线代第四章答案

习题4．1

1. 解（1）由(0,0,?,0,0)?V1知，Ｖ１非空．

设??(x1,0,?,0,xn)?V1，??(y1,0,?,0,yn)?V1，k?R 则有， ????(x1?y1,0,?,0,xn?yn)?V1，k??(kx1,0,?,0,kxn)?V1，

向量的加法，数乘满足运算规则（１）－（８）,故Ｖ１是线性空间． （２）由(0,0,?,0,0)?V2知，Ｖ２非空．

设??(x1,x2,?,xn)?V2，??(y1,y2,?,yn)?V2，则有，

x1?x2???xn?0，y1?y2???yn?0．

因为, (x1?y1)?(x2?y2)??(xn?yn)?

(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0

所以????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)?V2；

对k?R 则有kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0， 所以，k??(kx1,kx2,?,kxn)?V2，

向量的加法，数乘满足运算规则（１）－（８）,故Ｖ2是线性空间． （3） 因为，取??(x1,x2,?,xn)?V3有，x1?x2???xn?1,

但2x1?2x2???2xn?2(x1?x2???xn)?2，所以

2??(2x1,2x2,?,2xn)?V3，即V对数乘运算不封闭．

3

故V3不是线性空间．

２．答 (1) 是．由对角阵的性质知，对角阵加对角阵仍然是对角阵，数乘对角阵仍然是对角阵；并且满足运算规则（１）－（８）．

(2) 不是．两个非奇异矩阵相加不一定是非奇异矩阵，因此，非奇异矩阵的集合对加法不封闭．

习题4.2

1A??1,?2,?3,?4?001011000110001?1?01. 解(1)

?1,?2,?3,?4是Ｒ4的一组基．

1A??1,?2,?3,?4?1232542，即?1,?2,?3,?4线性无关，故

32401200??52?0(2)

，即?1,?2,?3,?4线性无关，故

?1,?2,?3,?4是Ｒ4的一组基．

２．解 令??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4 ?

?k1??k1??k1?k?1?k2?k3?k4?1?k1??k2?k3?k4?2?k2 ???k2?k3?k4?1?k3?k?k2?k3?k4?1?4??54411441????

5111故所求坐标为：(4,4,?4,?4) 3. 解 记

?1?A?(?1,?2,?3)?2???12331，

设C为基（１）到基（２）的过渡矩阵，则B=AC，故

?1??1C?AB?2???1??18?5???37?2?12333??7?1??521?13??7?1???3?B?(?1,?2,?3)?1???4?3?1???45211??1???6??521??1??6??

5??3???11???1????41???27??1?9???6????4?712012?41??9?8??

210000850??0?3??2?4解 （a）记

?5?2?A?(?1,?2,?3,?4)??0??0，

?1001???0210?B?(?1,?2,?3,?4)???0021???0001??

设C为基（１）到基（２）的过渡矩阵，则B=AC，故

?5?2?1C?AB???0??0210000850??0?3??2??1?1?0??0??0020001201??1??0?2??1??0??1?=?0?41000?254?101???2??1??3?

（b）??3?1?2?2??3在基（2）下的坐标为：（3，２，１，０）T所以在基（1）下?3???7?????219?C?????1??4?????0?10???? 的坐标为：

习题４.３

１．

解 （1）(?,?)???（2）(?,?)???２． 解

T?(?1,2,?2,1)(?2,2,1,?1)T?3

TT?(3,7,3,?1,2)(?3,0,2,?1,3)22?4

??0?(?2)?1?022222?25

2??(?1)?0?2?(?3)?222222?218 11??３． 解 （1）

（2）

1?(?2)?(?1)?0?2?1?d?????22

22(1?0)?(1?1)?(0?2)?(?2?1)?14

d???? ??(1?(?1))?(?1?1)?(1?(?1))?(?1?1)?(1?(?1))2022222

４．

解 （1）

??,???arccos(?,?)

???1?3?2?1?2?5?3?11?2?2?3?22222222 ?arccos3?1?5?1 ?arccos22??4 （2）

??,???arccos

(?,?)???1?0?0?1?(?1)?0?0?2?1?01?0?(?1)?0?1?22222 ?arccos0?1?0?2?022222 ?arccos0??2

习题４.４

１．

解 设??(x1,x2,x3,x4),则

?(?,?1)?x1?x2?x3?x4?0??(?,?2)?x1?x2?x3?x4?0?(?,?)?x?x?x?x?031234?，

解齐次线性方程组得基础解系，得到方程组的一个解为：??(1,1,1,1)

单位化得２．

???12(1,1,1,1)

解（１）由施密特正交化方法 ?1????1??1?0????1??，

?2?1??1??12?(?1,?2)??1?1?0?1?1?0??????2??1?1?0?1??1?1?0?0?1?1????(?1,?1)1???0???1?????2??，

(?1,?3)(?1,?1)?3??3??1?(?2,?3)(?2,?2)12?2?12???23??0?1?1?(?)?1???2?1?321212????(2)?1?(?2)12???2????3??

12?0??1???1?0?0?1?1?1???1?0???1?1?0?0?1?1?????1???1??单位化得单位正交向量组：

?1?(*12,0,1);2T?2?(*16,26,?1);6T?3?(?*13,13,1)3T

（２）由施密特正交化方法

?1???1?1??1????0????0?，

?1???0(?1,?2)1?1?1?0?0?1?0?0??2??1?????1?1?1?1?1?0?0?0?0(?1,?1)???0?(?1,?3)(?1,?1)

?2?1??12????1?1?????2??0??1??????0??0?，

?3??3??1?(?2,?3)(?2,?2)?2?12??1???(?1)?(?1)?0?1?0?0?12?2?22212?1?(1)?(?)?1?022??0????1??1?????011?(?1)?1?0?0?0?1????? ???0?1?1?1?1?0?0?0?0?0?????1???0???13??1?3? ???13???1??12?4??4?(?1,?4)(?1,?1)?1?(?2,?4)(?2,?2)?2?(?3,?4)(?3,?3)?3?1????1?????1????1?

单位化得单位正交向量组：

?12??1??2??;??0????0???16?????2?6?0???16??;?????112?1?12??1?12?3?12????;????12???????1??2?1?2?1?2????1*?2*?3*?4*

３．

证明 设Q1，Q2，…，Qm为ｍ（有限）个同阶正交矩阵；

T

（Q1Q2…Qm）（Q1Q2…Qm）

=（Q1Q2…Qm）(QmT…Q2TQ1T) = Q1Q2…(QmQmT)…Q2TQ1T

TTT

=Q1Q2…Qm-1EQm-1…Q2Q1

T

=…=Q1EQ1=E

同理: （Q1Q2…Qm）T（Q1Q2…Qm）=E 故有限个正交矩阵之积仍然是正交阵．

证明 ４．

?A?1,A?2??(A?1)T(A?2)??1T(ATA)?2TT ??1E?2??1?2???1,?2?

证明 因为?1,?2,?,?n是ｎ维实列向量空间Ｒn中的一组标准正交基，Ａ是ｎ阶正交

阵，

(?i,?j)???Tij则，因为，AATT?0 i?j???1 i?j

?0 i?j???1 i?j

?AA?E

TTTj(A?i,A?j)?(A?i)(A?j)??i(AA)???i?Tj所以，

故A?1,A?2,?,A?n也是Ｒ中的一组标准正交基．

n

复习题四

1．

证明 由??V知V非空．对任意的?,??V有A???,A???；于是，

A(???)?A??A???，所以????V．

对任意的??V,k?R有A(k?)?k(A?)?k???，所以k??V． 显然向量的加法与数乘满足８条运算性质，故Ｖ是向量空间． 2．

答：是．显然V非空且对两种运算封闭．

又因为（0，0）∈V，且对任意（a，b）∈V，有：

?a,b???0,0???a?0,b?0?a0???a,b?即（0，0）是V的零元；又

?a,b????a,a2?b?a?(?a),b?(a?b)?a(?a)??0,0?即（a，b）的负元为

2???

??a,a3．

2?b；其它几条性质均可验证（验证略）。

?解（１）设Ｃ是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵，由(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)C?1?0C???0??0可求得：

11001110?11001??1?1??1?，则求由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为： 0?1100??0??1??1?

C?1?1?0???0??0（２）设向量?在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标分别为(x1,x2,x3,x4)与(y1,y2,y3,y4)，则由坐标变换公式及已知条件可得：

?x1??y1??x1??x1?????????x2y2x2x2???C???C??????(E?C)?x3??y3??x3??x3?????????xyx?4??4??4?，或者，?x4?

此齐次线性方程的基础解系为：??(1,0,0,0)，其通解为：X故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为：

??k?1?0?2?0?3?0?4?k?1 (k?R)

??(k,0,0,0) (k?R)．

4． 证明：

????2222?(???)?(???)??2?2(???)??2??2??????(???)

所以，5．

???????

证明（１）因为?与?是正交向量，即(?,?)?0，所以，

???2?(???,???)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)????2

（２）因为，

???2?(???,???)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)?2(?,?)?(?,?)????2

所以，6．

???????

解 欲使矩阵Ａ为正交阵，应有

?12??0???ba0c0??12??1a??0????0001b????c????0???12?a02010AATb2?ac?ac??1??0???022b?c??0??b20100??0?1??即，

?1?a2?12??b?2?ac?0 ??22??b?c?1

?a?1?a?1?a??22??????111b?b?????b?222???111c??c?c????2；②?22①?；③?12?a?????b???c???；④?121212；

7．

证明 因为Ａ为n阶实对称阵，则Ａ=A，又因为ＡＡ＝Ａ=E

故ＡＡT＝ＡTA= AA=E，即A是正交矩阵．

8．

证明 因为A?A 且A-1=A，故E=AA-1=AA=A2由7题结论A为正交阵；

TT2

又AA=E?(A-1

?1)(A)TT?ET?E?(A?1)A?E?(AT?1)AT?1?E

所以A-1为正交阵． ９．证明

因为, AT2???E?T?????TT???T?ETT?2??T??T?AT所以, AA2??AA??E?T?????22??E???T??????2???T ?E ?E?4??T??T?4??T???(??)?TT(???,???0)

故，Ａ为正交矩阵． １０． 证明（１）AT?(E?2??)TT?ET?2(??)TT?E?2??T?A即Ａ为对称阵；

A?AA?AA?AA2TT?(E?2??)(E?2??)TTT（２）?E?4??TTT2T?4?(??)?T?E-1

即AA＝AA＝Ｅ，故Ａ为正交阵，Ａ可逆且Ａ的逆Ａ=A；

A??(E?2??)????2?(??)???2????．

T

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fl1p.html