三段论的证明

第一格的规则证明：

? ①小前提必须是肯定的。

? 假设小前提是否定的。如此，根据基本规则，大前提必为肯定命题。大前提肯定，则大前提的谓项不周延。而在第一格中，大项是大前提的谓项，所以，大项在大前提中不周延。同时，根据基本规则4，结论是否定的。结论否定，则结论的谓项即大项必是周延的。这样，根据基本规则2，则犯了“大项不当周延”的错误。这种错误是由于小前提否定造成的。所以，假设不成立，小前提必须是肯定的。 ? ②大前提必须是全称的。

? 已证此格的小前提是肯定的，则小前提的谓项不周延。在此格中，小前提的谓项是中项，故中项在小前提中是不周延的。根据基本规则1，中项在大前提中必须周延。在此格中，中项是大前提的主项，主项要周延，则大前提必须是全称的。

三段论的第二格，中项在前提中均做谓项。 1、两个前提中必须有一个是否定命题：

由于中项在两个前提中都做谓项，根据三段论的基本规则“中项至少要周延一次”，而只有否定命题的谓项是周延的，所以，前提中必须有否定命题。但是根据三段论基本规则“两个否定的前提不能推出结论”，故两个前提中必须有一个是否定命题。

2、大前提必须为全称命题：

三段论第二格的特殊规则中的第一条已经确定，即“两个前提中必须有一个是否定命题”，那么，根据三段论的基本规则“前提中有一个是否定的，结论必然是否定的”，可以得出否定命题为结论。在结论中，大项作否定命题的谓项，是周延的。根据三段论基本规则“在前提中不周延的项，在结论中也不得周延”，要保证大项在前提中周延，只有大前提为全称命题。所以，大前提必须为全称命题。 第三格规则：这一格中项都处于主项位置上。 1、小前提必须肯定。 2、结论须是特称的。 证明1：

如果小前提否定，则大前提必须肯定（两个否定的前提推不出结论）； 大前提肯定，则大项不周延（肯定判断的谓项不周延）； 因为前提之一否定，所以结论否定； 结论否定，则大项在结论中周延；

大项在前提中不周延，而在结论中周延，违反“前提中不周延的项在结论中不得周延”的规定，所以，小前提必须肯定。 证明2：

因为小前提是肯定的（证明1已证明），所以小项是不周延的， 根据“前提中不周延的项在结论中不得周延”的规则， 所以，结论只能是特称的（特称判断的主项不周延）。

第三格只能得出特称结论，常用来反驳全称判断，所以又称其为“反驳格” 第四格规则：中项在大前提中作谓项，在小前提中作主项。 1、前提之一否定，大前提全称。 2、大前提肯定，则小前提全称。 3、小前提肯定，则结论特称。 4、前提中不得有特称否定判断。 5、结论不能是全称肯定判断。 证明1：

如果两个前提中有一个是否定的，结论也必然是否定的（前提之一否定，结论是否定的）；

结论否定，则大项周延（否定判断的谓项周延）； 大项在第四格中处于前提的主项，只有全称时主项周延； 所以，大前提必须全称。 证明2：

如果大前提肯定，在大前提中中项不周延（肯定判断谓项不周延）； 只有小前提全称，中项才周延一次（全称判断主项周延）； 三段论要求中项至少周延一次； 所以，大前提肯定，则小前提全称。 证明3：

如果小前提肯定，小项在前提中不周延（肯定判断谓项不周延）；

如果结论全称，则在结论中小项周延，违反了在前提中不周延的项在结论中也不得周延规则；

所以：小前提肯定，则结论特称。 证明4：

如果大前提否定，结论必要否定（前提之一否定，结论是否定的）； 则大项在结论中周延（否定判断的谓项周延）；

如果大前提特称，大项在前提中不周延（特称判断的主项不周延）；

这样，就违反了在前提中不周延的项在结论中也不得周延规则； 因此，大前提不能是特称否定。

如果小前提否定，大前提必肯定（两个否定的前提推不出结论）； 则中项在大前提中不周延（肯定判断谓项不周延）；

小前提否定，中项在小前提中也不周延（特称判断的主项不周延）； 三段论规则要求中项在前提中至少周延一次； 因此，小前提不能是特称否定。 所以，前提中不得有特称否定判断。 证明5：

如果结论是全称肯定判断，则小项在结论中周延（全称判断主项周延）； 则大项在结论中不周延（肯定判断谓项不周延）；

则小前提必否定才使小项在前提中周延（在前提中不周延的项在结论中也不得周延）；

但如果小前提否定，结论必然否定（前提之一否定，结论是否定的） 与结论为肯定判断矛盾；

所以，结论不能是全称肯定判断。

三段论的规则一:

中项在前提中至少要周延一次，违反这一规则，就会犯“中项不周延”的错误。

为什么?

如果中项在两个前提中都不周延，就可能出现这样的情况：小项与中项的一部分发生联系，大项与中项的另一部分发生联系。在这种情况下，中项就不能在大项和小项之间起到媒介作用，从而无法得出关于小项和大项联系的必然结论。

三段论的规则二:

前提中不周延的项，在结论中不得周延。违反这一规则，就会犯 “ 大项不当周延 ” 或 “ 小项不当周延 ” 的错误。 如果一个词项在前提中不周延而在结论中周延了，即前提只陈述一个词项的部分外延，结论却陈述了这一词项的全部外延，那么，结论的陈述就超出了前提所陈述的范围。这样，结论便不被前提蕴涵，不能保证从真前提必然推出真结论。

三段论的规则三:

两个否定前提不能得出结论。

? 如果两个前提都是否定命题，则它们所陈述的是小项与大项的外延分别和中项的外延之间部分地或全部地具有排斥关系。这样，中项就不能在大项和小项之间起媒介作用，从而无法确定大、小项之间的关系。因此，不能从两个否定前提得出结论。

? 三段论的规则四:

? 如果前提中有一个是否定的，则结论必是否定的 ? （如果结论否定，则前提有一否定 ）

? 否定的前提陈述中项和一个项在外延上排斥，肯定的前提陈述中项和另一个项在外延上相容。这样，通过中项的媒介作用、大、小项之间的关系必是互相排斥的，而不会是相容的。因此，结论必然是否定的。

? 根据规则3，如果两个前提中有一个是否定的，那么另一个必是肯定的。否定的前提陈述中项和一个项在外延上排斥，肯定的前提陈述中项和另一个项在外延上相容。这样，通过中项的媒介作用、大、小项之间的关系必是互相排斥的，而不会是相容的。因此，结论必然是否定的。

规则五:两个特称前提不能得结论

? 以两个特称命题做前提，其组合情况不外乎三种：两个前提都是I命题；两个前提都是O命题；两个前提中，一个是I命题，一个是O命题。在这三种情况下，都不能推出必然结论。因为： ? ①如果两个前提都是I命题，那么由于I命题的主、谓项都不周延，因此，两个前提中没有一个项是周延的，不能满足中项至少要周延一次的要求，违反了规则1，所以，不能得出必然结论。

? ②如果两个前提都是O命题，那么根据规则3，不能得出必然结论。 ? ③如果两个前提中，一个是I命题，一个是O命题，那么，两个前提中只有一个项是周延的，即O命题的谓项。根据规则1，这个唯一周延的项应为中项，否则会犯“中项不周延”的错误。这样，大、小项在前提中都不周延。又根据规则4，结论是否定的，而否定命题的谓项是周延的，即大项在结论中周延；但大项在前提中是不周延的，这就违反规则2，犯了“大项不当周延”的错误。而如果避免“大项不当周延”的错误，用前提中唯一周延的项作为大项，中项又会一次不周延，从而会犯“中项不周延”的错误。因而，以I命题和O命题为前提，也不能必然得出结论。 ? 综上所述，两个特称命题前提不能推出必然结论

? 规则六:如果前提中有一个是特称的，那么结论必是特称的

? 根据规则5，如果两个前提中有一个特称的，那么另一个必是全称的。因此，包括一个特称命题的两个前提，其组合情况不外乎这样四种：分别是A命题和I命题，A命题和O命题，E命题和I命题，E命题和O命题的在组合。由于第四种情况，即E命题和O命题的组合明显违反规则3，无效，所以，可以排除这种情况。

? 现在看其它三种情况。

? ①如果两个前提分别是A命题和I命题，则前提中只有一个周延的项，即A命题的主项。根据规则1，这个唯一周延的项应当做中项，否则会犯“中项不周延”的错误。这样，小项在前提中不周延，根据规则2，小项在结论中也不得周延，所以结论只能是特称的。

? ②如果两上前提分别是A命题和O命题，则前提中有两个周延的项，即A

命题的主项和O命题的谓项。根据规则1，这两个周延的项其中一个要充当中项，否则会犯“中项不周延”的错误。另一个项应当充当大项，因为：根据规则4，这两个前提中有一个是否定的，结论必是否定的；结论否定，作为结论谓项的大项必是周延的，根据规则2，大项在前提中必须周延，否则会犯“大项不当周延”的错误。这样，其余两个不周延的项中必有一个是小项，根据规则2，前提中小项不周延，在结论中也不得周延，所以，结论是特称的。

? ③如果两个前提分别是E命题和I命题，那么，只能大前提是E命题，小前提是I命题，而不能是大前提是I命题，小前提是E命题。因为：如果大前提是I命题，是大项在前提中必不周延，而由于小前提是E命题，结论必否定；如此，若得结论，则必违反规则2，犯“大项不当周延”的错误。所以，应当排除“大前提是I命题，小前提是E命题”这一情况。而如果大前提是E命题，小前提是I命题，那么小项在前提中必不周延；根据规则2，小项在结论中也不得周延，否则，会犯“小项不当周延”的错误。因而，结论只能是特称的。

? 综上所述，前提中有一特称命题，所得出的有效结论必然是特称的。

第一格：AAA、（AAI）、AII、EAE、（EAO）、EIO 第二格：AEE、（AEO）、AOO、EAE、（EAO）、EIO 第三格：AAI、AII、EAO、EIO、IAI、OAO 第四格：AAI、AEE、（AEO）、EAO、EIO、IAI

由上可知，四格当中只有24个有效式，其中5个带括号的称为弱式。弱式是本应得出全称结论，但却得出了特称结论的式。弱式可以看做是派生的有效式，一般不把它们列入有效式中，这样，正确的有效式就是19个。 1、第一格的规则是：

（1）小前提必须是肯定命题。 （2）大前提必须是全称命题。 2、第二格的规则是：

（1）两个前提中必有一个是否定命题。 （2）大前提必须是全称命题。 3、第三格的规则是：

? ? ? ? ?

（1）小前提必须是肯定命题。 （2）结论必须是特称命题。 4、第四格的规则是：

（1）如果前提中有一个否定命题，那么大前提必须是全称命题。 （2）如果大前提是肯定命题，那么小前提必须是全称命题。 （3）如果小前提是肯定命题，那么结论必须是特称命题。

负复合命题推理的五种基本形式：

（1）负合取命题推理：?(p?q)?(?p??q)

（2）负析取命题推理：?( p?q)?(?p??q) （3）负蕴涵命题推理：?(p?q)?(p??q) （4）负等值命题推理：?(p?q)?(p??q)?(?p?q) （5）双重负命题推理：??p?q

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