电大数学思想与方法小抄

数学思想与方法

一、单项选择题

1．算法的有效性是指（ C ）。P.122

C．如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解

2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（A ）的一种思想方法。P156

A．由数思形、见形思数、数形结合考虑问题 3．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（ D ）为典范。P1 D．中国的《九章算术》

4．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（ B ）的趋势。P46

B．数学的各个分支相互渗透和相互结合

5．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（ B ）。P197

B．潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段 6．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是（B ）。P1 B．古希腊欧几里得的《几何原本》 7．随机现象的特点是（A ）。P23

A．在一定条件下，可能发生某种结果，也可能

不发生某种结果

8．演绎法与（ D ）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。P67 D．归纳法

9．在化归过程中应遵循的原则是（ A ）。P105 A．简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则 10．（C ）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。P191

C．数学思想方法

11．所谓类比，是指（ B ）。P75

B．由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法 12．猜想具有两个显著特点：（ D ）。P73 D．科学性与推测性

13．所谓数学模型方法是（ A ）。P132 A．利用数学模型解决问题的一般数学方法 14．数学模型具有（ C ）特性。P131 C．抽象性、准确性和演绎性、预测性

15．概括通常包括两种：经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对

个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——（ A ）的认识。P64

A．由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性

16．三段论是演绎推理的主要形式，它由（D ）三部分组成。P94

D．大前提、小前提和结论

17．传统数学教学只注重（B ）的传授， 而忽略对知识发生过程中（ ）的挖掘。P183 B．形式化数学知识，数学思想方法 18．特殊化方法是指在研究问题中，（ B ）的思想方法。P164

B．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合

19．分类方法的原则是（ D ）。P151

D．不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分

20．数学模型可以分为三类：（ C ）。P131 C．概念型、方法型、结构型

21．数学的第一次危机是由于出现了（ C ）而造成的。P82 C．无理数（或2）

22．算法大致可以分为（ A ）两大类。P128 A．多项式算法和指数型算法

23． 归纳法是通过对一些（ ）情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。 B. 个别的、特殊的

24．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是（ B ）。P78

B．联想? 类比? 猜测

25．归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是（ D ）。P74

D．特例? 归纳? 猜测（想）

26．所谓统一性，就是（ C ）之间的协调。P46

C．部分与部分、部分与整体 27．中国《九章算术》（ A ）的算法体系和古希腊《几何原本》（ ）的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。P1 A．以算为主 逻辑演绎

28．公理化方法就是从（ D ）出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。P95 D．初始概念和公理

29．数学的第二次危机是17世纪伴随牛顿和莱布尼兹创立（ A ）而产生的。P83 A．微积分

30．我国《数学课程标准》（实验稿）的总体目标指出，数学知识包括（ B ）和( ）。P183 B．数学事实 数学活动经验

31．所谓特殊化是指在研究问题时，（ D ）的思想方法。P164

D．从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合

32．不完全归纳法是根据（ D ），作出关于该

类事物的一般性结论的推理方法。P68

D．对某类事物中的部分对象的分析 33．公理化的三条逻辑上的要求是（ D ）。P37 D．独立性、无矛盾性、完备性 34．《九章算术》系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学成就，经过历代名家补充、修改、增订而逐步形成，现传世的《九章算术》是三国时期魏晋数学家（ B ）注释的版本。P6 B．刘徽 35．《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，全书共十三卷475个命题，包括5个（ C ）、5个（ ）。P2 C．公式 公理 36．数学思想方法教学主要有（ B ）三个阶段。P198

B．多次孕育、初步理解、简单应用

37．化隐为显原则是数学思想方法教学原则之一，它的含义就是把隐藏在数学知识背后的（ A ）显示出来，使之明朗化，以达到教学目的。P199

A．数学思想方法

38．在数学学科中人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学，如代数、几何、方程、微积分等。但是确定数学无法定量地揭示（ ），它的这种局限性迫使数学家们建立一种专门分析（ A ）的数学工具。这个数学工具就是（ ）。P22

A．随机现象 随机现象 概率理论和数理统计

39． 小学生的思维特点是（ D ）。P197 D．具体形象思维

40.古埃及数学最辉煌的成就可以说是（ ）的发现。

B. 四棱锥台体积公式

41. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（ ），成为近代西方数学的主要源泉。

C. 数论及几何学

42. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（ ）的方法。 D. 天文测量

43.《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（ ）。 D. 柏拉图学派

44.数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（ ）已经形成了一些几何与数目概念。 C. 六七千年前

45.在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（ ）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（ ）表示。 B. 文字，文字

46.古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（ ），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。 A. 100亿年

47.巴比伦人是最早将数学应用于（ ）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程 A. 商业

48.《九章算术》成书于（ ），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。 A. 西汉末年

49.根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（ ）中演绎出的结论。 D. 初始原理

50.《几何原本》就是用（ ）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 D. 逻辑

51.《九章算术》确定了中国古代数学的框架，不仅以（ ）归纳体系、（ ）内容、（ ）方法为特点影响我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。 D. 开放的、算法化的、模型化的

52.九章算术》确定了中国古代数学的框架，以

计算为中心的特点。《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何（ ）数学概念的定义，也没有给出任何（ ）。 C. 数学概念,推导和证明

53. 欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是（ ）。 C. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交

54.《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：（ ）。

A. 定义、公理、公设、命题

55.《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，它的内容十分丰富，全书采用（ ）的形式，与生产、生活实践密切相关。 B. 问题形式

56.《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于（ ）左右。 A. 公元一世纪

57.《九章算术》的叙述方式以（ ）为主，先给出若干例题，再给出解法；《几何原本》的叙述方以（ ）为主，先给出公理，再通过逻辑推出其他命题。 B. 归纳,演绎 58.《九章算术》是我国古代的一本数学名著。“算”是指（ ），“术”是指（ ）。 D. 算筹、解题方法

59.《几何原本》的理论体系并不是完美无缺的,比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在（ ）中起什么作用。 D. 逻辑推理

60. 从16世纪开始，自然科学研究的中心问题是运动，科学家们相信对各种运动过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究可以用数学来描述。因此，作为运动着的量的一般性质及各个数量之间存在着相依而变的规律，科学家们引出了数学的一个基本概念（ ）。 D. 函数

61.初等数学都是以（ ）为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象，对于运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。

B. 不变的数量和固定的图形 62.就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等是数学思想方法的几次重要突破。代数形成解决了具有复杂（ ）的问题，变量数学创立刻划了（ ）的事物与现象，随机数学出现揭示了（ ）背后所蕴涵的规律。

D. 数量关系，运动与变化，随机现象

63.代数不但讨论正整数、正分数和零，而且讨论负数、虚数和复数。其特点是用（ ）来表示各种数

A. 字母符号

64. 第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。而这场争论是指（ ）。

B. 无穷小量究竟是不是零

65. 算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种（），并依据问题的条件列出用（ ）表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 D. 已知数据，已知数据

66.人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象；另一类是随机现象。随机现象并不是杂乱无章的现象，当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性。于是，一种专门适用于分析随机现象的数学工具——（ ）诞生了。

B. 概率理论与数理统计

67.变量数学产生的数学基础应该是（ ），标志

是（ ）。

C. 解析几何、微积分

68.第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自（ ）的发现起，到公元前370年左右，以（ ）的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派。 A.

69.代数学形成过程经历了漫长过程：（ ）。 B. 文字代数，简写代数，符号代数

70.客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构：（ ）,然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构。可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。

C. 代数结构、序结构和拓扑结构

71.哥德尔不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是（ ）的，它必定包含某些

系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。 A. 自洽

72.公理方法就是从（ ）出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。 A. 初始概念和公理

73.第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的（ ），促使了数理逻辑这门学科诞生，其中，十九世纪七十年代康托尔创立的（ ）是产生危机的直接来源。 B. 数学化集合论

74.公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：（ ），用它们建构起来的理论体系典范分别对应的是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。

D. 实质公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段

75.罗素悖论引发了数学的第三次危机，它的一个通俗解释就是理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”现在的问题是：如果理发师的胡子长了，他能给自己刮脸吗？（ ）

C. 无结果

76.为避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行逻辑上、哲学上的思考，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。随着对数学基础的深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派：（ ）。

D. 逻辑主义、直觉主义、形式主义

77.自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有（ ），定量研究揭示研究对象具有某种特征的（ ）。

A. 某种特征数量状态

78.哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们：真与可证是两个概念，（ ）。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。

C. 可证的一定是真的，但真的不一定可证 79.强抽象就是指通过把—些（ ）加入到某一概念中而形成（ ）的抽象过程。 A. 新特征新概念

80.弱抽象又称“概念扩张式抽象”，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。这时，原型成为新的概念或理论的（ ）。 A. 特例 81. 例如，“等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→三角形”这是一个（ ）过程。 弱抽象

82.概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个（ ）。 D. 属概念 83. 例如，“菱形→等边四边形→平行四边形→四边形”这是一个（ ）过程。 A. 强抽象

84.人们在思维中，抽象过程是通过一系列的（ ）的思维操作实现的。 C. 比较、区分、舍弃和收括

85.抽象是对同类事物抽取其（ ）的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。 D. 共同

86. 一个概括过程包括（ ）等几个主要环节。 D. 比较、区分、扩张和分析

87. 概括就是把同类事物的（ ）联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。 B. 共同属性

88.抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有（ ）。

A. 种属关系

89.猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行（ ），或者是根据一类事物中的个别事物的属性对该类事物的共同属性进行（ ），这样的思维方法叫做猜想。 D. 推测、推测

90.人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（ ）。

A. 类比猜想

91.人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（ ）。 C. 归纳猜想法

92. 数学猜想具有两个明显的特点：（ ）与（ ）。

B. 科学性、推测性

93.完全归纳法是根据对某类事物中的（ ）的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。 C. 每一对象

94.反驳反例是用（ D ）否定（ ）的一种思维形式。P81 D．特殊 一般

与A相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由A＇所导出的结论B＇，它包含的内涵一般也会比较多。②把信息B＇反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B就会比较容易一些。③若解决问题A仍有困难，则可对A再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B，使问题A得以解决。

30．变量数学产生的意义是什么？p21 答：（1）变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具；

（2）变量数学的产生，促进数学自身的发展和严密； （3）变量数学的产生，是辩证法进入了数学。 31．简述类比的含义，数学中常用的类比有哪些？p75-77

答：类比是指一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。常称这样的思维方法为类比法推理，也称类比推理。

类比的类型有：表层类比（形式或结构上的简单类比）、深层类比（方法或模式上的纵向类比）、沟通类比（各分科之间的类比）。 32．简述计算工具的发展。p114-116

答：计算工具的发展大致经历了：古代的计算工具；机械式计算工具；电动式计算机；机电式计

算机；电子计算机。

33．简述小学数学加强数学思想方法教学的重要性，具体表现？p185（p307） 答：（1）数学思想方法是知识向能力过渡的桥梁； （2）人的数学智能依赖于数学思想方法的掌握；

（3）数学思想方法能有效地提高人的思维品质；

（4）数学思想方法能有效地促进人的全面发展。

34．简单说明社会科学数学化的主要原因。p50-51

答：主要原因有：

第一，社会管理需要精确化的定量数据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素；

第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化；

第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合社会历史现象的新的数学分支；

第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 35．模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系p244

答：模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是相互适应并相互促进的。各个数学模型间虽然有一定联系，但它们更具有相对独立性。一个数学模型的建立与其他数学模型之间并

不存在逻辑依赖关系，正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模型。而一定的算法必与一定的数学模型相匹配。另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型只有寻找现实原型、立足于现实问题的研究，不可能产生封闭式的演绎体系。

36．算术与代数的解题方法基本思想有何区别？p12-13

答：算数解题方法的基本思想是：首先围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。这种方法的关键之处是列算式，但面临较为复杂的数量关系的实际问题时，列算式方法较笨拙，也难以解决问题，因此代数产生。

而代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变化求出未知数的值。

37．为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？p292

答：因为运用书香模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费昂贵。所以常常先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解

间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路，因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。

38．为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？p300（p156）

答：数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。

39、试对《九章算术》思想方法的一个特点算法化内容加以说明？

《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到其他同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案，书中的“术”就是算法。

40、简述确定性现象、随机现象的特点，以及确定性数学的局限性？

人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象。其特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果 另一类是随机现象，其特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。 在数学学科中，人们常常把研究决定性

现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。

但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。

41、简述用MM数学模型解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表述？

用MM方法解决实际问题的基本步骤为（1）从现实原型抽象概括出数学模型；（2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解；（3）下数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，便得到实际问题的解答。

MM方法解题的基本步骤框图表示如下： 什么是数学模型方法？

问题的一般数学方法，简称答：所谓数学模型方法是利用数学模型解决MM方法。

42、运用方程模型解答应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”，“用两种不同方法表示同一个量”，“方程个数和未知量个数相等”这三个要点，这是为什么，请阐述你的理解。 设想问题已经解出，即在列式时将未知量与已知量同等对待。这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。在算术列式中，未知量只能列在等号左边，且系数必须为1，已知量只能在等号右边出现。已知量与未知量的地位截然不同，因此列式比较困难，而在方程列式中，已知量与未知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易多了。

“用两种不同方法表示同一个量”这是列方程的关键。所谓方程，其实就是用两种不同的方法表示同一个量，并用等号联结起来。

“方程个数和未知量个数相等”是为了得到确定的解，这里有一个自由度的思想，当方程个数少于未知量个数时，就会出现不定方程（组），这时方程（组）的解一般会有无穷多个。 43

、以“认识长方形对边相等”为内容，设计一个教学片断。（要求（1）教学过程要比较具体，合理具有一定的层次（2）要有与数学知识教学相联系的本课程所学习的数学思想方法教学内容，不少于300字。

将教学过程设计成四个层次：

（1）让学生说一说，我们周围有哪些长方形物体？学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。

（2）要求学生仔细观察：看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？学生经过观察后，会猜想：长方形相对的两条边长度相等。

（3）教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边长短相等呢？这时，学生会想出许多办法，如：用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体*作，确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书：长方形对边相等。接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。 （4）巩固长方形对边相等的认识。 利用多媒体展示下面的长方形： 师：如何填写括号内的数字？为什么

要求学生会用“因为 所以”句式回答。如因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是4厘米，所以它的对边也是4厘米。 44想，并且比较、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思 它们的区别。

答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量， 收集和整理各种已知的数据，并依据

问题的条件列出关于这些具后通过四则运算求得算式的结果。 体数据的算式，然

的条件组成内含代数解题方法的基本思想是： 已知数和未知数的代数式，并首先依据问题按等量关系列出方程，然后通过对等变换求出未知数的值。

方程进行恒已知的量，它们的区别在于算术解题参与的量必须是算术方法的关键之处是列算式，而而代数 解题允许未知的量参与运算；关键之处是列方程。

代数方法的45.叙述抽象的含义及其过程。

答：抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较，点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不就是在思维中确定对象之间的相同点和不同同点在思维中固定下来，同的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思利用它们把对象分为不维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。 46、概括的含义及其过程。

所研究各部分事物得到的一般的、答：概括是指在认识事物属性的过程中，本质的属性联把系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。

经验概括是从事实出发，概括通常可分为经验概括和理论概括两种。以对个别事物所做的观察陈述为基础，特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认上升为普遍的认识——由对个体识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的

认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。

等几个主要环节一个概括过程包括比较、

区分、扩张和分析47、简述公理方法历史发展的各个阶段 的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象第一个具体的公理体系就是欧几里得的非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。《几何原本》。特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先希尔伯河，系表述出来的，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体作为研究和表述手段。现代科学也尽量采用形式公理法

48、简述化归方法并举例说明。

为转化和归结的意思。数学方法论中所论及的答：所谓“化归”，从字面上看，应可理解“化归方法”问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解是指数学家们把待解决或未解决的决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。例如：要求解四次方程方程 这个方程我们会求其解：可以令 ，将原方程化为关于 和 ，从而得到 的二次两个二次方程：解它们便得到原方程的解： 和 这也是我们会求解的方程，用的就是化归方法。

， ， ， .这里所49、简述计算和算法的含义。

得未知数的过程，是一种最基本的数学思想方答：计算是指根据已知数量通过数学方法求法。随着电子计算机的广泛应用，计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面：动了数学的应用；(1)推(3)促进了数学自身的发展。(2)加快了科学的数学化进程；

算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一

所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一步地进行操作，就能引导到问题的解决。在一个算法中，每一个步骤必须规定得精确和明白，不会产生歧义，问题后必须结束。并且一个算法在按有限的步骤解决

或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的数学中的许多问题都可以归结为寻找算法许多问题的解决有着决定性作用。另外，算法在日常生活、义。社会生产和科学技术中也有着重要意个方面：算法在科学技术中的意义主要体现在如下几(1)用于表述科学结论的一种形式；(2)作为表述一个复杂过程的方法；动的一种手段；(3)减轻脑力劳段；(5)作为一种基本的数学工具。(4)作为研究和解决新问题的手

50.简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。 数学中的许多概念的定义是分类给出的，答：数学教学中引起“分类讨论”的原因有：因此涉及到这些概念时要分类讨论；质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要数学中有些运算性分类讨论；有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论；许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。论。因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨

51.简述《国家数学课程标准》的几个主要特点。 容；把“数学化”作为数学课程的一个目标；把答：把“现实数学”作为数学课程的一项内“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会；把“问题解决”作为数学教学的一种模式；把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。思想方法；把“数学活动”作为数学课程的一个要求学生掌握基本的数学方面。强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”；把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的

过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”；把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。

52．简述数学模型在数学教学中的作用。 答： 数学模型在数学教学中的作用主要有三方面：①其一是构造数学模型解决实际问题。求解某些应用问题时，况创设条件构造数学模型，常常需要我们根据实际情然后通过求解数学模型的解获得实际问题的解。应用。有某种确定的数学结构，如果根据问题的条件可以判断所求结果具②其二是数学模型的那么可直接应用该数学模型解题。③其三是数学模型之间的相互转换。某些不同的数学模型之间具有同构关系，往可以通过将一种模型转换成另一种模型，我们往题的求解更加容易。

使问五、论述题

1、论述社会科学数学化的主要原因。 答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必为有下面四个方面： 然的趋势，其主要原因可以归结

是促使社会科学第一，社会管理需要精确化的定量依据， 数学化的最根本的因素。 这会科学理论体系第二，社会科学的各分支逐步走向成熟， 的发展也需要精确化。 社些适合研究社会第三，随着数学的进一步发展， 历史现象的新的数学分支。它出现了一 杂社会现象经过第四，电子计算机的发展与应用， 量化后可以进行数值处理。使非常复 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 无理数，导致答：第一次数学危机促使人们去认识和理解 了公理几何与逻辑的产生。

理论，导致了分析第二次数学危机促使人们去深入探讨实数产生。

基础理论的完善和集合论的悖论，第三次数学危机促使人们研究和分析数学导致了数理 逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新这也反映出矛盾斗争是事物发 的进展，甚至引起革命性的变革，一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 展的历史动力这 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。3

用不完全归纳法的例子。、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应

答：不完全归纳法的一般推理形式是： 设S= ；

有属性 可能具有属性p，因此推断由于具有属性p，具有属性p，??具p。

S类事物中的每一个对象都4性？、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠

答：类比推理通常可用下列形式来表示： A具有性质 B具有性质

因此，B也可能具有性质。 其中，分别相同或相似。

欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件： 些；与B(2)(1)A的主要属性；这些共同与B共同(或相似(或相似)的属性尽可能地多

)的属性应是类比对象A象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对

类型。

(4)可迁移的属性d应该是和属于同一可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然 5、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。 都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种答：归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。 是运用归纳法得到的猜想，归纳猜想与类比猜想的不同点是：归纳猜想的推理形式，其思维步骤为“特例—归纳—猜是一种由特殊到一般测”。类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想—类比—猜测”。

6.性。试述小学数学加强数学思想方法教学的重要

答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。的解决有着重要的作用。(2)数学思想方法对数学问题的教学是以学生发展为本的必然要求。(3)加强数学思想方法 7、简述数学思想方法教学应注意哪些事项？ 答：数学思想方法教学应注意以下事项：数学思想方法的教学纳入教学目标；

(1)把29数学思想方法教学的目标；．重视数学知识发生、发展的过程，认真设计30．做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固

工作；31注意不同数学思想方法的综合应用。．不同数学思想方法应有不同的教学要求；

(5)

8．论述《几何原本》和《九章算术》思想方法的特点。p3-5 p7-9 答：《几何原本》思想方法上的特点：(1)封闭的演绎体系。 《几何原本》就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点、线、平面等等，和不证明的命题——公理与公设——出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在《几何原本》的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，《几何原本》的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。 (2)抽象化的内容。《几何原本》以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些现实原型。(3)公理化的方法。作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。

它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系，通

常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。

《九章算术》思想方法的特点：(1)开放的归纳体系。《九章算术》的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型采解决的多种应用问题。通过九章的内容，可以看出它是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系，通过这些章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提出来的各种计算问题。(2)算法化的内容。在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注、校基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。(3)模型化的方法。方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。

9.你认为素质教育应包含哪些方面？数学思想方法对人的素质有什么作用？p185-187 答：（1）素质教育包含：思想道德素质、科学文化素质、心理健康素质和劳动技能素质。

（2）1．数学教育不仅对于提高人的科学文化素质有着重要作用，而且对于提高政治素质和心理健康素质也有着不可忽视的作用。

2．在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法，而不是具体的数学知识。数学思想方法在数学创造和推动人类文化发展中有着巨大的作用。因此，在数学教育中我们应该十分重视数学思想方法的教学。

3．数学素质四要素。(1)知识观念。能用数学的观念和态度去观察、解释和表示事物的数量关系、空间形式和数据信息，以形成良好的数感和量化意识；(2)创造能力。通过解决日常生活和其他学科的问题，发展提出数学模型、了解数学方法、注意数学应用的创造型数学能力，井形成忠诚、坚定、自信的意志品格；(3)思维品质。熟悉数学的抽象概括过程，掌握数学中逻辑推理方法，以形成良好的思维品质和合理的思维习惯；(4)科学语言。作为一种科学的语言，数学也是人际交流不可缺少的工具，数学素质应包括初步运用这种简捷、准确的语言。

10.结合教材的第11、12章，谈谈目前你所在的小学其数学教育教学情况及改革设想。

1.以教师的教为中心，忽视学生的主体作用。 1、 以传授知识为本位，忽视培养学生的能力。 3、以完成教案为目的，忽视教学方法的改革。 （一）、注重对学生数学学习过程和结果的评价 （二）、恰当评价学生基础知识和基本技能 （三）、重视评价学生发现问题、解决问题的能力 （四）、评价主体和方式要多样化

总之，每种评价方式都有自己的特点，评价时应结合评价内容与学生学习的特点加以选择。这样才能使课堂具有发展性，充满生命力。

11.．(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？p75

答：(1)类比是指一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。常称这样的思维方法为类比法推理，也称类比推理。

(2)类比推理表现形式：

A具有性质a1,a2,?,an及d； B具有性质a'1,a'2?，a'n； 因此，B也可能具有性质d'.

其中，a1与a'1，a2与a'2，?an 与a'n,d与d'分别相同或相似。

（3）欲增加由类比作出的结论的可靠性，应尽量满足下列条件：

1、A和B共同（或相似）的属性尽可能多些； 2、这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；

3、这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的； 4、可迁移的属性d应该是和a1,a2,?an属于同一类型。

12.结合自己的教学经验，谈谈目前的数学课程改革呈现的特点。p189

答：第一，把“现实数学”作为数学课程的一项内容。《数学课程标准》提供了“现实数学”的“案例”。

第二，把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实数学进一步提高、抽象的过程。

第三，把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会。把传统的“听中学”与“看中学”变为主动的、活动的“做中学”和“玩中学”，为学生创造情境。

第四，把“问题解决”作为数学教学的一种模式。“问题解决”的教学模式，即：情境——问题——探索——结论——反思。

第五，把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线，提出基本的数学思想方法，如观察法、模型方法等；

第六，把“数学思想方法”作为数学课程的一个方面。《课》强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们获得广泛的数学活动的经验；

第七，把合作交流看成学生学习数学的一种方式，让学生在解决问题的过程中学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结论；

第八，把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。

13.作为数学教师，你认为在小学数学教学中应该如何加强数学思想的渗透？p192-193

答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质具有十分重要的作用，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学渗透。

首先，要充分挖掘教材中的数学思想方法。比如，在进行加法结合律的教学中，可进行从特殊到一般的归纳概括，并及时介绍这种基本而又常用的思想方法。

其次，要有目的、有意识、有计划、有步骤地孕育有关数学的思想方法。在进行教学时，一般可以从教学内容中所蕴含的数学思想方法去考虑孕育或解释这些数学思想方法，明确学生在什么层次上把握数学思想方法。然后进行合理

的教学设计，从教学目标的明确、问题的提出、情境的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有目的、有意识地进行数学思想方法的教学。

实践表明，数学思想方法与数学知识是数学学科中两个不可分割的范畴。它们之间相互影响，相互促进。在教学中应抓住契机，适时地挖掘和提炼，促使学生去体验、运用思想方法，建立良好的认知结构和完善的能力结构。

14.简述数学思想方法教学的主要阶段。 次孕育、初步理解和简单应用三个阶段。答：数学思想方法教学主要有三个阶段：

多

15.简述数学思想方法教学的几个主要阶段。p198-199

答：学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。

数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段，三个阶段相互依赖、相互促进、不可或缺。对此，可从下列几个方面加以理解：

第一、多次孕育阶段。数学思想方法教学的多次孕育阶段，是根据学生学习数学思想方法存

在潜意识阶段而设计的。因为潜意识的作用是缓

慢的、渐进的，所以要反复孕育，而且对于复杂的、难度较大的思想方法，孕育的次数也相应多些。如，在教学化归方法时，我们

可以采取： 首先在教“平行四边形面积”时孕育化归方法。要求学生通过把平行四边形化为长方形，再利用长方形的面积公式来推导出平行四边形的面积公式。 在教“三角形面积”时进一步孕育化归方法。要求学生将三角形化为平行四边形，利用平行四边形的面积公式导出三角形的面积公式。

第二、初步理解阶段。数学思想方法教学的初步理解阶段，是根据学生学习数学思想方法存在明朗化阶段而设汁的。当学生对某种数学思想方法的感性认识和经验已经比较丰富了，我们就可以正面地、直接地介绍某种数学思想方法，并要求学生初步掌握该方法解决问题的要领。如，经过前面多次孕育后，在教学：‘加法和乘法交换律’’时，我们引领学生对一些特殊的例子进行观察、归纳、提出猜想(交换律)和验证猜想(交换律)，使他们亲历了用归纳猜想方法获取新知识的过程，再让学生初步理解归纳猜想方法就是水到渠成。

第三、简单应用阶段。数学思想方法教学的简单应用阶段，是根据学生学习数学思想方法存在深化理解阶段而设计的。这个阶段主要是为学

生应用已经初步形成的思想方法创造条件，力求使学生在解决问题的实践过程中逐步深化对数学思想方法的理解。如，当学生初步理解归纳猜想方法后，引导学生猜想减法和除法是否有交换律，要求学生自己进行归纳猜想和验证猜想，从而使学生加深了对归纳猜想方法的理解和认识。

16.几何原本》思想方法的特点，为什么？

答：（1）封闭的演绎体系

因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，均是公设、公理或前面已经证明过 每个定理的证明所采用的论据且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻 的定理，并辑上

东西。因此《几何原对概念下定义的要求，系。

本》是一个封闭的演绎体原则上不再依赖其它社会生产现实生另外，《几何原本》 活有关的应用问题，因此对于的理论体系回避任何与社会生活的各个领域来说，它也是以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。 封闭的。所 的对象都是抽象的概念和命题，它所探（2）抽象化的内容 ：《几何原本》 中研究讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，念和命题不讨论这些概些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何 与社会生活之间的关系，也不考察这原本》的内容是抽象的。

（3）公理化的方法：《几何原本》的第一篇中开头题证明的基本前提，接着给出5个公设和5个公理，是全书其 它命再逐步引入 和证明定理。定理的引入是有序的，

23个定义，然后在一个定理的证明中，和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇允许采用的论据只有公设了不再给出公设和公理外也都照此办理。 除理知识体系与 表述方法就是公理化方法。这种处 17.分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 答：（1）开放的归纳体系：从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成体例编纂而成的书，密联系的开放 体系。因此它是一个与社会实践紧 的

在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一算法综合起来，得到解决该领域中 类问题的一般解法；再把各类方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全 各种问题的部综 合起来，就得到整个《九章算术》。 另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些再以数学模型立章写入《九章算 方法中提炼出数学模型，最后《九章算术》是一个开放的归纳体系。 术》。 因此，（2）算法化的内容 ：《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的 个问题都共同解思想方法上的特点之 法。因此，内容的算法化是《九章算术》 一。

（3）模型化的方法 ：《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使 型意义的现实其转 化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过后再举出可以应用的原型。 程，即先给出数学模型，然

19.学片断。用下列材料，请你设计一个“数形结合”教

材料：如图13-3-18所示，相邻四点连成的小正方形面积为组成下面12个图形，你发现有什么排列规律？

1平方厘米。(1)分别连接各点，

(2)数以及各图形的面积，找出一周的点子数、中间求出各图形外面一周的点子数、中间的点子(7) 8 1 4 的点子数、各图形的面积三者之间的关系。 (8) 14 1 7 教学片断设计如下：

(9) 4 2 3 一、找图的排列规律

(10) 6 2 4 生可以讨论）师：同学们看图，

找出图的排列规律来。（学(11) 8 2 5 (12) 14 2 8 第二行的图中间有一个点，生：老师我们发现，第一行的图中间没有点，个点。

第三行的图中间有两四、寻找每一列三个数之间的规律 师：非常好！

间的关系。告诉同学们，希望找到相同的规律。师：我们根据这个表，找一找每列三个数之

二、数一数每个图周边的点数

生：第一列，边点数等于面积乘以4。 并将结果填入下列表中。（师生一起数）师：现在我们来数一数每个图周边的点数。

师：这个规律能否用到第二列呢？ 三、计算面积

生：不能，因为6不等于2乘以4。 师：数完边点数，我们再来计算每个图的面积。结果也填入表中。（师生一起计算面积，过于1。生

2：第一列，边点数除以2，减去面积等程略）

师：好！看看这个规律能否用到第二列？ 图形 边上内部面 积 点数 点数 生：能。还能用到第三、第四列。 ⑴ 4 0 1 生2：老师，这个规律不能用到第五列。 (2) 6 0 2 怎样改一改。师：很好！ 我们看看这个规律到第五列可以3) 8 0 3 再减去面积等于生：我发现了，1。边点数除以

2，加上内点数，(4) 14 0 6 (5) 4 1 2 列都具有这个规律。师：非常好！大家一起算一算，

是不是每一(6) 6 1 3 五、总结 师：我们把发现的规律总结成公式：

边点数/2＋内点数－面积＝1 也可以写为：

边点数/2＋内点数－1＝面积

20.、假定学生已有了除法商的不变性知识和经验，育“类比法”教学片断。在学习分数的性质时，

请你设计一个孕作探究的形式，提示：所设计的教学片断要求(1)以小组合除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关让学生举例说明除法的被除数和系系(相似关系)？商与分数又有什么关系(相似关的倍数其商不变相似的结论又是什么呢？。)？那么与被除数、除数同时扩大或缩小相同。。。。

教学片断设计如下：

一、回忆除法和分数的有关概念

师：同学们还记得除法的哪些概念和记号？ 生：被除数÷除数＝商

师：对。我们再回忆分数的概念和记号。 性。

师：好。大家一起来比较这两个概念的相似比分母。生：

商好比分数，被除数好比分子。除数好二、回忆除法的性质

师：很好。现在我们回忆除法有哪些性质。 生：被除数与除数同时扩大，商不变。 生2：被除数与除数同时缩小，商也不变。 三、类比出分数的性质

师：对。刚才我们知道商好比分数，因此我

B 们可以问：除法的这些性质是否可以类比到分数上来呀？

性质(三)：A÷B分数的性质(三)： ÷C=A÷(B×C) 生：可以。

性质(四)：(A分数的性质(四)： 师：应该怎样类比呢？

÷B)÷(C÷D)= 生：分子与分母同时扩大，分数不变。 (A×D)÷(B×C) 生2：分子与分母同时缩小，分数不变。 四、总结成公式

21.小学数学数形结合思想

师：很好！这些性质怎样用公式表示呢？ 一、数形结合的思想方法

生：可以列表如下： 数与形是数学教学研究对象的两个侧面,把除 法 分 数 数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题,就是数形结合思想。“数形结合”可以借除法的表示：A分数的表示： 助简单的图形、符号和文字所作的示意图,促进÷B 学生形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学性质(一)：若M分数的性质(一)：若M≠0，则 知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本≠0，则(A×M)质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则,÷(B×M)= A÷也是小学数学教材的一个重要特点,更是解决问B 题时常用的方法。

性质(二)：若M分数的性质(二)：若M≠0，则 例如,我们常用画线段图的方法来解答应用≠0，则(A÷M)题,这是用图形来代替数量关系的一种方法。我

÷(B÷M)= A÷们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等,这些都体现了数形结合的思想。

二、集合的思想方法

把一组对象放在一起,作为讨论的范围,这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象,如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象,这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想,在小学数学中就有所体现。在小学数学中,集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性,可以看作一个整体,这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系,如长方形集合包含正方形集合,平行四边形集合包含长方形集合,四边形集合又包含平行四边行集合等。

三、对应的思想方法

对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握,是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来,渗透对应思想。如人教版一年级

上册教材中,分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后,进行多少的比较学习,向学生渗透了事物间的对应关系,为学生解决问题提供了思想方法。

四、函数的思想方法

恩格斯说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道,运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中,教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想,注意渗透函数思想。

函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》,发现加数的变化引起的和的变化的规律等,都较好的渗透了函数的思想,其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。

五、极限的思想方法

极限的思想方法是人们从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种数

学思想方法,它是事物转化的重要环节,了解它有重要意义。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时,教师可让学生体会自然数是数不完的,奇数、偶数的个数有无限多个,让学生初步体会“无限”思想;在循环小数这一部分内容中,1÷3=0.333??是一循环小数,它的小数点后面的数字是写不完的,是无限的;在直线、射线、平行线的教学时,可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

六、化归的思想方法

化归是解决数学问题常用的思想方法。化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过

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