（全国通用版）2019年中考数学复习第六单元圆第23讲与圆相关的位

第23讲 与圆相关的位置关系

重难点 切线的性质与判定

(2018·郴州T23，8分)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.

(1)求证：直线AD是⊙O的切线；

(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

【思路点拨】 (1)先求出∠ABC＝30°，进而求出∠BAD＝120°，再由OA＝OB即可求出∠OAB＝30°，结论得证；(2)先求出∠AOC＝60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．

解：(1)∵∠AEC＝30°， ∴∠ABC＝30°. ∵AB＝AD，

∴∠D＝∠ABC＝30°.

根据三角形的内角和定理，得∠BAD＝120°.2分 连接OA. ∵OA＝OB.

∴∠OAB＝∠ABC＝30°.

∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°. ∴OA⊥AD.

∵点A在⊙O上，

∴直线AD是⊙O的切线.4分 (2)∵∠AEC＝30°， ∴∠AOC＝60°. ∵BC⊥AE于点M，

∴AE＝2AM，∠OMA＝90°.6分

在Rt△AOM中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝23. ∴AE＝2AM＝43.8分

(2018·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.

(1)求证：AB为⊙O的切线；

4

(2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

3

【思路点拨】 (1)作OE⊥AB，先由∠AOD＝∠BAD求得∠ABD＝∠OAD，再由∠BCO＝∠D＝90°及∠BOC＝∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE＝OC，依据切线的判定可得；(2)先求得∠EOA＝∠ABC，在

Rt△ABC中求得AC＝8，AB＝10，由切线长定理知BE＝BC＝6，AE＝4，OE＝3，继而得BO＝35，再证△ABD∽△OBC

得

OCOB

＝，据此可得答案． ADAB

1

【自主解答】 解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E， ∵AD⊥BO于点D， ∴∠D＝90°.

∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°. ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠OAD.

又∵BC为⊙O的切线， ∴AC⊥BC.

∴∠BCO＝∠D＝90°. ∵∠BOC＝∠AOD，

∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.

∠OBC＝∠OBE，??

在△BOC和△BOE中，?∠OCB＝∠OEB，

??BO＝BO，

∴△BOC≌△BOE(AAS)．

∴OE＝OC. ∵OE⊥AB，

∴AB是⊙O的切线．

(2)∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°， ∴∠EOA＝∠ABC. 4

∵tan∠ABC＝，BC＝6，

3∴AC＝BC·tan∠ABC＝8. 则AB＝BC＋AC＝10. 由(1)知，BE＝BC＝6， ∴AE＝4.

4

∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，

3∴OE3＝. AE4

2

2

2

2

∴OE＝3，OB＝BE＋OE＝35.

∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABD∽△OBC. ∴

OCOB335＝，即＝. ADABAD10

∴AD＝25.

方法指导证明圆的切线时，可以分以下两种情况：

(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，

可简述为：“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角(如例1(1))；

2

(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等(如例2(1))．

考点1 点与圆的位置关系

1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是(D)

A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是(B)

A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上 C．点O在⊙C内 D．不能确定

考点2 直线与圆的位置关系

3．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心、3为半径的圆，一定(C)

A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是相离．

考点3 切线的性质与判定

5．(2018·福建)如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D.若∠ACB＝50°，则∠BOD等于(D)

A．40° B．50° C．60° D．80°

6．(2017·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(A)

A．53 B．52 C．5 D.

52

3

7．(2018·重庆A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(A)

A．4 B．23 C．3 D．2.5

8．(2018·无锡)如图，在矩形ABCD中，G是BC中点，过A，D，G三点的⊙O与边AB，CD分别交于点E，F，给出下列说法：①AC与BD的交点是⊙O的圆心；②AF与DE的交点是⊙O的圆心；③BC与⊙O相切，其中正确的说法的个数是(C)

A．0 B．1 C．2 D．3

9．(2018·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C.

(1)求证：∠CBP＝∠ADB；

(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．

解：(1)证明：连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°. 又AD为直径， ∴∠DBP＝∠DBC ＋∠CBP＝90°. ∴∠OBD＝∠CBP.

又OD＝OB，∠OBD＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠CBP，即∠ADB＝∠CBP. (2)∵∠ABD＝∠AOP，∠DAB＝∠PAO， ABAD

∴△ADB∽△APO.∴＝. AOAP∵AB＝1，AO＝2，AD＝4，

4

∴AP＝8，BP＝7.

10．(2018·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

1

(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．

2

解：(1)证明：连接OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B. ∵∠B＝∠CAD， ∴∠ODB＝∠CAD.

在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠ODB＋∠ADC＝90°.

∴∠ADO＝180°－(∠ADC＋∠ODB)＝90°. ∴OD⊥AD.

又∵OD是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线． (2)设⊙O的半径为r.

1

在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝8×＝4.

2∴AB＝AC＋BC＝4＋8＝45. ∴OA＝45－r.

1

在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tanB＝. 21

∴CD＝AC·tan∠CAD＝4×＝2.

2∴AD＝AC＋CD＝4＋2＝20.

222

在Rt△ADO中，OA＝OD＋AD. ∴(45－r)＝r＋20.

3

解得r＝5.

2

考点4 切线长定理

11．(2018·深圳)如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是(D)

2

2

2

2

2

2

2

2222A．3 cm B．33 cm C．6 cm D．63 cm

5

12．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为20__cm．

13．(2018·娄底)如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝1．

考点5 三角形与圆

14．(2018·黄石)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的周长为4π．

15．如图，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为3cm的圆形纸片所覆盖．

16．(2018·泸州)在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝3x＋23上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(D)

A．3 B．2 C.3 D.2

17．(2018·宁波)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或43．

6

252

18．(2018·内江)已知△ABC的三边a，b，c，满足a＋b＋|c－6|＋28＝4a－1＋10b，则△ABC的外接圆半径＝．

819．(2018·内江)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.

(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)求证：2DE2

＝CD·OE；

(3)若tanC＝43，DE＝5

2

，求AD的长．

解：(1)DE是⊙O的切线．

理由：连接OD，BD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. ∵OE∥AC，OA＝OB， ∴BE＝CE. ∴DE＝BE＝CE. ∴∠DBE＝∠BDE. ∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB.

∴∠ODE＝∠OBE＝90°. ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线．

(2)证明：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACB. ∴BCAC＝CDCB

. ∴BC2

＝CD·AC.

由(1)知，DE＝BE＝CE＝1

2BC.

∴4DE2

＝CD·AC.

由(1)知，OE是△ABC的中位线， ∴AC＝2OE.

∴4DE2

＝CD·2OE.

∴2DE2

＝CD·OE. (3)∵DE＝5

2

，

∴BC＝5.在Rt△BCD中，tanC＝4BD

3＝CD，

设CD＝3x，BD＝4x，根据勾股定理，得

(3x)2＋(4x)2

＝25. ∴x＝－1(舍)或x＝1. ∴BD＝4，CD＝3.

由(2)知，BC2

＝CD·AC，

7

BC25∴AC＝＝.

CD3 A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数； ②分数→正分数/负分数 轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 数 轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数2

2516∴AD＝AC－CD＝3－3＝3. 初中数学中考知识点归纳与总结 第一部分 基本知识归纳 ㈠、数与代数 混合运算顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算： 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式；完全平方公式 整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式的运算： 乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。 分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了。 3）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况： I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根） 2、不等式与不等式组 不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C 在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0） 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C

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