角形。当且仅当三角形块的集合T中的所有三角

形都具有Delaunay特性才称T是Delaunay的。这种三角网格方法即为三角剖分。 正是由于Delaunay三角网所具有的这些性质，受到了很多学者的广泛关注。 图1为九个顶点的Delaunay三角剖分，虚线为各个三角形的外接圆，由图可以看到，每个三角形的外接圆内不包含任何顶点，因此为空圆。 梯度估计法

首先我们引入梯度估计的概念，在一些传统的图像超分辨算法特别是单帧图像的超分辨算法中一般不考虑插值顶点处的梯度，从而算法本身就存在固有的一些局限性，如在插值顶点处不具有连续的导数等，而在多帧图像超分率算法中则会考虑已知顶点处的梯度。

n2n1n??n3?n4n6n5

图2 各顶点梯度示意图

用n表示被研究顶点处的法向量，它由Delaunay三角块中与该顶点相邻的三角形区域的单位法向量的平均值来决定的。如图2在三角剖分中所有以该目标点为顶点的三角形都是该目标点的相邻三角形。在此图中，顶点v有六个相邻区域，其中n由下式计算。

???n??j?16AjnjA?，其中A??Aj，j?1,2,...6，Aj是顶点v的第j块邻域的面

j?16积。

而x方向和y方向的梯度分别为：

?nynx?z?z??，??，其中n?[nx?xnz?ynznynz]T

本文采用的约束条件是双变量多项式，表达式如下：

z(x,y)?c1?c2x?c3y?c4x2?c5y2?c6x3?c7x2y?c8xy2?c9y3 （1） 其中z(x,y)是坐标为(x,y)处的目标像素点的值。要求任意缩放比的目标图像各像素的值，也就是对任意的坐标(x,y)求出改点的z值，根据上式，需要确定常数ci(i?1,2,...,9)的值。

z(x2,y2,z2)(x,y,z)(x3,y3,z3)(x1,y1,z1)y(x2,y2,0)(x,y,0)(x3,y3,0)x(x1,y1,0)

图3三角形区域的曲面拟合

对于每一个Delaunay三角块，三个顶点的像素值已知，因此可以得到三个方程，再根据三个顶点的梯度值，这样就未知数就可以全部确定，从而Delaunay三角块被拟合成连续可微的曲面，如图3所示。由此可得方程组：

???z??i??1xi??zi???01??x?????00??z?i????y??其中i?1,2,3；c?[c1yi01xi22xi0yi202yixi33xi20xi2yi2xiyixi2xiyi2yi22xiyiyi3?? 0??c （2）

3yi2??c2c3?c9]T。

这样，由三个顶点的相关参数可得具有9个方程的线性方程组，即可求得系

数矢量c的值。因此，所有的Delaunay三角块均可拟合成连续可微的曲面，然后由式（1）就可求得规则的超分辨网格上的像素值。 最小曲率法

在梯度估计法中我们注意到在求解曲面方程过程中我们会涉及到一个解九元方程组的环节，由于其中会存在使方程组不稳定的点，在最终的图像中产生奇异点，严重影响最终的图像效果。并且这种方法在求解各点的空间梯度时计算量较大影响计算效率。

为避免算法插值过程中复杂的方程组求解，这里介绍一种有限元中的“最小曲率”原则针对Delaunay三角网进行影响插值运算，下面将进行具体介绍。

设(x0,y0,z0)为高分辨网格结点上一个待插值的点，并且是Delaunay三角网中一个三角形的内点，z0为该点的位置像素值。与(x0,y0,z0)所在三角形中一边上的两个数据点(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)是已知的，则由三点组成的平面法向量表示为：

?nx?a0z?b? ?ny?c0z?d （3）

??nz?e其中

a?y2?y1b?z2(y1?y0)?z1(y2?y0) c?x1?x2d?z1(x2?x0)?z2(x1?x0)e?(x1?x0)(y2?y0)?(x2?x0)(y1?y0) （4）

同理，求得(x0,y0,z0)与其他三角形边中两个数据点形成的三角形平面的法向量，将所有法向量化为单位矢量并求和，得到平均矢量

?Nx?Az0?B? ?Ny?Cz0?D （5）

??Nz?1其中，

ai?eA?i?1i,B?3333bicidi???ei?1eii?1ei,C?,D?i?1i （6） 3333n1n??n3n2

图4 最小曲率示意图

图4是利用顶点周围的法向量求平均适量的示意图，顶点v具有三个相邻面。

从以上的分析可以看出，每个单位矢量与平均矢量之差为：

i (nx/ei?Nx,niy/ei?Ny,0) （7）

根据有限元中的“最小曲率”原则，单位矢量与平均矢量的平方和应为最小，

则有：

z0??[(A?a/e)(b/e?B)?(C?c/e)(diiiiiii?33i/ei?D)]?[(A?a/e)iii?33 （8）

2?(C?ci/ei)2]实验结果对比

下面将给出这两种算法的实验结果。

下面首先给出用于进行超分辨的八幅亚像元偏移的低分辨图像，这里使用的图像时MATLAB中自带的小丑图像。

（a） (b)

（c） (d)

（e） (f)

（g） (h)

图5低分辨率采样帧

通过上面四幅图像我们可以明显的感觉出边缘的棋盘效应。如果仔细观察还可以发现其实每一幅低分辨图像都有着细微的不同，正是由于这些图像间即存在联系，又有着差异，才具备恢复出高分辨率图像的可能。

通过使用上面八幅低分辨率图像，分别采用所提到的‘梯度估计法’和‘最小曲率法’。

我们首先将两种方法分别与原低分辨率图像进行对比。

图6 梯度估计超分辨图像与原低分辨率图像对比

可以看到在超分辨之后景物的边缘得到了明显的提升，但是却产生了大量的奇异点，从而使图像的整体效果没有得到有效地改善。

图7最小曲率超分辨图像同原始低分辨率图像对别

最小曲率法给出的超分辨图像不仅在边缘处有明显提升而且整幅图像都没有出现奇异点，大大提升了整体效果。如果在处理时逐渐引入后续帧将会使图像整体效果的优势更加明显。 总结

通过以上介绍的两种方法，建立了非等间隔采样图像超分辨的方法框架，并介绍了两种方法的具体实现方法，通过其各自原理，显然，到在计算时所遇到的问题。在后面的实验结果中进一步验证了之前理论，因此在实际应用中，选择这种类似于最小曲率的方法是比较适宜的，在运算时尽量避免解奇异方程组。

图6 梯度估计超分辨图像与原低分辨率图像对比

可以看到在超分辨之后景物的边缘得到了明显的提升，但是却产生了大量的奇异点，从而使图像的整体效果没有得到有效地改善。

图7最小曲率超分辨图像同原始低分辨率图像对别

最小曲率法给出的超分辨图像不仅在边缘处有明显提升而且整幅图像都没有出现奇异点，大大提升了整体效果。如果在处理时逐渐引入后续帧将会使图像整体效果的优势更加明显。 总结

通过以上介绍的两种方法，建立了非等间隔采样图像超分辨的方法框架，并介绍了两种方法的具体实现方法，通过其各自原理，显然，到在计算时所遇到的问题。在后面的实验结果中进一步验证了之前理论，因此在实际应用中，选择这种类似于最小曲率的方法是比较适宜的，在运算时尽量避免解奇异方程组。

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