2005年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题及答案

2005试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡2B铅笔将答题卡试卷类型（A位号”栏填写试室号、座位号，并用2B2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改4参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1．若集合M {x||x| 2},N {x|x2 3x 0}，则M∩N=

A．{3}

B．{0}

C．{0，2}

2

2

D．{0，3}

（ ）

2．若(a 2i)i b i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a b=

A．0

B．2 B．0

C． C．

（ ）

5

2

D．5

（ ）

3．lim

x 3

=

x 3x2 9

1A．

6

1 6

D．

1 3

4．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三 角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（ ）

A．

1

4

B．

1 2

C．

3 6

D．

2

4

2

如图1

5．若焦点在x轴上的椭圆

1xy

1的离心率为，则m=（ ）

22m

A．3

B．

3 2

C．

8 3

D．

2 3

（ ）

6．函数f(x) x3 3x2 1是减函数的区间为

A．(2, ) B．( ,2) C．( ,0)

①若m ,l A,点A m,则l与m不共面；

D．（0，2）

7．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

②若m、l是异面直线，l// ,m// ,且n l,n m,则n ； ③若l// ,m// , // ,则l//m；

④若l ,m ,l m 点A,l// ,m// ,则 // . 其中为假命题的是 A．①

B．②

C．③

D．④

（ ）

8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY 1的概率为（ ）

A．

11

D． 122

9．在同一平面直角坐标系中，函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线y x对称. 现将y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数f(x)的表达式为（ ）

B．

C．

1

65 36

2x 2, 1 x 0

A．f(x) x

2,0 x 2 2 2x 2, 1 x 0

B．f(x) x

2,0 x 2 2 2x 2,1 x 2

C．f(x) x

1,2 x 4 2 2x 6,1 x 2

D．f(x) x

3,2 x 4 2

如图

2

10．已知数列{xn}满足x2

A．

x11

,xn (xn 1 xn 2),n 3,4, .若limxn 2,则x1 （ ）

n 22

C．4

D．5

3

2

B．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11．函数f(x)

1 e

x

的定义域是.

12．已知向量 (2,3), (x,6),且//,则x. 13．已知(xcos 1)5的展开式中x的系数与(x

2

54

)的展开式中x3的系数相等，则cos = 4

14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同

一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n>4时， f(n)（用n表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）

化简f(x) cos(

6k 16k 1

2x) cos( 2x) 23sin( 2x)(x R,k Z),333

并求函数f(x)的值域和最小正周期. 16．（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=234.F是线段PB上一点，CF

15

，点E在线段AB上，且EF⊥PB. 17

（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF； （Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足

AO⊥BO（如图4所示）.

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹

方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

18．（本小题满分12分）

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）

设函数f(x)在( , )上满足f(2 x) f(2 x),f(7 x) f(7 x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1) f(3) 0. （Ⅰ）试判断函数y f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x) 0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

2005试题及答案

参考答案

一、选择题

1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A

10B 二、填空题

11.{x|x<0} 12.4 13. 三、解答题

15

．解：f(x) cos(2k

12

14. 5, (n 2)(n 1)

22

3

2x) cos(2k

2x) 2x)

33

2cos( 2x) 2x) 4cos2x

33

函数f(x)的值域为 4;

2

； 函数f(x)的周期T

2

16．（I）证明：∵PA AC 36 64 100 PC

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB故PA⊥平面ABC

22

又∵S PBC

11

|AC||BC| 10 6 30 22

而

11|PB||CF| 2 30 S PBC 2217

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF

（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—FAB105

AP63

5

二面角B—CE—F的大小为arctan

3tan FEB cot PBA

x1 x2 x 3

17．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）

y y1 y2 3

∵OA⊥OB ∴kOA kOB 1,即x1x2 y1y2 1，……(2)

22

又点A，B在抛物线上，有y1 x1，代入（2）化简得x1x2 1 ,y2 x2

∴y

y1 y21211222

(x1 x2) [(x1 x2)2 2x1x2] (3x)2 3x2 333333

2

所以重心为G的轨迹方程为y 3x （II）S AOB

2

3

11122222222|OA||OB| (

x12 y12)(x2 y2

) x1x2 x12y2 x

2y1 y12y2 2221 2 1 由（I）得S AOB 2

66

当且仅当x1即x1 x2 1 x2

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n

(II) 的数学希望为

sstst2stn 1tn

…(1) E 0 1 2 ... (n 1) n 23n 1n

s t(s t)(s t)(s t)(s t)tst22st3(n 2)stn 1(n 1)stnntn 1

…(2) E ... 23n 1n 1n 1

s t(s t)(s t)(s t)(s t)(s t)

(1) －(2)得

ttn(n 1)tnntn

E n 1n 1n

ss(s t)(s t)(s t)

19.解: 由

f(2 x) f(2 x) f(x) f(4 x)

f(4 x) f(14 x)

f(7 x) f(7 x)f(x) f(14 x)

f(x) f(x 10),

又f(3) 0,而f(7) 0,

f( 3) f(7) 0 f( 3) f(3)，f( 3) f(3)

故函数y f(x)是非奇非偶函数;

(II)由

f(2 x) f(2 x) f(x) f(4 x)

f(4 x) f(14 x)

f(7 x) f(7 x) f(x) f(14 x)

f(x) f(x 10)

又f(3) f(1) 0 f(11) f(13) f( 7) f( 9) 0 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,

从而可知函数y f(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数y f(x)在[-2005,2005]上有80220.解(I) （1）当k 0时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程y

（2）当k 0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)(0 a 2)， 所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG k 1,故G点坐标为G( k,1)( 2 k 1

k 1 a k a

从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M(

k1,)22

1kk21

( 2 k 折痕所在的直线方程y k(x )，即y kx

2222

由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：

1k21

( 2 k k=0时，y ；k 0时y kx

222

（II）⑴当k 0时，折痕的长为2;

⑵当k 0时,

k2 1k2 1

),P(2,2k ①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N(0,22

这时， 2 k 0，y PN2 4 4k2 4(1 k2) (4,16(2 k2 1k2 1

),P( ,0②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N(0,22k

这时， 1 k 2

k2 12k2 1223

y PN () ( ) 22k2

3(k

2 1)2

2k 4k2 (k2 1)3 8k22

2y 16k4/

令y 0解得k

/

2

， 2

∵

y|k 1 2,y| ∴y [

k27

,y|k 216(2 16

27

,16(216

1 k2k2 1

,1),P( ③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N(2k2k

22

这时， 2 k 1，y

PN () 1

[,1k54

综上述，ymax 16(2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fly1.html