文刀川页丛书全国各地中考数学压轴题专集（含答案）

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全国各地中考数学压轴题专集

2009年全国各地中考数学压轴题专集

1．（北京市）在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）．

（1）在图1中画图探究：

①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1，判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2，判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论． （2）若AD＝6，tanB＝

4，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x之间的函数3关系式，并写出自变量x的取值范围．

F F

A A D D E E

B C B C 图1 图2（备用） 2．（北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)， C(0，43)，延长AC到点D，使CD＝

1AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E． 2（1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线y?kx?b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA

到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

y E D

C

1 A O 1 B x

3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放

1

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置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

y B O A x

y B （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′′，且使B′′D∥OB，求此时点C的坐标． O A x

y

B

O A x

2

4．（天津市）已知函数y1＝x，y2＝x＋bx＋c，α，β为方程y1－y2＝0的两个根，点M(1，T)在函数y2的图象上．

11（Ⅰ）若α＝，β＝，求函数y2的解析式；

23（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为

1时，312求t的值；

（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由． 5．（上海市）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

2

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（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

y 4 3 2 1 y＝x＋b C D M

A B x O 1 ?1 6．（上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQAD（如图1所示）． ＝

PCAB（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

（2）在图1中，联结AP．当AD＝

S△APQ3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△PBC2＝y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

A D A D A D P P

P

Q B B C C B (Q) 图1 图2 图3

Q

C

7．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC

6交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO

5是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交

点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y

3

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8．（重庆市江津区）如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．

2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周

长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出

点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

9．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y＝a(x－1)＋33(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t

2

y C B O A x 4

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（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个

长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长． y M D C

P A x O Q B 10．（江苏省）如图，已知二次函数y＝x－2x－1的图象的顶点为A，二次函数y＝ax＋bx的图象与

22

x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x－2x－1的图象的对称轴上．

2

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax＋bx的关系式．

y 2

y＝x－2x－1

22 1

1 2 -1 O

-1

-2 A 11．（江苏省）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； 1（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交

2于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB． ① 当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ② 当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

y 3 x E 12．（浙江省杭州市）已知平行于x轴的直线y＝a(a≠0)与函数

P O D A C B M x y＝x和函数y＝

1的图象分别交于点A和点B，又有定点P(2，0)． x1，求线段AB的长； 9（1）若a＞0，且tan∠POB＝

8（2）在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段AB＝，且在它的对称轴左边

3 5

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时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y＝

1x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正2方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

92

x的图象，求点P到直线AB的距离． 5

y 1 y ＝4 x3 2 1 y＝x -2 -1 -1 -2 O 1 P（2，0） x 13．（浙江省台州市）如图，已知直线y＝－（1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

y

D

C

A O x B E

1 y??x?12

14．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（33，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒． （1）求∠ABC的度数； y F （2）当t为何值时，AB∥DF； C B （3）设四边形AEFD的面积为S．

6 D 我们共同努力！ O A E x ? 文刀川页丛书

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y＝－x＋mx经过动点E，当S＜23时，

2

求m的取值范围（写出答案即可）．

15．（浙江省湖州市）已知：抛物线y＝x－2x＋a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝

2

12x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）； （2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，

连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y＝x－2x＋a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是

2

平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

y y

C C

N N N′ O O B D x B x

A A

M M

备用图

2

16．（浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点A（－4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax上．

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出

点Q的坐标；

2

（2）平移抛物线y＝ax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（－2，0）和

点D（－4，0）是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB′最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，

求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

A y 8 6 4 2 D C B 2 4 x -4 -2 O -2 -4 17．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形OABC的形状是_______________，

BP当α＝90°时，的值是____________；

BQ

y A′ B P α B′ C Q 7

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C′ x A O ? 文刀川页丛书

（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求

BP的值； BQ②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求ΔOPB′的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝

1BQ？2若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y y y B′ A′ B C B C B′(Q) B A′ C Q

P P

C′ A O x A O x A O x C′ 图2 图3 备用图

18．（浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）． （1）当t＝4时，求直线AB的解析式；

（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；

（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存

在，请说明理由．

y y

A A

D

C M

x x O B O

备用图

19．（浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，若F1：y＝x，经过变换后，得到F2：y＝x＋bx，点C的坐标为（2，0），则

22

①b的值等于__________； ②四边形ABCD为（ ）；

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F1：y＝ax＋c，经过变换后，点B的坐标为（2，c－1），求△ABD的面积；

1227（3）如图3，若F1：y＝x－x＋，经过变换后，AC＝23，点P是直线AC上的动点，求点P

333

2

到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

y y F1 D F2 y F1 F2

D P A C F1 F2

我们共同努力！ D 8 ? 文刀川页丛书

20．（浙江省嘉兴市）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x． （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

C （3）探究：△ABC的最大面积？

M A B N 21．（浙江省义乌市）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x＋1图像的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y＝x＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；

k（2）若某函数是反比例函数y＝（k＞0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）

x在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数的解析式；

（3）若某函数是二次函数y＝ax＋c（a≠0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐

2

标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？

__________．（本小题只需直接写出答案）

y y＝x＋1 y y 4 3 2 1 (3,4) D C O A x O x x 3 2 -⊥1 0 22．（浙江省丽水市）如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作-CDAC1 交2 AB于点D．B （1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (1)A题图第 (2)题图 （2）求证：BC第是过，D ，C三点的圆的切线；第(3)题图 （3）若过A，D，C三点的圆的半径为3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

A D B C 23．（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），

9

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（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．

（1）填空：菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________； （2）探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．

2 y D E A O C x B 2

2

24．（浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：抛物线y＝ax＋bx＋c经过点（－1，1），且对于任意的实数x，有4x－4≤ax＋bx＋c≤2x－4x＋4恒成立．

（1）求4a＋2b＋c的值． （2）求y＝ax＋bx＋c的解析式．

2

（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值． 25．（浙江省奉化市保送生考试）如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA?没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm． （1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围． （2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．

（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理

由．

B

M

Q

O P A

26．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax＋bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D

运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． ① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写

y 出相应的t值．

2

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A F D G

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