数学期望的计算方法与技巧

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第 2卷第 3 2期 20年 5 08月

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VO12 .2 NO. 3

J u n l f n n Un v ri fT c n l g o ra o Hu a i e st o e h o o y y

M a 0 8 v2 0

数学期望的计算方法与技巧肖文华(娄底职业技术学院电子信息工程系，湖南娄底 4 7 0 10 0)

摘要：利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及母函数、特征函数等，探讨了 数学期望的几种计算方法。 关键词：数学期望；定义；性质；公式；微分法中图分类号： 1; 4 O2 G62 1文献标识码： A文章编号：17— 8 32 0 )3 0 9— 3 6 3 9 3 (0 80— 0 8 0

Cac ltn eho n c n q e o ah m aia p cain lu ai gM t dsa dTe h i u sf rM t e tc l Ex e tto

Xio W e h a a n u

( pr n l t nc n fr t n n ier g L u i o a o aT cnc ol e L ui n n 100 hn ) De amet f e r is dI oma o gnei, o d V ct nl eh i C l g, o d a 7 0,C ia t oE c o a n i E n i l a e Hu 4Absr c:So ec lu a ngm eh d o ah m a c l x e tto r ic se ym a i gus fted fnto, au e ta t m ac lt t o sf rm t e t a p cai na ed s u s db k n eo e i n n t r i i e h i i

a df r l f te t a x e tto, es mm er frnd m ra l iti t n, e e aigf n to dc a a trsi n o muao h mai l p c ai n t y ma c e h ty o a o va b ed sr i g n r t u ci na h ceit i bu o n n r cf n t n. u ci o

、,一，、一器、 d r/一 J: 一 .

Ke r s ywo d:ma e tc l x e tto;d fn t n au e o mu a if r nilme h d h t ma a p ca n e i o;n t r;f r l;d fe e t t o i e i

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数学期望是概率论的重要内容之一，由于随机变

df ,

量的分布形式不同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分布，其解法也多种多样，技巧性较强，因此， 探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义。

一l’1 dI . x急 因此

) 1, _k =l

,l

1

( x 1 ) -=—— 0-

1直接利用定义求解 用定义直接求数学期望是求期望最基本的方法， 在求数学期望时，常会用到一些特殊的无穷级数的求

从 E )∑i一 )、 (—p] p而 (= ( p p— I )2 p 1 H[ - 1

2利用数学期望的性质求解 直接求一个随机变量的数学期望比较因难时，将该随机变量分成若干个比较容易求出数学期望的随机变量之和，然后利用数学期望的性质来解决原来那个随机变量的数学期望的求解问题，常用的公式为

和式如∑ e∑土 ( 1,用 公， k =<等利这=、 ):n几 k=0 1一

些公式及它们的各种变形，往往会使计算变得简单。

例 1设 X服从参数为 P的几何分布，求 e x。 ()

解 E∑== p - )=∑f一) ( f∑￣1p p ( p ) ) ( 1。为了求级数 f一 ) ( p,可作如下考虑： 1

E∑/=1E i特是把杂随变分 I1 ∑ ()别常复的机量 I X。解成若干个服从贝努利分布的随机变量之和，即设

由于。

Xk:

1( i

,

X{概为qPql 1 ) i0率。 ::, J 1 + (,,。 1 ; 、 2’:+、一…。 … i:,

利用和函数的可微性对此级数逐项求导，可得收稿日期：20 - 3 2 080—7

易得，若 Y

X,且 X,, i ,…,X相互独立，

作者简介：肖文华 ( 8,女，湖南娄底人，娄底职业技术学院讲师，主要从事高等数学，概率论与数学统计的教学和研究 1 6一) 9

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则ey= ()∑。例 2有一类有奖销售，每 1袋封闭包装的食品中放1张赠券，n张不同赠券为 1,收集齐 1套套可获重奖。试求为集齐Ⅳ张赠券所需购买的食品袋数 x

的数学期望。

去，2去e: 2 e=一 r一等4√。 5= 21 -￣4利用分布的对称性求解 4当分布律或分布密度函数具有对称性时，随机变量取值的集中位置就是对称中心。尤其当随机变量服

解以记从收集到第 1一张之后到收集到第张赠券所需购买的食品袋数，显然，对一切 1,Ⅳ=,…,, 2服从 P: j的几何分布，即

从均匀分布时，其取值的对称中心非常容易得到，由此得到数学期望。

p=) ( p P kl,。{ =1一，=2一 -, Ⅳ从 ()=而E 1 ,…Ⅳc 2,,

例 4若 X,,…,为正的独立随机变量，服 从相同分布，试证明E

(]。专{ k_xn

因 e x) e r十 (+ E )此 (= ( ) E ) (= 1 +Ⅳ

证明x2

由对称性知

’

I N1Ⅳ一

+

+ .- 1 _+一

+1 2

1 I。~nⅣN

一

特别地，为集齐水浒 1 8将的画卡，平均需购 1 8× 0 0 l 18=5 5 7 n0 0 .袋食品。 6

X X 2++…+ X n

XL +X2+…+X,同分布，故

点评利用变量分解技巧，可大大降低题目的难度，很容易得到结论。

H高(意 ( 故[ E南E

)== . .’

3利用“名统计学家公式”求解 佚设 ( y)是连续型随机变量，其概率密度为 x, P( Y),Z X,=g( Y)分段连续函数，若积分 X,为

] o i- 1l,,n=- 2,o -…

而

E

J[g, p,出对敛，随变 (y ( )绝收则机量。 )x。Z=g( y)的数学期望为：

E )Eg,]『eg p, x。 (:[Xy= z ( )二 ( ( )y )x d yd特殊地：

因此，由数学期望的可加性知E

E )e ( )y e (出， (= d=,x ya ) Ey仁eY( )yeY (a。 (= ) P,d= Pyy x yd )这些公式姑且称为“名统计学家公式”佚。

【 f+十 1 十 一。 J咒利用对称性与数学期望的可加性使本题证

点评日日孝

例 3设随机变量 (, X y)服从二元正态分布，其 2+y 21

5利用条

件期望公式求解 利件期公式 E )∑EXYyPYy用条望 (= (/=￣ (=z ) )

密度函数为p ) e (= ,一。,,。, T。< )<+。。/ z: 4 "的数学期望。 ,Z的分布被称为瑞利分布，求 Z

或E )亡E I Y (y可数期。 (= (Y )y,得学望 X=P ) d例 5求 n次贝努里试验中，事件 A发生的次数

解

利用佚名统计学家公式，可得

的数学期望。其中事件 A在每次贝努里试验中发生的概率为 P。

E (

r JJ一一

+*

+*

￣TT 1 F f . T 2 -￣十

e下+ 2—x y 2

出，

;c,e=…o ==去 r0 s f

解令=试生_,艨验 1 发， 2…则 -。 Z

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2 0正 08

以第一次试验的结果为条件，由条件期望公式得：

例 8设随机变量服从几何分布 g(k ),,求 pE( o

E ) P 0 ( 0 p 1 (—) (= ( ) I ) ( ) I 1= E+ E,

解

因为p==p 1p (< ( (- ) 0 p<1=l,,, ,…) 2

贝 E. - )(一+ I E一) 0 S( PES。 Pl ( 1: 1 n) + IP E一= (一)+ ( ) u + ( 1…=, 1 E S= p。 ) z P 1点评利用条件期望公式简化数学期望计算的关键，是要找到合适的作为条件的随机变量。

根据布性得∑p一 ) l分律的质 (p 1=。两边对 P求导数，得

∑f p p -( p J, ( ) ( 1一)= 1一 k ) 0一 1~

6利用特征函数求解

一

计算随机变量的特征函 (= ( )直 数厂 Ee比接计 )算 E( ) x要简单，此时可以考虑先算出特征函数，再利用它与数学期望的关系，求出数学期望本身。随机变量 X的特征函数定义为：

击喜川 +) 1 _ J因此 + I,

一 o,。

即一

)=1

I =为离∑e P 散型时； )

9结语 以上讨论了几种简化计算数学期望的方法和技巧，但不是全部，在此不再列举。不过，我们在计算随机变量 x的数学期望时，要注意：对于离散型随机

e e出为型

连 亡∽续例 6设Ⅳ(, ) 。,求 E(。 解

p x为分密数) ()的布度函。

则Ex)厂 (。地， ( ’。 (=1‘0特别 E:厂0 ) ( )由Ⅳ(, ) ,可求得的特征函数_:厂为 (

变量 x的数学期望，其数值是级数的和，而且数学期望完全是由 x的分布列确定，而不受 x的可能取值的排列次序的影响，因此，要求级数k =l

绝对收敛，

) e e出 e。 () 一 Ce 。所以E:

若级数∑不是对收则数望在。绝敛，其学期不存对于连续型随机变量 x的数学期望，其数值是积分

[,[ 2t:。 e:(1￣ ]÷- .l 。i )o=p 2,t e2 - 2

J fx x值，该不绝敛，其数 —x(d的若积分是对收则学 )期望也不存在。 总之，只要对数学期望的基本定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么，对各种简化计

7利用母函数法求解 当随机变量为离散型时，则用母函数求数学期望更

算方法和技巧的应用就会游韧有余了。参考文献：【]杨向群. 1线性代数与概率统计【 . M]长沙：湖南大学出版社，2 0 . 05

为便，于机量母函的义 = ,方由随变 数定为 (∑ )且有性质 E( ) () = 1,若的数学期望存在，只须对它的母函数求一阶导数即可。 一 例 7求普哇松分布的数学期望。 解因为普哇松分布的母函数 () ” =e,所以

【]陈 2

魁.应用概率统计【 . M]北京：清华大学出版社，19 . 99

【]李贤平，沈崇圣，陈子毅. 3概率论与数学统计【 . M]上海： 复旦大学出版社，2 0 . 03 f]覃光莲. 4数学期望的计算方法探讨【 . J高等理科教育，0 6】 20() 7 2 . 5:2— 8

E ) (= s￣ l (= 1 e()= ) 2 1L=。 -

8利用微分法求解 若随机变量的分布律中含有参数，可对分布律的

【]赵 5

强.离散随机变量数学期望的几种求法【】玉林师范 J.

学院学报，2 0 () 5 5 . 0 63:5 -6

性质=两关于数来达到目 ∑ l边参求导的。

(责任编辑：廖友媛 )

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