5.刚体力学基础习题思考题

习题

5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图

22mg?T2?2ma （1）

T1?mg?ma （2） (T2?T1)r?J? （3）

(T?T1)r?J? （4）

a?r? (5)

联立 a?

5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 设杆的线??111g， T?mg 48m，在杆上取一小质元ldm??dx

df??dmg???gdx

dM???gxdx 考虑对称

1M?2???gxdx??mgl

4（2） 根据转动定律M?J??J

l20d? dt?t0?Mdt??Jd?

w00 ?11?mglt??ml2?0 412 所以 t??0l 3?g

5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

2mg?T?ma?mdv dtTR?J? dv?R? dt1dvM)?mg 2dtvtmmgt ?dv?? gdt v?001Mm?Mm?22整理 (m?

5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J?MR/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？

解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，系统对轴的角动量

2L?

MMvR?M(u?v)R?(R2)?44

3?MvR?MuR2dL dt3d3MgR?(MvR?MuR) 4dt2du33dv3?0 MgR?MR?MRa dt42dt2g所以 a?

2根据角动量定理 M?

5-5. 计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。

证明：设球的半径为R，总重量为m，体密度??3m， 34?R将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘， 则盘的体积为

?(R2?Z2)2dZ

21R8?222J????(R?Z)dZ??R5?mR2

2?R155

5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k?40N/m，当??0?时弹簧无形变，细棒的质量

m?5.0kg，求在??0?的位置上细棒至少应具有多大的角速度

?，才能转动到水平位置？

解：机械能守恒 mg111?J?2?kx2 222?1 根据几何关系 (x?0.5)2?1.52?12 ??3.28rad?s 5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴

在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程

机械能守恒

mgR?11J?2 J?mR2?mR2 22??4g vc?R??3R4Rg 3vA?2R??16Rg 3 Fy?mg?m?R2?73 g 方向向上 m5-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和

2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O

12距两端分别为l和l．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量

33为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以

1v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 2解：根据角动量守衡 有

22ll21mv0l?()2m??()2?2m??ml?v0 33332 ??3v0 2l5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2122 解（1）角动量守恒 mvR?MR??mR?

22mv ??

(2m?M)RRM22πrdr??MgR （2）M??dM???dmgr???gr0?R232?M?2m?21?MgR??t?(MR2?mR2)??0，??t?R? 324?Mg由（1）已得：??2mv3mv，代入即得?t?

2?Mg?M?2m?R

5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O点的转动惯量J? 碰撞时角动量守恒

1m1l2) 31m2v1l?m1l2??m2v2l

3??3m2(v1?v2)

m1l细棒运动起来所受到的摩擦力矩

M???0lm11gxdx??m1gl l2?M?Jd? dt12mld?1t3 ?0dt??1?m1gl2t?

2l?2m2(v1?v2) ?3?g?m1g5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为

25kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若

绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 （1）机械能守恒。 设下落最大距离为h

12kh?mgh 2 h?2mg?0.49m k121122（2）kx?mv?J??mgx

222??2?2mgx?kx?

v??J?m?2???r?dv?0 若速度达最大值，dx

12x?

mg?0.245(m) k1212????22?2?5?9.8?0.245?200?0.245?2mgx?kx?v??????1.31m/s ?J?0.01m?2?5?????r?(7?10?2)2??

5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的

角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？

解：（1）通电时根据转动定律有 M?Mr?J M?Pd? dt? Mr?k?

t?J?d? 代入两边积分 ?dt??00P?k?2

???tP(1?eJ) k2k（2）电扇稳定转动时的转速 （3） ?k??J??m?P kd? d???0?0kd???d?

?mJ

??JkP k5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？

解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒

1112J?0?J?2?mv2 v?R? 2221v?R?0

3T??mg?ma

?TR?J? T?

5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？

解：此过程角动量守恒 0?mrv?J?

?mg3 a?R?

??mRv J5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A边所受的支反力。 解：（1）角动量守恒 mv0根据转动定律 mg3vl22?ml? ??0 234ll223g?ml? ?? 234l（2）Nx?macx?macncos450?mactcos450

思考题

5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 (m1

m1g?T1?m1a （1）

T2?m2g?m2a （2） 插入图5-29 (T1?T2)r?J? （3）

a?r? (4)

联立方程可得 T1、T2。 T2?T1

5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度?怎样变化？

答：增大

5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒. 答：（C）

5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。

以Ⅰ为轴转动惯量 J?9ma 以Ⅱ为轴转动惯量 J?3ma 以Ⅲ为轴转动惯量 J?7.5ma

5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为?0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大

222圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J1?0?J2? ??J1?0J

25-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。

圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。

试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J1?0?J2? ??J1?0J

25-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x?d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。

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