【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析(5)：三角函数

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

2011年北京市各区二模试题分类解析（5）：三角函数

1、（2011丰台二模理6）．已知函数y Asin( x )的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（A）

(A) y (B) y (C) y (D) y

2、（2011顺义二模理8）.已知定义在区间0,

3 3

上的函数y f(x)的图像关于直线x

42

4532

4545sin(

45x

1515115)

y

1

sin(2x sin(

45x

) )

O - 2 5

sin(2x )

对称，当x

3 4

时，f(x) cosx，如果关于x的方程f(x) a有解，记所有解的和为

S, 则S不可能为（A） ．．． A

54

B

32

C

94

D 3

3、（2011西城二模理6）.函数y sin( x )( 0)的部分图象如右图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，则tan APB （ B） （A）10 （B）8 （C）（D）

8747

34

4、（2011东城二模文5）已知sin 那么2 在 (C)

，且 在第二象限，

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

5、（2011朝阳二模文3）已知cos

（A）

15

35

，0 π，则tan(

17

π4

)= (D)

（B）-1 （C） （D） 7

6、（2011丰台二模文6）已知函数y Asin( x )的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A)

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

(A) y (B) y (C) y (D) y

y

45324545

sin(

45

x

1515115

)

sin(2x sin(

45x

) )

5

sin(2x )

O -1

2

x

7、（2011海淀二模文4）若函数y sin(x

3

)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，

纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为(B) A．y sin(

12x 2 3 6)

) B. y sin(

12x

3

3

)

)

y sin(2x

y sin(x2

C. 8、

D.

1（2011东城二模理11）在△ABC

中，若 B

π4

,b ，则 C

7π12

．

12

2、（2011丰台二模理11）．

函数y xcosx sinx的最小正周期为 最大值为

2

．

3、（2011西城二模理9）．在 ABC中，若B

2A，a:b 1:A ___30__.

4、（2011东城二模文11）在△ABC

中，若 B 45 ,b 5、（2011朝阳二模文11）如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75

°处，且与它相距n mile，则此船的航行速度是n mile/h. 6、（2011海淀二模文12）已知 ABC的面积S

3， A

，则 C 105°

3

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

7、（2011顺义二模文11）在△ABC中，若b=1,c=3, A

6

,则 ,sinB __1/2__.

8、（2011西城二模文6）函数y sin x(x R)的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan OPB (B)

（A）10 （B）8 （C）（D）

8747

9、（2011西城二模文11）在 ABC中，若B

2A，a:b 1:A ___

1、（2011朝阳二模理15）（本小题满分13分）

已知函数f(x) 2sinx sin(

2

x) 2sinx 1(x R).

2

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

x02

3，

π4

π

（Ⅱ）若f()

x0 (

,

求，4

)

cos2x0的值.

解: f(x) 2sinx cosx 2sin2x 1 ……………………………………1分

sin2x cos2x

sinx(2

π4

……………………………………2分

). ……………………………………3分

2π2

π. ……………………………………5分

（Ⅰ）函数f(x)的最小正周期T

令2kπ

π2

≤2x

π4

≤2kπ

π2π4

(k Z)， ……………………………………6分

所以2kπ 即kπ

3π8

3π4

≤2x≤2kπ .

≤x≤kπ

π8

.

3π8, kπ

π8

](k Z). ……………8分

所以，函数f(x)的单调递增区间为[kπ

x02

（Ⅱ）解法一：由已知得f(

) sinx0 cosx0

3，

…………………9分

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

两边平方，得1 sin2x0 所以 sin2x0

7

2

9

……………………………………11分

9 ππ π

因为x0 ( , )，所以2x0 ( , ).

4

4

2

2

所以cos2x0

解法二：因为x0 (

x02

9

. ……………………………………13分

π4

,

π4

)，所以x0

π4

(0,

π2

). …………………………9分

又因为f() π4

1

x02

π4

)

x0

π4

)

3，

得 sin(x0

)

3

.……………………………………10分

所以cos(x0

π4

)

. ……………………………………11分

3

所以，cos2x0 sin(2x0

13

3

9

2

) sin[2(x0

π4

)] 2sin(x0

π4

)cos(x0

π4

)

2 .

2、（2011昌平二模理15）. （本小题满分13分） 已知函数f(x)

3sin2 x 2cos x( 0) 的最小正周期为 .

2

（I） 求 的值；

（II）求函数f(x)在区间[0,

解：（I）依题意f(x)

3sin2 x 2

cos2 x 1

2

2

]的取值范围.

…….2分

＝3sin2 x cos2 x 1 ……3分

＝2sin(2 x

T

2

6

) 1 5分

……..6分 2

1 7分

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

(2) 0 x

2

7 6

612

2x

6

9分

sin(2x

6

) 1 ……..10分

0 2sin(2x

6

) 3 ………12分

函数的取值范围是[0,3]

3、（2011东城二模理15）（本小题共13分）

已知sin(A

π4)

10

，A (

ππ

,)． 42

（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求函数f(x) cos2x

解：（Ⅰ）因为

π4π2 A

π2π452

sinAsinx的值域．

，且sin(A

3π4

π4

) π4

10)

，

10π4

所以 A

，cos(A

π4

π4

π4

π4

π4

因为cosA cos[(A

10

) ] cos(A )cos sin(A )sin

35

2

10

2

35

．

所以cosA ． ……………………6分

4552

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA ．

所以f(x) cos2x

2

sinAsinx

x 1 2sin2xs in)

2

2(sinx

12

32

，x R．

12

32

因为sinx [ 1,1]，所以，当sinx 时，f(x)取最大值；

当sinx 1时，f(x)取最小值 3．

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

所以函数f(x)的值域为[ 3,]．

2

3

4、（2011海淀二模理15）（本小题共13分）

已知函数

f(x) cos x 23

)的值；

2

xcos x( 0)的最小正周期为 .

（Ⅰ）求f(

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.

12

2

解：（Ⅰ）

f(x) 分

12

(1 cos2 x) 2 x ………………………2

sin(2 x

6

), …………………………3

分

因为f(x)最小正周期为π,所以分

所以f(x) sin(2x 分 所f(2π3)

12

π6)

12

2π2ω

π，解得ω 1, …………………………4

, ………………………… 5

以

. …………………………6分

（Ⅱ）分别由2k

2

2x

6

2k

2

,(k Z)，

2k

2

2x

6

2k

3 2

,(k Z)

可得k 分

3

x k

6

,(k Z)，k

6

x k

2 3

,(k Z).………………8

所以,函数f(x)的单调增区间为[k

3

,k

6

],(k Z)；

f(x)的单调减区间为

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

[k

6

,k

π6

2 3

],(k Z). ………………………10分

k2

π6

由2x

kπ

π2

得x ,(k Z）

k

π

,(k Z).

所以，f(x)图象的对称轴方程为x

2

π

π6

(k Z)

4、（2011顺义二模理15）. （本小题满分13分） 已知函数f(x) 2 sin 2x

2sin

6

2

x，x R

(1) 求函数f(x)的最小正周期；

（2）记 ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c，若f(值。

解（1）f(x) 2 sin(2x

6) 2sin

2

B2

) 1,b 1,c 3，求a的

x

2xco cos2xsi) (1 cos2x) 2 (sin

6

6

1 cos2x (

32

sin2x

12

cos2x)

12

cos2x

32

sin2x 1

(x cos2

3

) 1 …………………………………………………………5分

所以函数f(x)的最小正周期为 。 ………………………………………………… 6分 （2）由f(

B2

) 1得cos(B

3

) 1 1,即cos(B B

3

) 0

又因为0 B ,所以 所以B

3

3

3

43

2

,即B

3

6

. ………………………………………………………….9分

因为b 1,c

所以由正弦定理 故C

3或23

bsinB

csinC

,得sinC

32

……………………………………………………………….11分

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

当C 当C

33

时，A

2

，从而a ，又B

b c

22

2

2

时，A

6

6

，从而a b 1

故a的值为1或2. …………………………………………………………….13分 5、（2011西城二模理15）.（本小题满分13分）

已知函数f(x)

cos2xsin(x

4

.

)

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）若f(x)

解：（Ⅰ）由题意，sin(x

所以x

4

4

) 0， ………………2分

43

x的值. ，求sin2

k (k Z)， ………………3分 4

(k Z)， ………………4分

4

,k Z}. ………………5分

所以x k

函数f(x)的定义域为{xx k （Ⅱ）f(x)

cos2xsin(x

4)

sinxcos

cos2x 4

cosxsin

4

………………7分

2xsinx cosx

2

………………8分

x sinx)sinx cosx43

2

x sinx). ………………10分

因为f(x) ，所

以cosx sinx

2

3

. ………………11分

所以，sin2x 1 (cosx sinx) ………………12分

1

89 19

.

6、（2011昌平二模文15）（本小题满分13分） 已知函数f(x)

3sin2x 2cos

2

x .

（I） 求f();

3

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

（II）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间 解：（I）依题意f(x)

3sin2x 2

cos2x 1

2

………2 分

＝3sin2x cos2x 1 …….3分

＝2sin(2x

f(

6

) 1 5分

3

)=2sin(

2 3

6

) 1 2 ……7分

（II）设函数f(x)的最小正周期为T＝ 9分

当 2k

2 2x

6

2k

2

(k Z)时，函数单调递增

故解得 k

3

x k

6

(k Z)

函数的单调递增区间为[k

3

,k

6

](k Z)

7、（2011朝阳二模文15）（本小题满分13分）

已知函数f(x) 2sinxcosx 2sin2x 1. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及值域； （Ⅱ）求f(x)的单调递增区间. 解：

（Ⅰ）f(x) sin2x cos2x

x

)……………………………4分

4，

则函数f(x)的最小正周期是 . ……………………………………………6分 函数f(x

)的值域是 . ………………………………………8分

（Ⅱ）依题意得2k

则k

3 8

2

≤2x

4

≤2k

2

k Z . …………………………10分

≤x≤k

8

k Z . ………………………………………12分

38 , k

k Z 8

即f(x)的单调递增区间是 k

8、（2011丰台二模文15）（本小题共13分）

已知函数f(x) sinx

2

xcosx

12

．

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

（Ⅰ）求f(

12

)的值；

]，求函数y f(x)的最小值及取得最小值时的x值．

（Ⅱ）若x [0,

2

三角函数部分虽然已经考过几次，但二次函数型仍然没有考过，请老师们在复练时一定要练习到。

解：

（Ⅰ）∵f(x) sin2x

sin(2x

xcosx

12

2

2x

12

cos2x

6

)， ……

…………5分

∴f(

…………7分

（Ⅱ）∵0 x

∴

…………9分

∴

12

12

sin(2x

12

) sin( 2

12

6

) sin(

3

)

2

． ……

2

∴0 2x ．

6 5 6

6

2x ． ……

6

) 1， 即

f(x) 1． ………………11分

∴

f(x)min

12

此时2x

6

6

∴x 0． ………………12分

∴当

f(x)m

12

x 0时，

． i n ………………13分

9、（2011海淀二模文15）（本小题共13分） 已知函数f(x) sinxcosx sinx. （Ⅰ）求f(

4)

2

的值；

2

（II）若x [0,]，求f(x)的最大值及相应的x值. 解：（Ⅰ） f(x) sinxcosx sinx，

f(

2

4

) sin

4

cos

4

sin

2

4

…………………1分

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

2

（

2

2

…………………4分

2

1 . …………………6分

（Ⅱ）f(x) sinxcosx sin2x

12

12sin2x

12

1 cos2x

2

…………………8分

(sin2x cos2x)

22

sin(2x

4

)

12

， …………………9分

4

由x [0,

2

] 得2x [

3

438,4

] ， …………………11分

2x

4

2，即

x

2 1

所以，当

时，f(x)取到最大值为

2

.

10、（2011顺义二模文15）（本小题满分13分） 已知函数f(x) 2sinxcosx

(2) 求函数f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间上的最小值及f(x)取最小值时x的值

.解（1）f(x) 2sinxcosx sin2x

1

3cos2x

3cos2x，x R

3cos2x

2(sin2x

2

(x 2sin2

32

cos2x)

3

) …………………………………………………………5分

所以

6

f(x)的最小正周期为 。 ………………………………………………… 6分 x 2x

（2）由

2

得0 2x

43

3

4 3

, ………………………………………………………….9分

2

所以

3

时，即x 时，函数f(x)取得最小值，且最小值为

2

3

f(x)在区间

上的最小值为 62

3，此时x .

【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析

……………………………………………………….13分

11、（2011西城二模文15）（本小题满分13分）

x

)

1.

已知函数f(x)

sinx

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；

x的值. （Ⅱ）若f(x) 2，求sin2解：解：（Ⅰ）由题意，sinx 0， ……………2分

所以，x k (k Z). ……………3分 函数f(x)的定义域为{xx k ,k Z}. ……………4分 （Ⅱ）因为f(x)

2x

2

213

4)

13

2sinx， ……………5分

x cosx)

13

2sinx， ……………7分

cosx sinx ， ……………9分

19

将上式平方，得1 sin2x 所以sin2x

89

， ……………12分

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fmoe.html