05-06年上学期高三同步测控优化训练数学A:概率与统计B卷（附答案

高中同步测控优化训练(二)

第一章 概率与统计(B卷)

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)

1.设ξ是离散型随机变量,则下列不能够成为ξ的概率分布的1组数是 A.0,0,0,1,0

B.0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,1－p(其中p是实数)

111?,,?,, (其中n是正整数) D.

1?22?3(n?1)?nn分析:本题主要考查任一离散型随机变量的分布列所具有的两个性质： (1)Pi≥0,i=1,2,3?; (2)P1+P2+?=1.

解:对于A,由于0+0+0+1+0=1,且每个数都大于或等于0,所以这组数可以作为ξ的1种概率分布；

对于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每个数都大于0,所以这组数可以作为ξ的1种概率 分布；

对于C,虽然p+1－p=1,但是不能保证对任意实数p和1－p都是非负数(比如取p=－1),所以这组数不能够作为ξ的概率分布；

11111?????? 对于D,由于

1?22?33?4(n?1)?nn=(1?)?(?)?(?)???(1211231134111?)?=1, n?1nn且每个数都是非负数,所以这组数也可作为ξ的1种概率分布. 答案:C

2.某牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率为0.02.若发病的牛数为ξ,则Dξ等于

A.0.2 B.0.196 C.0.8 D.0.812 分析:本题考查随机变量ξ服从二项分布的方差,即Dξ=npq(其中q=1－p). 解:由题意可知,发病的牛数ξ服从二项分布, 即Dξ=npq=10×0.02×(1－0.02)=0.196. 答案:B

3.抛掷2颗骰子,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P(ξ≤4)为

A.

1 2 B.

1 3 C.

1 5 D.

1 6分析:本题考查离散型随机变量和的概率.

解:ξ=2对应(1,1)；ξ=3对应(1,2),(2,1)；ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1).故ξ=2,3,4时分别对应1,2,3个基本事件.

而整个事件包含36个基本事件,由等可能事件的概率公式,得

P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=

1231???. 3636366答案:D

4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查采用的抽样方法依次是

A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法

D.简单随机抽样法,分层抽样法

分析:本题主要考查抽样方法等基础知识.无论采取哪种形式的抽样,抽样过程中每个个体被抽取的概率相等.解决此类问题的关键是分清题目的特点,紧扣三种抽样方法的定义去 解决.

解:完成①采用分层抽样法,完成②采用简单随机抽样法. 答案:B

5.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为

1,随机变量ξ表示同时10被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为

A.0.0081 B.0.0729 C.0.0525 D.0.0092 分析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.

解:对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1－0.1=0.9.

32

根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=C35(0.1)(0.9)=0.0081.

答案:A

6.某人从湖中打了一网鱼,共m条,做上记号,再放入湖中,数日后又打了一网鱼,共n条,其中k条有记号,估计湖中有鱼__________条.

A.

n k B.m·

n k C.m·

k n D.无法估计

分析:本题考查用样本的频率分布估计总体的分布. 解:设估计湖中有x条鱼.

mkm?n, ?,所以x=

xnkm?n即估计湖中有条鱼.

k由题意可知

答案:B

7.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10穴的分蘖数后,计算出样本方差分别为s甲2=1, s乙2=3.4,由此可以估计

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

分析:本题考查随机变量的期望与方差.其中期望反映了随机变量取值的平均水平,方差

反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.

解:由于测得的两种水稻的穴数相同,s甲2>s乙2,所以乙种水稻要比甲种水稻分蘖整齐. 答案:B

8.袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数为ξ,则Eξ等于

A.4 B.5 C.4.5 D.4.75 分析:本题考查离散型随机变量ξ的数学期望.解题关键是找到ξi与Pi的对应值. 解:由题意,知ξ取3,4,5.它取每一个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即

P(ξ=3)=

11?, 310C52C33P(ξ=4)=3?,

C510C26P(ξ=5)=4, ?3C510∴Eξ=3×

136+4×+5×=4.5. 101010答案:C

9.从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样方法进行,则每人入选的概率

A.不全相等 B.均不相等

C.都相等,且为

25 1002 D.都相等,且为

1 402000,对于留在总体2004分析:本题考查抽样过程中每个个体被抽取的概率问题.

解:从2004名学生总体中剔除4个个体,每名学生不被剔除的概率是中的2000个个体,按系统抽样时,每个个体被抽取的概率是个体被抽取的概率p=

50,由概率乘法公式可知每个20002000505025×. ??2004200020041002答案:C

10.若随机变量ξ~N(μ,σ2),且Dξ=1,Eξ=3,则P(－1＜ξ≤1)等于 A.2Φ(1)－1 B.Φ(4)－Φ(2) C.Φ(－4)－Φ(－2) D.Φ(2)－Φ(4) 分析:本题考查正态总体N(μ,σ2)在给定区间内的概率. 解:由于μ、σ分别表示总体的平均数(期望)与标准差, ∴μ=3,σ=D?=1.

1?3)=Φ(－2)=1－Φ(2), 1?1?3F(－1)=Φ()=Φ(－4)=1－Φ(4),

1∵F(1)=Φ(

∴F(1)－F(－1)=Φ(－2)－Φ(－4) =1－Φ(2)－1+Φ(4) =Φ(4)－Φ(2). 答案:B

第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上)

11.已知盒中有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需用一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为__________.

分析:本题考查无放回地抽取个体时,每个个体被抽取的概率问题.搞清使用的概率模型是解题的关键.

解:设无放回地直到第3次取出卡口灯泡记为事件A,则

3277. ???10981207答案:

120P(A)=

12.设一次试验成功的概率为p,现进行16次独立重复试验.当p=__________时,成功次数的标准差最大,其最大值为__________.

分析:本题考查服从二项分布的随机变量的标准差.解题的关键是构造目标函数. 解:由于成功的次数ξ服从二项分布,所以 Dξ=npq=16p(1－p).

∴σξ=16p(1?p)?4p(1?p)?4?当且仅当p=1－p,即p=

p?1?p=2. 21时取等号,此时(σξ)max=2. 211另解:σξ=4?(p?)2?,

24∵0≤p≤1,∴当p=答案:

1时,(σξ)max=2. 21 2 213.下图是一样本的频率分布直方图,其中(4,7)内的频数为4,数据在［1,4)∪［7,15)内的频率为__________,样本容量为__________.

频率组距233147101315数据

分析:本题考查一样本在给定区间内的频率及该样本的容量.注意用相应的直方图面积来

表示在各个区间内取值的频率时,所有小矩形的面积和等于1.

解:在(4,7)内的频率为P1,且

P21?, 333

29.所以数据在［1,4)∪［7,15)内的频率为. 111142设样本容量为n,则?,解得n=22.

n119答案: 22

11所以P1=

14.某街头小摊,在不下雨的日子可赚到100元,在下雨天则要损失10元.若该地区每年下雨的日子约为130天,则此小摊每天获利的期望值是__________(每年按365天计算).

分析:本题考查离散型随机变量ξ的数学期望在实际生活中的应用. 解:由题意可知变量ξ的取值分别为－10,100.

∵ξ=－10的概率P(ξ=－10)=ξ=100的概率P(ξ=100)=

130, 365235, 365130235∴Eξ=－10×+100×≈60.82.

365365答案:60.82

三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题10分)现要从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比武赛,已知他们在同样的条件下每天的产量相等,而出次品的个数的分布列如下：

(甲) 次品数ξ1 P 次品数ξP 2 0 0.1 (乙) 0 0.3 1 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.4 3 0.2 根据以上条件,选派谁去合适？ 分析:本题考查离散型随机变量的期望与方差在实际生活中的应用.选择比赛选手的依据是看他们技术的高低,而技术的高低取决于出次品的多少与稳定性,即取决于他的期望与方差.分别计算出甲、乙两个技工的数学期望Eξ1、Eξ2,并比较大小.期望越小,次品越少,产品质量平均程度越好；若期望相同,再求出他们的方差,方差越小,产品质量越稳定,技术水平越好.

解:Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, 2分 Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3. 4分 由于Eξ1=Eξ2,所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致,因而还需考查稳定性. 5分

Dξ1=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41; 7分 Dξ2=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3+(2－1.3)2×0.2+(3－1.3)2×0.2=1.21. 9分 因为Dξ1＜Dξ2,所以技工乙波动较大,稳定性较差. 综合以上情况,应选派技工甲去参加比赛. 10分

16.(本小题10分)进行某种试验,设试验成功的概率为

31,失败的概率为,以ξ表示试验44首次成功所需试验的次数,试写出ξ的分布列,并计算ξ取偶数的概率.

分析:本题考查如何布列离散型随机变量的分布列,以及如何求它的和的概率.其中ξ=k表示前(k－1)次试验失败而第k次试验成功这一事件,ξ服从几何分布.它是相互独立事件同

时发生的概率模型.设事件A1,A2,?,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即

P(A1·A2·?·An)=P(A1)·P(A2)·?·P(An). 解:随机变量ξ的取值是1,2,3,?,k,?. 2分

∵P(ξ=1)=P(ξ=2)=

3, 431·(), 4431P(ξ=3)=·()2,

44┆ P(ξ=k)=

31－·()k1, 44┆

∴ξ的分布列为 ξ P 1 2 3 ? ? k ? ? 7分

取偶数的概率为

3 431· 4431·()2 4431－·()k1 443131331－

???()????()2m1+? 4444443111=?(?3???2m?1??) 4444P==

9分

3?411?1614?1. 5 10分

17.(本小题12分)人寿保险中的某一年龄段,在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保险费a元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率为p1,非意外死亡的概率为p2,则保险费a需满足什么条件,保险公司才可能盈利？

分析:本题考查离散型随机变量的期望在现实生活中的应用.

要使保险公司盈利,需使它所收总保险费大于总赔付费,即它的期望大于零.解题的关键是列出分布列,求出数学期望.

解:设ξ为保险公司对每一投保人的盈利数,则ξ的可能取值为a,a－30000,a－10000. 2分

且P(ξ=a)=1－p1－p2, 4分 P(ξ=a－30000)=p1, 6分 P(ξ=a－10000)=p2. 8分 随机变量ξ的概率分布为 ξ P a 1－p1－p2 a－30000 p1 a－10000 p2 9分

Eξ=a(1－p1－p2)+(a－30000)p1+(a－10000)p2 =a－30000p1－10000p2.

保险公司要盈利,必须使Eξ＞0.于是a＞30000p1+10000p2. 12分 18.(本小题10分)若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(单位：cm),则该地公共汽车门的高度应设计为多高？

分析:本题考查正态分布在现实生活中的应用.它是一道已知正态分布函数的值域,而求其自变量范围的题目.解题的关键是找出正确的函数表达式,运用标准正态分布表,求变量的范围.

解:设该地公共汽车门的高度应设计为x cm, 则根据题意可知P(ξ≥x)＜1%. 3分 ∵ξ~N(175,62),

x?175)＜0.01. 6x?175x?175化简,得Φ()＞0.99,查表可知＞2.33,

66∴P(ξ≥x)=1－P(ξ＜x)=1－Φ(

6分

解得x＞188.98, 9分

即该地公共汽车门至少应设计为189 cm高. 10分 19.(本小题12分)设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为

31,遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,ξ表44示停车时已经通过的路口数,求:

(1)ξ的概率的分布列及期望Eξ;

(2)停车时最多已通过3个路口的概率.

分析:本题重点考查概率与分布的基础知识.正确确定随机变量的所有可能取值,以及取每一个值的概率是解决本题的关键.

解:(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 2分 用Ak表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”,

3(k=1,2,3,4),且A1,A2,A3,A4独立. 41故P(ξ=0)=P(A1)=,

4313P(ξ=1)=P(A1·A2)=×=,

4416319P(ξ=2)=P(A1·A2·A3)=()2×=,

44643127P(ξ=3)=P(A1·A2·A3·A4)=()3×?,

44256381P(ξ=4)=P(A1·A2·A3·A4)=()4=.

4256则P(Ak)=从而ξ有分布列:

ξ P 0 1 2 7分

3 4 1 43 169 6427 25681 256

8分

1392781525. ?1??2??3??4??4166425625625681175(2)P(ξ≤3)=1－P(ξ=4)=1－. ?256256175答:停车时最多已通过3个路口的概率为 .

256Eξ=0×

10分

12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fkz7.html