自控理论 5-1根轨迹的基本概念 5-2绘制根轨迹的基本规则

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第五章 根 轨 迹 法反馈控制系统的全部性质, 反馈控制系统的全部性质,取决于系统的闭 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是s 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是 的低 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统， 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统，用 解析法求闭环极点是比较困难的。 解析法求闭环极点是比较困难的。 1948年 W.R.Evans提出了 1948年，W.R.Evans提出了直接由开环传递函 提出了直接由开环传递函 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。利 用这一方法可以分析系统的性能， 用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应有 的结构和参数。 的结构和参数。 根轨迹法的基础是系统的传递函数， 根轨迹法的基础是系统的传递函数，这一 方法仅使用于线性系统。 方法仅使用于线性系统。

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§5-1 根轨迹的基本概念一.根轨迹(The Root Locus) 根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 图5-1为单位反馈的二阶系统 为单位反馈的二阶系统K G( s) = s(0.5 s + 1)

K1 2K = = s (s + 2 ) s(s + 2 )

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K G( s) = s(0.5 s + 1)

K1 2K = = s (s + 2 ) s(s + 2 )

K1 = (s p1 )(s p2 )

根轨迹增益： 两个开环极点 : p1 = 0, p2 = 2; 根轨迹增益： K 1 = 2 KK1 C ( s) Φ( s ) = = 2 R( s ) s + 2 s + K 1

D( s ) = s 2 + 2 s + K 1 = 0

特征根

s 1, 2 = 1 ± 1 K 1

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D( s ) = s 2 + 2 s + K 1 = 0

特征根 : s1, 2 = 1 ± 1 K 1

K1 s ( s + 2)

K1=0时， s1=0, s2= -2; 时 0<K1<1 时，两个负实根； < 两个负实根； K1=1 时，s1= s2= -1,重根 ， 1<K1<∞时，s1,2=-1±j√K1 -1 < 时 - ±注意：一组根对应于同一个 注意：一组根对应于同一个k1; k1一变，一组根变； 一变，一组根变； k1一停，一组根停； 一停，一组根停；

K1: 0 ~ ∞开环极点 : p1 = 0, p2 = 2;jω ω σ -2 -1 -1 0

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特征根

s1, 2 = 1 ± 1 K 1

K1与特征根的关系： 与特征根的关系：K 1 = 0时， s1 = 0,s 2 = 2

K 1 = 1时， s1 = 1,s 2 = 1K 1 = 2时，s1 = 1 + j,s 2 = 1 jK 1 = ∞时， s1 = 1 + j∞,s 2 = 1 j∞

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分析： 图5-2分析： 分析 (1) 稳定性 0<K1<∞时, 系统恒稳定。 系统恒稳定。 (2) 稳态性能 型系统， 属Ⅰ型系统，r(t)=1时, ess=0, 时 ， 可以从根轨迹上对应的K 而Kv可以从根轨迹上对应的 1值求 得。 (3) 动态性能 当0<K1≤1时，闭环特征根为负实根，阶跃 时 闭环特征根为负实根， 响应为非周期过程； 响应为非周期过程； 当K1>1时，为共轭复根，系统呈欠阻尼

状 时 为共轭复根， 阶跃响应为衰减振荡过程。 态，阶跃响应为衰减振荡过程。

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K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 本例系统的根轨迹是通过解析求解特征方 程的根做出的， 程的根做出的 ， 这对于高阶系统一般是难以实 现的。 现的 。 W.R.Evans研究了系统的闭环特征方程 研究了系统的闭环特征方程 与开环传递函数之间的关系， 指出， 与开环传递函数之间的关系 ， 指出 ， 通过系统 的根轨迹方程， 由系统开环零极点的分布可以 的根轨迹方程 ， 按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹。 按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹 。

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二、根轨迹方程 设系统方框图如图5-3所示， 设系统方框图如图 所示， 所示 其闭环传递函数为C ( s) G( s) Φ( s ) = = R( s ) 1 ± G ( s ) H ( s )m

R(s) ±

G(s) H(s)

C(s)

(5 4)

图5-3 反馈控制系统

式中开环传递函数G(s)H(s)可化为如下形式 可化为如下形式 式中开环传递函数G( s) H ( s) = K1 ∏ (s z j )j =1

∏ (s p )i =1 i

n

( 5 5)

式中, 为系统的开环根轨迹增益: 式中 K1为系统的开环根轨迹增益 zj (j=1,2 …,m) 为系统的开环零点； 为开环极点。 为系统的开环零点；pi (i=1,2…,n)为开环极点。 为开环极点

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系统闭环特征方程 根轨迹方程

D(s)=1±G(s)H(s)=0 (s)H

G ( s ) H ( s ) = m1K1∏ (s z j )j =1 m

或

∏ (s p )i =1 i

n

= m1

(5 7 )

式中“ 中的负反馈极性； 式中“-”号对应于图5-3中的负反馈极性； 号对应于图 中的负反馈极性 “+”号对应于图5-3中的正反馈极性。 号对应于图 中的正反馈极性。 中的正反馈极性 因为G(s)H(s)为复数 为复数， 因为G(s)H(s)为复数，根据等式两边的幅值 和相角应分别相等的条件，可将式( ) 和相角应分别相等的条件，可将式(5-7)改写 成两个方程， 成两个方程，这样就得到了绘制根轨迹方程的两 个基本条件， 个基本条件，即

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根轨迹的幅值条件K1 ∏ s z jj =1 m

∏ s pi =1

n

=1

或

K1 =

∏ s p ∏ s zj =1 i =1 m

n

i

(5 8)

i

j

负反馈系统根轨迹的相角条件

∑ ∠( s z ) ∑ ∠( s p ) = ± (2q + 1)πj =1 j i =1 i

m

n

( 5 9)

正反馈系统根轨迹的相角条件

∑ ∠( s zj =1

m

j

) ∑ ∠ ( s p i ) = ± ( 2 q )πi =1

n

( 5 10 )

式中 , q = 0 , 1, 2 , L ( 全部为正整数 )。

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K1 =m n

∏ s p ∏ s zj =1 i =1 m

n

i

(5 8)

j

∑ ∠( s z ) ∑ ∠( s p ) = ± (2q + 1)πj =1m

j

i =1

i

( 5 9)( 5 10 )

∑ ∠( s zj =1

j

) ∑ ∠ ( s p i ) = ± ( 2 q )πi =1

n

满足式( )的根轨迹，称为180°根轨迹； 根轨迹； 满足式(5-9)的

根轨迹，称为 满足式( 满足式(5-10)的根轨迹，则称为 °根轨迹。 )的根轨迹，则称为0 根轨迹。 相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条 绘制根轨迹只要满足相角条件就可以， 件，绘制根轨迹只要满足相角条件就可以，而幅 值条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹 增益K 增益 1值。

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例5-1 单位负反馈系统的开环传递函数为

K 1 ( s + 4) G( s) = s( s + 2)( s + 6.6)

在s平面上取一试验点 s1= -1.5 + j 2.5, 试检验它是否为根轨迹上的点；如果是， 试检验它是否为根轨迹上的点；如果是， 则确定与它相对应的K 值是多少。 则确定与它相对应的K1值是多少。

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K 1 ( s + 4) K 1 ( s z1 ) G( s) = = s( s + 2)( s + 6.6) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )

解：开环极点为： p1 = 0, p2 = -2, p3 = -6.6 ; 开环极点为： 开环零点为： 开环零点为： z1= -4, s1= -1.5+ j2.5

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K 1 ( s + 4) K 1 ( s z1 ) = G( s) = s( s + 2)( s + 6.6) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )

根据相角条件∠( s1 z 1 ) ∠( s1 p1 ) ∠( s1 p 2 ) ∠( s1 p 3 ) = 45 0 120 0 79 0 26 0 = 180 0

可知s 确实是根轨迹上的一点。 可知s1确实是根轨迹上的一点。 根据幅值条件s1 p1 s1 p2 s1 p3 K1 = s1 z1 2.9 × 2.6 × 5.8 = = 12.15 3.6

与s1点对应的K1值为12.15 点对应的K 值为12.15

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§5-2 绘制根轨迹的基本规则绘制180 绘制1800根轨迹的规则规则1: 规则1: 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹对称于实轴, 根轨迹对称于实轴 分支数 = n 规则2: 规则2: 根轨迹的起点和终点 起始于开环极点,其中 其中m条终止于开环有限零 起始于开环极点 其中 条终止于开环有限零 点, n-m 条终止于无穷远处的零点。 条终止于无穷远处的零点。 规则3 规则3:实轴上的根轨迹 在实轴上根轨迹区段的右侧, 在实轴上根轨迹区段的右侧 开环实零点和实 极点数目之和为奇数。 极点数目之和为奇数。

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规则4 规则4: 根轨迹的渐近线 (1) n-m条渐近线与实轴的夹角为: 渐近线与实轴的夹角为( 2q + 1)π a = n m (q = 0, 1, L n m 1)

∑ p ∑z(2)渐近线与实轴的交点为: σ a = 渐近线与实轴的交点 渐近线与实轴的交点为i =1 i j =1

n

m

j

n m

规则5 根轨迹的分离点、 规则5: 根轨迹的分离点、汇合点 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称 几条根轨迹在 平面上相遇后又分开的点称 为根轨迹的分离点。特别地又把根轨迹同时离开 为根轨迹的分离点。 分离点 实轴的那一点叫分离点， 实轴的那一点叫分离点，同时回到实轴的那一点 汇合点。 叫汇合点。

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分离点(汇合点) 分离点(汇合点)的坐标可由下列方法确定 方法一 : 极值法 分离点是根轨迹增益的极值点， 分

离点是根轨迹增益的极值点，分离点满 足方程 dK 1 (5 13) =0 ds 方法二: 方法二 试探法 设分离点的坐标为d 设分离点的坐标为d ,则d 满足如下关系n 1 1 ∑d z =∑d p j =1 i =1 j i m

( 5 14)

式中z 为系统的有限开环零点和开环极点。 式中 j、pi为系统的有限开环零点和开环极点。1 若无有限开环零点， 若无有限开环零点，应 在式 ( 5 14)中取 ∑ =0 j =1 d z jm

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实轴上两开环极点间有根轨迹，则必定存在分 实轴上两开环极点间有根轨迹， 实轴上两开环极点间有根轨迹 离点。 离点。 实轴上两开环零点间有根轨迹，则必定存在汇 实轴上两开环零点间有根轨迹， 实轴上两开环零点间有根轨迹 合点。 合点。 jω ωω 汇合点 σ 分离点

分离(汇合 点上 分离 汇合)点上 根轨迹的切线与正实轴间的夹角 汇合 点上,根轨迹的切线与正实轴间的夹角

( 2q + 1)π (5 15) 分离角 : θ d= r 式中r为分离点处根轨迹的分 支数, (q = 0,1L r 1)

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规则6 规则6: 根轨迹的出射角和入射角θ pk m n = π + ∑ ∠ pk z j ∑ ∠( pk pi ) j =1 i =1 i≠k

出射角

(

)

入射角

m n θzk = π ∑ ∠ zk z j ∑ ∠(zk pi ) j =1 i =1 j≠k

(

)

规则7 规则7: 根轨迹与虚轴的交点 两法: 用劳斯判据求解; 两法 ①用劳斯判据求解 带入特征方程求解。 ②将 s=jω 带入特征方程求解。

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例5-3 已知开环传递函数K1 试绘制其根轨迹图。 试绘制其根轨迹图。 G( s)H ( s) = s( s + 1)( s + 2)

解 1. 起点 p1=0, p2= -1, p3= -2, n=3 终点 趋于无穷远处零点 m=0 2. 实轴上 [-1, 0], (-∞, -2] 之间为根轨迹段 (3. 渐近线 n - m = 3 条 倾角 a =σa =( 2q + 1)π = ±60o ,180o 3 (q = 0, 1, 2)

∑ p ∑z交点i =1 i j =1

n

m

j

n m

( 0 1 2) 0 = = 1 3

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K1 =0 4. 分离点 1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + s( s + 1)( s + 2)dK 1 K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) 令 = ( 3 s 2 + 6 s + 2) = 0 ds3 2

解得 s1= -0.423(分离点) 423(分离点)

s2= -1.58 (略去) 略去)

分离点处对应的K1值应为正实数。 分离点处对应的 值应为正实数。

K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) s1 = 0.42 = 0.3853 2

K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) s2 = 1.58 = 0.387 (略去) 略去)3 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fmi1.html