循环码(7,4)

8.4 循环码

时间：2012年09月01日信息来源：《通信原理》精品课程网站 点击： 2452次 我要评论(0) 【字体：大 中 小】

循环码是线性分组码重要的一个子类，现有的重要线性分组码都是循环码或与循环码密切相关。与其他大多数码相比，循环码的编码及译码易于用简单的具有反馈连接的移位寄存器来实现，这是它的优势所在。另外，对它的研究是建立在比较严密的数学方法基础之上，因此比较容易获得有效的译码方案。循环码在实际中应用很广。 8.4.1 循环码基本概念 一个线性（

）分组码，如果它的任一码字经过循环移位后（左移或右移），仍然是该码

的一个码字，则称该码为循环码。上一节中表8-3所示的（7，3）分组码就是一个循环码。

为了便于观察，将（7，3）码重新排列如表8-9所示。 表8-9 循环码的循环移位

码 字 循环次数 0 1 2 3 4 5 6 码多项式 在代数编码理论中，常用多项式 （8.4-1）

来描述一个码字。表8-9中的任一码组可以表示为

（8.4-2）

这种多项式中，仅是码元位置的标记，因此我们并不关心x的取值，这种多项式称为码多项式。例如，码字（0100111）可以表示为

（8.4-3）

左移一位后

为（1001110），其码字多项式

为

（8.4-4）

需要注意的是，码字多项式和一般实数域或复数域的多项式有所不同，码字多项式的运算是基于模二运算的。

（1）码多项式相加，是同幂次的系数模二加，不难理解，两个相同的多项式相加，结果系数全为0。例如

（8.4-5）

（2）码多项式相乘，对相乘结果多项式作模二加运算。例如

（8.4-6）

（3）码多项式相除，除法过程中多项式相减按模二加方法进行。当被除式等于除式

的幂次，就可以表示为一个商式

和一个分式之和，即

的幂次高于

（8.4-7）

其中余式为

（8.4-8）

有了这个运算规则，就可以很方便地表示一个移位后码字多项式。可以证明，字长为的码字多项式

和经过次左移位后的码字多项式

（8.4-9）

例如，（7，3）循环码的码字（1001110），其多项式为的多项式

可求得如下：

，移位3次后

的关系为

的幂次低于

的幂次。把

称作对

取模

的运算结果，并表示

（8.4-10）

即

8.4.2 循环码生成多项式

由表8-9可知，（7，3）循环码的非0码字多项式是由一个多项式乘以定的，这

得到的。一般地，循环码是由一个常数项不为0的就称为该码的生成多项式。其形式为

分别次多项式确

，它对应的码字为

1110100

（8.4-11）

码的生成多项式一旦确定，则码也就确定了。因此，循环码的关键是寻求一个合适的生成多项式。编码理论已经证明，（例如

（8.4-12）

在式中可找到两个

次因式

（8.4-13）

和

（8.4-14）

它们都可以作为（7，3）循环码的生成多项式，而

（8.4-15）

和

（8.4-16）

可以用为（7，4）循环码的生成多项式。

一般来说，要对多项式作因式分解不是容易的事情，特别当比较大的时候，须用计算***搜索。

8.4.3 循环码编码

1．监督码元的产生方法

下面以（7，4）循环码为例，讲解采用系统码形式的循环码监督码元产生方法。（7，4）循环码码字为

（8.4-17）

其码字多项式为

）循环码的生成多项式是多项式

的一个

次因式。

（8.4-18）

其中

为信息多项式，

为监督组多项式。两边同时加

，则有

（8.4-19）

可以证明，码字多项式可以被生成多项式除尽，即

（8.4-20）

用

除式（8.4-19）两边得

为

的一个因式：

（8.4-21）

和式（8.4-7）比较可知，用上述多项式的除法，便可以求得【例8-2】（7，4）循环码的解：

按照上述多项式的除法，得

于是得到

，因此

。相应码字为

。

，即监督组多项式是。

，信息码为

，于是

，求相应码字。 除以

所得的余式。利

用该方法可得该（7，4）循环码的所有许用码字，如表8-10所示。 表8-10 （7，4）循环码

码 字0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 码 字 2．编码电路 上面讨论的产生监督码元的方法可用以下两个式子加以概括：

（8.4-22）

因此采用系统码的循环码编码器就是将信息组求余式

的电路，如图8-4所示。

乘上

，然后用生成多项式

除，

图8-4 系统循环码编码电路

下面以二进制（7，4）循环码为例，来说明编码电路的工作原理。 当输入信息码元为(1001)，即

，设循环码的生成多项式

因此

，相应码字为

，其编码电路如图8-5所示。

，则：

图8-5 （7，4）循环码编码电路 电路编码过程如下： （1） 三级移存器初始状态全为“0”，门1开，门2关。信息组以高位先入的次序送入电路，一方面经或门输出编码的前个信息码元，另一方面送入完成用

除

的除法运算。

除法电路的右端，这对应于

（2） 四次移位后，信息组全部通过或门输出，它就是系统码码字的前四个信息码元，同时它也全部进入除

电路，完成除法运算。此时在移存器

。

跟在信息组后面

中存的数就是余式

的

系数，也就是码字的校验码元

（3） 门1关闭，门2打开，再经三次移位后，移存器中的校验码元输出，形成一个完整的码字

（4） 门1打开，门2关闭，送入第二组信息组，重复上述过程。

表8-11列出了上述编码器的工作过程。设输入信息组为(1001)，七个移位脉冲过后，在输出端得到已编好的码字(1001110)。

表8-11 （7，4）循环码编码电路工作过程

节拍 移位寄存器的内容 输入 输出

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