湖南省邵阳市二中2022届高三第一次月考数学(理)试卷(Ⅰ卷)

邵阳市二中2016届高三第一次月考试卷

理科数学（Ⅰ）

满分：150分 时量：120分钟 命题制卷：肖 帆

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合2{|12},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B = （ ）

A ．(1,1]-

B ．11(,)-

C ．12[,)-

D ．12(,)-

2．若1

1a bi i +=-（a 、b 是实数，i 是虚数单位），则复数z a bi =+的共轭复数等于（

） A ．i --1 B ．i +-1 C ．i -1 D ．1+ i

3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．2π+

B ．

C ．

D ． 4

4．执行右图的程序框图，若输出的5n =，

则输入整数p 的最大值是( )

A ．15

B ．14

C ．7

D ．6

5．以双曲线1542

2

=-y x 的离心率为首项，

以函数()24-=x x f 的零点为公比的等比数列的前n 项的和=n S （ ）

A ．()23123--?n

B ．n 233-

C ．32

321

-+n D ．3234n

-

6．已知a=（sinx+cosx ）dx ，在（1+ax ）6（1+y ）4的展开式中，xy 2项的系数为（

） A ．45 B ． 72 C ． 60 D ． 120

7．已知P （x ，y ）为区域

内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）

A ．6

B ．0

C ．2

D ．2 8. 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+

>的最小正周期为π，则该函数图象（ ） A ．关于直线6x π

=对称 B ．关于直线3x π

=对称

C ．关于点(6π，0)对称

D ．关于点(3

π，0)对称 9．设随机变量ξ～N （2，4），若P （ξ＞a+2）=P （ξ＜2a ﹣3），则实数a 的值为（ ）

A ．1

B ．

C ．5

D ．9

10. 函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数。设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件： （1）(0)0f = ， （2）1()()32x f f x =

， （3）(1)1()f x f x -=- 。 则11()()38f f +等于（ ） A. 34 B. 12 C. 1 D. 23

11．已知函数

，若a ，b ，c 互不相等，且满足 f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是（ ）

A ．（1，10）

B ．（5，6）

C ．（2，8）

D ．（0，10）

12．已知抛物线y 2=4x ，圆F ：（x ﹣1）2+y 2=1，过点F 作直线a ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB|?|CD|的值正确的是（ ）

A ．等于1

B ．最小值是1

C ．等于4

D ．最大值是4

二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上)

13．已知两个向量()()1,2,,1a b x == ,若()()

2//22a b a b +- ，则x 的值是________； 14．()x G 表示函数3cos 2+=x y 的导数，在区间

上随机取值a ，G(a )的概率

为 ；

15．下列命题: ①当时，的最小值为2； ②对于任意ABC ?的内角A 、B 、C 满足：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-； ③对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2+x+1＜0．则￢p ：?x ∈R ，均有x 2+x+1≥0

④如果函数()y f x =在某个区间内可导，则f(x)的导数()'0f x >是函数()y f x =在该

区间上为增函数的充要条件.

其中正确命题的序号为.（填上所有正确命题的序号）

16．.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}(n∈N ，n≥3)，定义a i＋a j(1≤i1)，则L(A)关于m的表达式为.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=sin x sin()，x．

(1)求y=f(x)的正零点；(2)设f(x)的所有正零点依次组成数列，数列满足=0，

=，ｎＮ＋，求的通项公式。

18.(本小题满分12分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx．

（1）从中任意取2张卡片，求至少有一张卡片写着的函数为奇函数的概率；

（2）在（1）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到新函数为奇函数的概率；

（3）现从盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．

19. （本小题满分12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）。

（1）求证：A1E⊥平面BEP

（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；

（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．

20．（本小题满分13分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短

轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆

于点P．证明：为定值．

（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的

圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分13分) 若定义在R上的函数f（x）满足

f（x）=?e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，g（x）=f（）﹣x2+（1﹣a）x+a，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）解析式；

（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；

（Ⅲ）若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比较

和e x﹣1+a哪个更接近lnx，并说明理由．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22（8分选修4—1：几何证明选讲）如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.

23．（8分选修4﹣4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是

，半径为．

（1）求圆C的极坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

24．（8分选修4-5：不等式选讲）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．

（1）解不等式f（x）＞0；

（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

理科数学（Ⅰ）参考答案

一、ACCAB BADBA CA

二、11. 12 . 5 2m－3.

解析：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L(A)＝5.

②用不完全归纳法。证明如下：不妨设数列{a n}是递增等差数列可知a1

当i＋j>m时，a i＋a j＝a i＋j－m＋a m，因此每个和a i＋a j(1≤i

三、

17.（1）f(x)= sin() 正零点x=k+，k N……………..(6分)

=(3n2-8n-5)/6………………………..(12分)

(2) =，b

18．解：（Ⅰ）f1（x）为奇函数；f2（x）为偶函数；f3（x）为偶函数；

f4（x）为奇函数；f5（x）=为偶函数；f6（x）=为奇函数，

故所求概率为P==，--------4分

（Ⅱ）∵==，=, p=1/4 ------8分

（Ⅲ）P（ξ=1）==，P（ξ=2）=×=，P（ξ=3）═××=，P（ξ=4）=×××=；

E（ξ）=1×+4×=-------------12分

19．（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．----------------4分

（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，

．设平面ABP的法向量为

，由平面ABP知，，即

令，得，

，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．--------8分（3），设平面A1FP的法向量为

．由平面A1FP知，

令y 2=1，得，

所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．---------12分

20.解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为-----（4分）

（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），

直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，

得∵，∴，

∴

∴（定值）（8分）

（3）设存在Q（m，0）满足条件，则

MQ⊥DP

则由，从而得m=0

∴存在Q（0，0）满足条件----------（13分）

21．解：（Ⅰ）根据题意，得f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），

所以f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1．又f（0）=f′（1）e﹣2，

所以f（x）=e2x+x2﹣2x．---------4-分

（Ⅱ）∵f（x）=e2x﹣2x+x2，∴g（x）=f（）﹣x2+（1﹣a）x+a=e x﹣a（x﹣1）

∴g′（x）=e x﹣a，

①a≤0时，g′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；

②当a＞0时，由g′（x）=e x﹣a=0得x=lna，

∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．

综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）--------8分

（Ⅲ）解：设p（x）=﹣lnx，q（x）=e x-1+a﹣lnx，∴p′（x）=﹣﹣＜0，

∴p（x）在[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0；当x＞e时，

p（x）＜0．∵q′（x）=e x﹣1﹣，q″（x）=e x﹣1+＞0，∴q′（x）在[1，+∞）上为增函

数，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，∴q（x）在∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．

①当1≤x≤e时，|p（x）|-|q（x）|=p（x）﹣q（x）=﹣e x﹣1﹣a，

设m（x）=﹣e x﹣1﹣a，则m′（x）=﹣﹣e x﹣1＜0，∴m（x）在[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，∵当a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，

∴比e x﹣1+a更接近lnx．

②当x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|=﹣p（x）﹣q（x）=﹣+2lnx﹣e x﹣1﹣a＜2lnx﹣e x﹣1﹣a，

设n（x）=2lnx﹣e x﹣1﹣a，则n′（x）=﹣e x﹣1，n″（x）=﹣﹣e x﹣1＜0，

∴n ′（x ）在x ＞e 时为减函数， ∴n ′（x ）＜n ′（e ）=﹣e e ﹣1

＜0， ∴n （x ）在x ＞e 时为减函数， ∴n （x ）＜n （e ）=2﹣a ﹣e e ﹣1＜0， ∴|p （x ）|＜|q （x ）|， ∴比e x ﹣1+a 更接近lnx ．

综上：在a ≥2且x ≥1时时， 比e

x ﹣1+a 更接近lnx ．--------------------13分

22解：（I ）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD ，从而 BE

EC =。 因此BE=EC.-------4分 （Ⅱ）由切割线定理得2PA PB PC =?。 因为PA=PD=DC ，所以DC=2PB,BD=PB 。

由相交弦定理得AD DE BD DC ?=?，所以22AD DE PB ?=.-------8分

23解：（1）将圆心

，化成直角坐标为（ 1，1），半径r=，（2分） 故圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2．即x 2+y 2=2x+2y 再将C 化成极坐标方程，得

ρ2=2ρsin （θ+）．此即为所求的圆C 的极坐标方程．-------------4分

（2）∵直线l 的极坐标方程为，可化为x+y=2+

， ∴圆C 的圆心C （1，1）到直线l 的距离为d==1，

又∵圆C 的半径为r=， ∴直线l 被曲线C 截得的弦长l=2

=2 --------8分 24解：（1）等式f （x ）＞0即|2x+1|﹣|x ﹣2|＞0，

故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）．--------4分

（2）由题意可得，a+1＜f min （x ），而由（1）可得f min （x ）=f （﹣）=﹣，

∴a+1＜﹣，解得a ＜﹣．-------8分

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