有限元算例分析

一、平面3节点三角形单元分析的算例

如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中力F=10000N作用，材料常数为：弹性模量

E?1?107Pa、泊松比??

移及支座反力。

1

，板的厚度为t?0.1m，试按平面应力问题计算各个节点位3

解：

（1） 结构的离散化与编号

对该结构进行离散，单元编号及节点编号如图4-20(b)所示，即有二个3节点三角形单元。载荷F按静力等效原则向节点1、节点2移置等效。

节点位移列阵：q??u1v1u2v2u3v3u4v4?

TTF?节点外载列阵：F??0?2?约束的支反力列阵：R???0F0?2?0000?

?Ry3Rx4Ry4??

T000Rx3其中(Rx3,Ry3)和(Rx4,Ry4)分别为节点3和节点4的两个方向的支反力。 （2） 各个单元的描述

当两个单元取图示中的局部编码(i,j,m)时，其单元刚度矩阵完全相同，即

ai?xjym?xmyj, bi?yj?ym, ci?xj?xmaj?xmyi?xiym, bj?ym?yi, cj?xm?xi am?xjym?xmyj, bm?yi?yj, cm?xi?xj1???bb?crcs?rsEt2?krs???1??4?1??2?A??crbs?brcs??2 k(1),(2)?kii???kji?kmi?kijkjjkmjkim??kjm?= kmm???brcs?1???crbs?2? 1??crcs?brbs??2?

（3） 建立整体刚度方程

按单元的位移自由度所对应的位置进行组装可以得到整体刚度矩阵，该组装过程可以写成

k?k(1)?k(2)

具体写出单元刚度矩阵的各个子块在总刚度矩阵中的对应位置如下

代入整体刚度方程Kq=P中，有

（4） 边界条件的处理及刚度方程求解

该问题的位移边界条件为u3?0,v3?0,u4?0,v4?0，将其代入上式中，划去已知节点位移对应的第5行至第8行（列），有

由上式可求出节点位移如下

[u1v1u2v2]T?FT?1.88?8.99?1.50?8.42? Et（5） 支反力的计算

将所求得的节点位移式代入总刚度方程中，可求得支反力如下

9Et24(?u1?v1?v2)??2F 32339Et214Ry3?(?u1?v1?u2)??0.07F

323339Et2Rx4?(?u2?v2)?2F

3239Et21Ry4?(?u2?v2)?1.07F

3233Rx3?

二、MATLAB—平面3节点三角形单元分析的算例(Triangle2D3Node)

解：

（1） 结构的离散化与编号

将结构离散为二个3节点三角形单元，单元编号及节点编号如图4-20(b)所示。 （2） 计算各单元的刚度矩阵(以国际单位)

首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E、泊松比NU，薄板厚度为t，平面应力问题性质指示参数ID，然后针对单元1和单元2，分别调用两次函数Triangle2D3Node_Stiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1(6×6)和k2(6×6)。

（3） 建立整体刚度方程

由于该结构共有4个节点，则总共的自由度数为8，因此，结构总的刚度矩阵为KK(8×8)，先对KK清零，然后两次调用函数Triangle2D3Node_Assembly进行刚度矩阵的组装。

>>KK = zeros(8,8);

>>KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,2,3,4); >>KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k2,3,2,1) KK =

1.0e+006 *

0.6563 0.3750 -0.3750 -0.1875 -0.2813 -0.1875 0 0 0.3750 1.2188 -0.1875 -1.1250 -0.1875 -0.0938 0 0 -0.3750 -0.1875 0.6563 0 0 0.3750 -0.2813 -0.1875 -0.1875 -1.1250 0 1.2188 0.3750 0 -0.1875 -0.0938 -0.2813 -0.1875 0 0.3750 0.6563 0 -0.3750 -0.1875 -0.1875 -0.0938 0.3750 0 0 1.2188 -0.1875 -1.1250

0 0 -0.2813 -0.1875 -0.3750 -0.1875 0.6563 0.3750 0 0 -0.1875 -0.0938 -0.1875 -1.1250 0.3750 1.2188 （4） 边界条件的处理及刚度方程求解

由图4-20(b)可以看出，节点3和节点4的两个方向的位移将为零，即

u3?0,v3?0,u4?0,v4?0。因此，将针对节点1和节点2的位移进行求解，节点1

和节点2的位移将对应KK矩阵中的前4行和前4列，则需从KK(8×8)中提出，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解，注意：MATLAB中的反斜线符号“\\”就是采用高斯消去法。 >>k=KK(1:4,1:4) k =

1.0e+006 *

0.6563 0.3750 -0.3750 -0.1875 0.3750 1.2188 -0.1875 -1.1250 -0.3750 -0.1875 0.6563 0 -0.1875 -1.1250 0 1.2188 >>p=[0;-5000;0;-5000]; >>u=k\\p u =

0.0188 -0.0899 -0.0150 -0.0842

由此可以看出，所求得的结果为：

u1?0.0188,v1??0.0899,u2??0.0151,v2??0.0842

（5） 支反力的计算

由方程(4-183)可知，在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力；先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(8×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(8×1)，按式(4-179)的对应关系就可以找到对应的支反力。 >>U=[u;0;0;0;0]; >>P=KK*U P =

1.0e+004 * -0.0000 -0.5000 0 -0.5000 -2.0000 -0.0702 2.0000

1.0702

由式(4-179)的对应关系，可以得到对应的支反力为：

Rx3??20000,Ry3??702,Rx4?20000,Ry4?10702

（6） 各单元的应力计算

先从整体位移列阵U(8×1)中提取出单元的位移列阵，然后，调用计算单元应力的函数Triangle2D3Node_Stress，就可以得到各个单元的应力分量。 >>u1=[U(3);U(4);U(5);U(6);U(7);U(8)]

>>stress1=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,2,0,0,1,0,0,u1,ID) stress1 = 1.0e+005 *

-0.8419 -0.2806 -1.5791

>>u2=[U(5);U(6);U(3);U(4);U(1);U(2)]

>>stress2=Triangle2D3Node_Stress(E,NU,0,1,2,0,2,1,u2,ID) stress2 =1.0e+004 *

8.4187 -2.8953 -4.2094

可以看出：计算得到的单元1的应力分量为

?x??84190Pa,?y??28060Pa,?xy??157910Pa；

单元2的应力分量为?x?84187Pa,?y??28953Pa,?xy??42094Pa。

三、ANSYS—平面3节点三角形单元分析的算例

1 基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step)

(1) 进入ANSYS(设定工作目录和工作文件)

程序 → ANSYS Interactive →Working directory (设置工作目录) →Initial jobname(设置工作文件名): 2D3Node→Run → OK

(2) 设置计算类型

ANSYS Main Menu: Preferences… → Structural → OK

(3) 选择单元类型

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete… →Add… →Solid：Quad 4node 42 →OK (返回到Element Types窗口) → Options… →K3: Plane Strs w/thk(带厚度的平面应力问题) →OK→Close

(4) 定义材料参数

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models→Structural →Linear →Elastic→ Isotropic: EX:1.0e7 (弹性模量)，PRXY: 0.33333333 (泊松比) → OK → 鼠标点击该窗口右上角的“??来关闭该窗口

(5) 定义实常数以确定平面问题的厚度

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants… →Add/Edit/Delete →Add →Type 1→ OK→Real Constant Set No: 1 (第1号实常数), THK: 0.1 (平面问题的厚度) →OK →Close (6) 生成单元模型 生成4个节点

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Nodes → On Working Plane

→输入节点1的x,y,z坐标(2,1,0)，回车→输入节点2的x,y,z坐标(2,0,0)，回车→输入节点3的x,y,z坐标(0,1,0)，回车→输入节点4的x,y,z坐标(0,0,0)，回车→OK

定义单元属性

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Elements → Elem Attributes →Element type number:1 →Material number:1→Real constant set number:1 →OK

生成单元

ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling → Create → Elements → User Numbered → Thru Nodes→Number to assign to element:1→Pick nodes:2,3,4→OK→Number to assign to element:2→Pick nodes:3,2,1→OK

(7) 模型施加约束和外载

左边两个节点施加x,y,方向的位移约束

ANSYS Main Menu: Solution → Define Loads → Apply →Structural → Displacement → On Nodes →鼠标选取3，4节点→ OK → Lab2 DOFs to be constrained: UX，UY，VALUE：0 → OK

右边两个节点施加y方向的集中力载荷

ANSYS Main Menu: Solution → Define Loads → Apply →Structural → Force/Moment → On Nodes →鼠标选取1，2节点→ OK → Direction: FY→ VALUE: -0.5e4 → OK (8) 分析计算

ANSYS Main Menu: Solution → Solve → Current LS →OK → Close (Solution is done! ) → 关闭文字窗口

(9) 结果显示

ANSYS Main Menu: General Postproc → Plot Results →Deformed Shape … → Def + Undeformed → OK (返回到Plot Results) → Contour Plot → Nodal Solu … → Stress, Von Mises, Undisplaced shape key: Deformed shape with Undeformed model →OK (还可以继续观察其他结果)

(10) 退出

ANSYS Utility Menu: File→ Exit …→ Save Everything→OK

2 完整的命令流

!%%%%%%% [ANSYS算例]4_7_1(3) %%%% begin %%%%% /PREP7 !进入前处理 !=====设置单元和材料

ET,1,PLANE42 !定义单元类型

KEYOPT,1,3,3 !带厚度的平面应力问题 MP,EX,1,1.0e7 !定义材料弹性模量

MP,PRXY,1,0.33333333 !定义材料泊松比 R,1,0.1 !定义实常数（平板厚度0.1） !------定义4个节点

N,1,2,1,0,,,, !节点1,坐标(2,1,0) N,2,2,0,0,,,, !节点2,坐标(2,0,0) N,3,0,1,0,,,, !节点3,坐标(0,1,0) N,4,0,0,0,,,, !节点4,坐标(0,0,0)

!------设置划分网格的单元和材料类型 TYPE,1 !设置单元类型1 MAT,1 !设置材料类型1

TSHAP,LINE !设置由节点连成直边的单元 !-------生成单元

EN,1,2,3,4 !由4个节点生成一个单元 EN,2,3,2,1 !由4个节点生成另一个单元 !-------施加约束位移

D,3,,,,,,UX,UY,UZ,,, !对3号节点, 完全位移约束 D,4,,,,,,UX,UY,UZ,,, !对4号节点, 完全位移约束 !-------施加载荷

F,1,FY,-0.5e5 !对1号节点, 施加FY=-0.5e5 F,2,FY,-0.5e5 !对2号节点, 施加FY=-0.5e5 !=====进入求解模块 /solu !求解模块 solve !求解

finish !退出所在模块

!=====进入一般的后处理模块 /POST1 !进入后处理

PLDISP,1 !计算的变形位移显示(变形前与后的对照)

!%%%%%%% [ANSYS算例]4_7_1(3) %%%% end %%%%%

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fl3f.html