量子力学主要知识点复习资料
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大学物理量子力学主要知识点归纳复习
大学量子力学主要知识点复习资料,填空及问答部分
1能量量子化
辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子,这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态,在这些状态下,谐振子的能量不能取任意值,只能是某一最小能量 的整数倍 ,2 ,3 ,4 , ,n 对频率为 的谐振子, 最小能量 为: hν
2.波粒二象性
波粒二象性(wave-particle duality)是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中,研究对象总是被明确区分为两类:波和粒子。前者的典型例子是光,后者则组成了我们常说的“物质”。1905年,爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释,人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年,德布罗意提出“物质波”假说,认为和光一样,一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说,电子也会具有干涉和衍射等波动现象,这被后来的电子衍射试验所证实。
2
德布罗意公式E mc hν p mv
h
3.波函数及其物理意义
在量子力学中,引入一个物理量:波函数 ,来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程
22
i (r,t) [ V(r)] (r,t) 0 t2m
粒子的波动性可以用波函数来表示,中,振幅
表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以,
其应
该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发,可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数 k Aexp[(p r Et)]
i
波函数的性质:可积性,归一化,单值性,连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义
)常数因子不确定性设C是一个常数,则 ( x , y , z )和 c ( x , y , z对粒子在点(x,y,z)
附件出现概率的描述是相同的。
(x,z相位不定性如果常数 C e i ,则 , y ) 和 e i ( x , y , z ) 对粒子在点(x,y,z)附
件出现概率的描述是相同的。
2,z | ( x , y ) | 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。
| ( x , y , z ) |2 x y z 表示点(x,y,z)处的体积元 y z 中找到粒子的概x
率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1
2
必然有以下归一化条件 | (x,y,z)|dxdydz 1
5. 力学量的平均值
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x , y , z ) 附件的概率,既然 | ( r ) | ( x , y , z ) |2 表示 粒子出现在点 r ( 那么粒子|2
坐标的平均值,例如x的平均值x,由概率论,有 又如,势能V是 r的函数:V(r),其平均值由概率论, 可表示为
__
23
| (r)|xdr *(r)x (r)d3r,
dr dxdydz
3
3* 再如,动量 的平均值为: (p)p (p)dp,
3* 为什么不能写成 (r)p(r) (r)dr
*(r)V(r) (r)d3r *(r)V(r) (r)d3r
因为x完全确定时p完全不确定,x点处的动量没有意义。
能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值? 可以,但需要表示为p
__
*3 (r)p (r)dr
其中 p i 为动量 p 的算符
6.算符
量子力学中的算符表示对波函数(量子态)的一种运算
i 如动量算符p
能量算符E i
E
t
*3 (r)T (r)dr
2
动能算符T 2 动能平均值
2m
角动量平均值 角动量算符l r p
3
(r)l (r)dr
*
22
i (r,t) [ V(r,t)] (r,t)
薛定谔方程
t2m
2 ,被称为哈密顿算符, 算符 H 2 V ( r)2m7.定态
数学中,形如 Af af 的方程,称为本征方程。其中 2
f 本征函数,a 本征值方程 2 A 算符, 称为能量本征方
[ V(r)] E(r) E E(r) H E(r) E (r)E
程, 2 m
E(r)被称为能量本征函数, E被称为能量本征值。 当E为确定值, (r,t)= E(r)exp( 于定态下的粒子有以下特征:
i
Et)拨函数所描述的状态称为定态,处
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粒子的空间概率密度不随时间改变,任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变,他们的测值概率分布也不随时间改变。 8.量子态叠加原理
但一般情况下,粒子并不只是完全处于其中的某一本征态,而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说,粒子的状态是所有这些分立状态的叠加,即
(x)
cn n(x) n
,
|cn|2表示在态 (x)中发现粒子处于态 n(x),具有能量En的概率
9. 宇称
若势函数V(x)=V(-x),若 (x)是能量本征方程对于能量本征值E的解,则 ( x)也是能量本征方程对于能量本征值E的解
定义空间反演算符P为:P (x) ( x)
如果P (x) ( x) (x)
或P (x) ( x) (x), 称 (x)具有确定的偶宇称或奇宇称,如 偶宇称 Pcos(x) cos( x) cos(x)
奇宇称 Psin(x) sin( x) sin(x)
注意:一般的函数没有确定的宇称
设 (x)是能量本征方程对应于能量本征值E
的解,如果V(x) V( x),若 (x)无简并,则 (x)具有确定的宇称。
10.束缚态
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 11. 一维谐振子的能量本征值 E E (n 1/2) ,n 0,1,2, .12. 隧穿效应
量子隧穿效应为一种量子特性,是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学,微观粒子具有波的性质,而有不为零的概率穿过位势障壁。 又称隧穿效应,势垒贯穿。按照经典理论,总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点,无论粒子能量是否高于势垒,都不能肯定粒子是否能越过势垒,只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应,只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应,即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration),好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应,其隧道效应就较突出。 13. 算符对易式
一般说来,算符之积不满足交换律,即 A B B A ,由此导致量子力学中的一个基
本问题:对易关系
n
,设 ] A B A和B[A,BBA
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,B ] 0对易式 ,通常 [A
坐标对易关系
i ,
[ , p , x,y,z ] i
0,
角动量的对易式
[lx,x] 0,[lx,y] i z,[lx,z] i y, [ly,x] i z,[ly,y] 0,[ly,z] i x, [lz,x] i y,[lz,y] i x,[ly,z] 0,
[l x] 0,[l y] i p z,[l z] i p y,x,px,px,p [l x] i p z,[l y] 0,[l z] i p x,y,py,py,p [l x] i p y,[l y] i p x,[l z] 0,z,pz,py,p
[lx,lx] 0,[ly,ly] 0,[lz,lz] 0, [lx,ly] i lz,[ly,lz] i lx,[lz,lx] i ly
2 l 2 l 2 l 2,有 令lxyz
2
[l ,l x] 0,[l 2,l y] 0,[l 2,l z] 0
14.厄密算符平均值的性质
~*~*
。 A,则A的共轭转置算符A称为A的厄密共轭算符,记为A,即A=A先转置,再共
轭。
~
d A * d A
*
体系的任何状态下,其厄密算符的平均值必为实数,在任何状态下平均值为实的算符必为厄
米算符,实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 15. 量子力学关于算符的基本假设
1、微观粒子的状态由波函数 ( r , t ) 描写。
2、波函数的模方 | ( r , t ) |2 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。
4、波函数的运动满足薛定格方程
22 (ri (r,t) ( V) (r,t) H,t), t2m 2
H
2m
2 V(r,t) 哈密顿算符
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16. 算符的本征方程,本征值与本征函数
数学中,形如 Af af 的方程,称为本征方程。其中
算符,f 本征函数,a 本征值A 的 和不止一组,满足A
A 可能有n组,因此Annn
的 此式称为A的本征方程,An称为A
的一个本征态。一个本征值, n称为A
n和An是算符A的本征态与本征值,如果 An,都是不简并的,则 n能构成一组正交归一完备态矢,系统的任何状态 均可展开如下:
(x)
an n,其中,an n
*3
drn
17. 不确定度关系的严格表达
18. 两个算符有共同本征态的条件
,B ] 0 两个算符对易,即[A
19. 力学量完全集
若算符的本征值是简并的,仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态,必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如,仅由
系状态,必再加上
的本征值不能确定体
的本征值才能确定体系状态。这样,为了完全确定一个体系的状态,
我们定义力学量完全集。
定义:如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符
征函数集,记为
,
,它们只有一组共同完备本
可以表示一组量子数,给定一组量子数后,就完全确定了体系
为体系的一组力学量完全集。
的一个可能状态,则称
20. 力学量完全集共同本征态的性质
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若能级简并
21. 守恒量
对于Hamilton量H不含时的量子体系,如果力学量A与H对易,则无论体系处于什么状态(定态或非定态),A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变,所以把A称为量子体系的一个守恒量。
22.狄拉克符号,内积及其表示形式,算符向左作用
把希尔伯特空间一分为二,互为对偶的空间,就是狄拉克符号的优点。用右矢|α>表示态矢,左矢<α|表示其共厄矢量,<α|β>是内积,<α|α>大于等于0,称为模方。|β><α|是外积。
| 右矢 代表量子态 ; | 左矢 量子态 的共轭态 *
2,l ) 若 k是力学量完全集 F的本征态,则| k |k ,如球谐函数Ylm是(lz的共同本征函数,|Ylm |lm
采用狄拉克符号表示量子态是,都只是一个抽象的态矢,未涉及任何具体的表象。
|
k k
k| I或 Pk I,Pk |k k|为投影算符
k
算符向左作用
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23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数
2和l 的共同本征函数为这样,lz
Ylm( , ) ( 1)
m
2l 1(l m)!mim
Pl(cos )e
4 (l m)!
其中m l,l 1, , l 1, l,l 0,1,2,
Ylm称为球谐函数,它们满足
2Y l(l 1) 2Y llmlm lzYlm m Ylmm l,l 1, , l 1, l,
注意量纲
l 0,1,2,
注意,推导过程计算题有可能要考 24. 氢原子的能量本征值与能级简并度
E En
e41e21 22 ,
2an22 n
n 1,2,3, ,
氢原子的能级是n2简并的
25. 正常Zeeman效应
原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应;历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象,后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况,因此称前者为正常或简单塞曼效应,后者为反常或复杂塞曼效应。 26. 电子自旋
电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称
自旋不是机械的自转
27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验
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Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验,是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩-革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发,通过狭缝形成细束, 经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域(磁场垂直于束方向),最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑,表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。
实验上高温炉中的Ag原子处于高压,从高温炉中出来之后迅速冷却,处于基态,磁量子数为零,似乎不该偏转,因此原子除了轨道磁矩外,还有其他磁矩,即自旋磁矩。 28碱金属原子光谱双线结构
对钠原子,3p 3s的跃迁产生一条黄线 589.3nm,用高分辨率的光谱仪进行观测,发现它实际上是由两条谱线构成: 1 589.6nm, 2 589.0nm。与Zeeman效应不同,此现象并非外界因素作用的结果,而是原子的故有特性。其根源正是电子的自旋。
29. 量子跃迁与选择定则
在外电场的激发下,谐振子从基态|0 只能跃迁到第一激发态|1 。
q2 2P10( ) 2e
2
Pn0( ) 0,n 1
22
0,
以上结果表明,0 1可以发生,
0 2,0 3, ,0 n不能发生,表明允许谐振子 n 1的跃迁发生,这称为跃迁的选择定则。
即谐振子只能跃迁到相邻能级 30.禁戒跃迁
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已知
Ck k(t) k k
1 i
t
i kkt
kdteHk
(12)
令Pk k(t) |Ck k(t)|2,则Pk k(t)代表系统从初态k跃迁到末态k 的概率。当k k时,有
1
kdt|2Pk k(t) 2| ei k ktHk
0
表明从k到k 的跃迁是不可能的,或者说,从k
到k 的跃迁是禁戒的。
t
(13)
k 0, Pk k 0,若存在这样的末态k ,使得Hk
在外电场的激发下,谐振子从基态|0 不
能跃迁到激发态|n ,其中n 1。或者说,
0 2,0 3, ,0 n的跃迁为禁戒跃迁。
31. 微扰论的思想
解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系,如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级,又对于它精确求解薛定谔方程有困难,但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解;再从简化问题的精确解出发,把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去,从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。 32.突发微扰与绝热微扰
当外界的微扰十分缓慢地作用到系统上时,不会改变系统的状态,这样的微扰叫做绝热微扰。
当外界的微扰十分突然地作用到系统上时,也不会改变系统的状态,这样的微扰叫做突发微扰。
33. 能量与时间不确定度
t E h被称为时间-能量的不确定度关系,可以证明此式的一般形式为:
2
此式反映了一个力学量变化快慢的周期 t,同系统能量的不确定度 E不能同时为零。
E t
34. 能级宽度与谱线宽度
由于能量不确定性 Ek t 2
所以,所有的能级都有一个宽度,这叫能级的展宽。
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(0)(0)
既然能级有展宽,即Ek Ek Ek,Ek 1 EkEk跃迁到Ek 1时, 1 Ek 1,所以,当电子从(0)(0)发出的谱线,就不止 0 (Ek Ek频率范围 .谱线的频率应 1)/h一个频率,而是有一个
该是 0 ,其中, ( Ek Ek 1)/h这叫谱线的展宽, 称为谱线宽度。
35. 半经典理论
36吸收,受激辐射,自发辐射
后记:本复习资料整理依据是往年的量子力学总结PPT,但是那个PPT只给了考点范围,没有给概念解释,所以我查阅了PPT,教材,百度,谷歌,维基之后加上个人理解整理而得,制作粗糙,请见谅。
本复习资料只能应付填空和问答题,我很确认计算题和证明题范围超出此资料,但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。
本人不保留版权,欢迎各位学霸对此资料进修正。
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