常微分方程习题(1)

常微分期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若X1(t),X2(t),?,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、ydx?(x?y3)dy?0 ２、x???x?sint?cos2t

??1??21??３、若A??试求方程组x?Ax的解?(t),?(0)?????并求???14???2?expAt ４、(dy3dy)?4xy?8y2?0 dxdxdy?x?y2经过（0，0）的第三次近似解 dx５、求方程

6.求

dxdy??x?y?1,?x?y?5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. dtdt三、证明题（１０％）

１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。 试卷答案 一填空题

?M?N?M?N???y?x?y?x１、??(y) ??(x)

?MNdy２、 ?p(x)y2?Q(x)y?R(x) y?y?z

dx３、

dy(n?1)p(x)dx ?p(x)y?Qx(y)n u(x,y)?y?ne?dx４、w[x1(t),x2(t),?,xn(t)]?0

dnydn?1dy?a???a?any?0 ５、x1n?1nn?1dxdxdxn６、?(t)??(t)C

７、零 稳定中心 二计算题

?M?N?1,??1?x１、解：因为?y，所以此方程不是恰当方程，方程有积

31dxx?y1dy?0 分因子?(y)?e?e?lny?2，两边同乘2得?2yyyyx????x?y3?y?1所以解为 ?dx?????dy?c 2y?y??y??????ydy22xy2??c即2x?y(y2?c)另外y=0也是解 y2２、线性方程x???x?0的特征方程?2?1?0故特征根???i

f1(t)?sint ??i是特征单根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方程A=-

1 B=0 f2(t)??cos2t ??2i不是特征21根，原方程有特解x?Acos2t?Bsin2t代入原方程A? B=0

311 所以原方程的解为x?c1cost?c2sint?tcost?cos2t

23３、解：p(?)?k=1n1?2

1i??1????t(??1??2)?t3t?i???1? ?????v ?(t)?e??(A?3E)????e3t?1???2???2?t(??1??2)??i?0i!???2???21?1??2?6??9?0解得?1,?23此时 ??4t由公式expAt= e?t?(A??E)i得

i?0i!n?1i??10???11??3t?1?tt? expAt?e?E?t(A?3E)??e???t???e??????t1?t???01???11??3t3t?dy?2?8y??p3?8y2dydx??４、解：方程可化为x?令?p则有x?（*） dy4ypdx4ydx3（*）两边对y求导：2y(p3?4y2)dp?p(8y2?p3)?4y2p dy1dpp2dp322?p?0得p?cy即y?()将y即(p?4y)(2y?p)?0由2ydycdy?c22px??2?c22p?4c p代入（*）x??2即方程的 含参数形式的通解为：?4c?y?(p)2?c?为参数

又由p3?4y2?0得p1?(4y2)3代入（*）得：

43y?x也是方程的解

27?0?y0?0x2?1?y0??xdx?02５、解： xx2x2x5?2?y0??(x?)dx??04220xx4x10x7x2x5x11x8?3?y0??(x???)dx????04400202204400160x??x?y?1?0６、解：由?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则

?x?y?5?0?dx??x?y??dt ??dy?x?y??dt?1?1因为=1+1 ?0故有唯一零解（0，0）

1?1由

??1?11??2?2??1?1??2?2??2?0得???1?i故（3，-2）??1为稳定焦点。 三、 证明题

由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：

x1(t0)?1,x2(t0)?0,??,xn(t0)?0x1'(t0)?0,x'2(t0)?1,??,xn(t0)?0???????????????

x1n?1(t0)?0,x2n?1(t0)?0,?,xnn?1(t0)?110考虑w[x011(t0),x2(t0),?,xn(t0)]???00从而xi(t)(i?1,2,?n)是线性无关的。?0?0???1?0

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