2021中考数学 专题03 二次函数与相似问题(镇江27题扬州28题连云港26题等)(原卷版)

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年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）

专题03 二次函数与相似问题

【真题再现】

1．（2019年镇江第27题）如图，二次函数y ＝﹣x 2+4x +5图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数y =2

5x +1的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．

（1）点D 的坐标是 ；

（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得△DPQ 与△DAB 相似．

①当n =275时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出n 的取值范围 ．

2．（2018年扬州第28题）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为；

（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；

（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=

1

2∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

2

3．（2018年镇江第27题）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O 为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．

（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．

①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）

②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；

③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，

与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．

3

4．（2018年连云港第26题）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；

（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标

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5．（2018年宿迁第27题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

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【专项突破】

【题组一】

1．（2019秋?江阴市期末）如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．

（1）求m的值；

（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；

（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

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2．（2019秋?张家港市期末）如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，

（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．

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3．（2020?山西模拟）如图，二次函数y＝0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；

（3）若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．

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4．（2019?建昌县一模）如图，二次函数y=?

1

2

x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、与y轴交于点C（0，4），过点A的直线y=

1

2x+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标；

（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，△ABP的面积最大，最大面积是多少？

（3）如图2，设直线AB与y轴交于点E．点M是直线AB上的一个动点（不与点A、B重合），当△MEC与△AOE相似时，请直接写出点M的坐标．

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10 【题组二】

5．（2019?泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣2，0），C （0，﹣6），其对称轴为直线x ＝2．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线y =?13x +m 将△AOC 的面积分成相等的两部分，求m 的值；

（3）点B 是该二次函数图象与x 轴的另一个交点，点D 是直线x ＝2上位于x 轴下方的动点，点E 是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x ＝2右侧．若以点E 为直角顶点的△BED 与△AOC 相似，求点E 的坐标．

11 6．

（2019?恩施州）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，?83），与x 轴交于A 、B 两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和

AE AB 的值． （3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，

√55FC +BF 的值最小．并求出这个最小值． （4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当√55

FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

12 7．（2019?亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =?1

4x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A （0，8），与x 轴交于B 、C 两点，其中点C 的坐标为（4，0）．点P （m ，n ）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D 的坐标为（0，4），连接BD ．

（1）求该二次函数的表达式及点B 的坐标；

（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，当以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相似时，求m 的值；

（3）连接BP ，以BD 、BP 为邻边作?BDEP ，直线PE 交y 轴于点T ．

①当点E 落在该二次函数图象上时，求点E 的坐标；

②在点P 从点A 到点B 运动过程中（点P 与点A 不重合），直接写出点T 运动的路径长．

8．（2019?昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，且经过点D（﹣6，﹣6），连接AD，BD．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？

若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）

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【题组三】

9．（2019?苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB 上，求此时点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF ⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

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10．（2019?工业园区一模）如图，已知抛物线y=√

3

3x

2?2√3

3x与x轴相交于O、A两点，B为顶点，C是第二象限内抛物线上一点，且∠AOC＝120°．

（1）求点C的坐标；

（2）向下平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线与x轴相交于点O′、A′（点A′在点O′的右侧）．问：是否存在以点A′、A、B为顶点且与△OBC相似的三角形？若存在，求出新抛物线对应的函数表达式；若不存在，请说明理由．

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1

6 11．（2019?铜山区一模）已知，如图，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （3，0），点E 为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点F ，以EF 为直径的圆⊙M 与BC 交于点R ．

（1）b ＝ ；c ＝ ；

（2）当△EFR 周长最大时．

①求此时点E 点坐标及△EFR 周长；

②点P 为⊙M 上一动点，连接BP ，点Q 为BP 的中点，连接HQ ，直接写出HQ 的最大值为 ；

（3）连接CE 、BE ，当△ERC ∽△BRE 时，求出点E 点坐标．

【题组四】

12．（2019?东台市模拟）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．

（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；

（2）若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；

（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．

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13．（2019?滕州市模拟）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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14．（2019?剑阁县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．

（1）求该函数的表达式；

（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．

①求线段PQ的最大值；

②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

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【题组五】

15．（2019?无锡模拟）已知：如图，一次函数y＝﹣2x与二次函数y＝ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（点A在点B的右侧），与其对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为D，点C与点D关于x轴对称，且△ACD的面积等于2．

①求二次函数的解析式；

②在该二次函数图象的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似．

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21 16．（2019?新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移15

4个单位长度，再向左平移h （h ＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物

线的顶点D ′在△ABC 内，求h 的取值范围；

（3）点P 为线段BC 上一动点（点P 不与点B ，C 重合），过点P 作x 轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q ，当△PQC 与△ABC 相似时，求△PQC 的面积．

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