数值分析2009博士入学试题

数值分析试题

一. （26分）填空题： 1. 设

?1A???21??3?，则 ||A||?? ，||A||2=______，?(A)=______；

2. y?f(x)的点(0,1),(1,2),(2,5)的二次插值多项式L2(x)?a?bx?cx2中

a?________，b?_________，c?__________；

3. 为使求积公式?f(x)dx?Af(0)?Bf(2)?Cf?(0)的代数精度尽量高，则

02A?______，B?_______，C?_______，其具有代数精度为______次；

4. 设f(x)?x5?x4?3x?1?0 ，则f[0,1]?_______，f[1,2,?,6]? ______，

f[2,2,?,2]?016 。

二．（16分）用下列各种方法求解方程组Ax?b，即

?21 ????1?1111?x?1????1x = ??2?x?2???3??0????1： ????5??1．Gauss顺序消元法；

2．Courant分解法；

3．写出求Ax?b的解的Gauss-Seidel迭代格式，并取x(0)?(0,0,0)T，求x(3)； 4．判定矩阵A对Gauss-Seidel迭代的收敛性，并证明你的结论。

三．（8分）分别用下列方法求方程x4?x?1?0在[1,2]内的根，使误差小于10-1。 1．弦截法（取x0?1，x1?1.4）； 2．试证明用简单迭代格式xk?1?4xk?1求其在1.2 附近的根是收敛的；

四．（15分）已知y?f(x)的数据表如下：

x f(x) ?1 0 1 5 2 10 3 2 1．构造差商表，并写出Newton插值多项式（按降幂排列）； 2．用最小二乘法求形如y?a?bx2的经验公式使与题目数据相拟合；

3．用复化梯形公式计算?f(x)dx的近似值。

?12五．（10分）

1．用2段Simpson公式（5节点）计算??6421x?1dx的近似值；

2．若使误差不超过10，用复化Simpson公式计算上述积分至少应取多少个节？

六．（10分）对初值问题??y??x?0?y(0)?1：

1．写出求其数值解的改进的Euler公式，并取h?0.2求y1，y2； 2．证明对任步长h，用改进的Euler公式求其解可得数值解为yn=y(xn)。 七．（7分）给定函数f(x)，设对一切x，f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，试证明对于0???2根x*。

八．（8分）给定x0,x1?[a,b],x0?x1，f(x)在[a,b]上具有三阶连续导数，证明：

f(x)??(x?x1)(x?2x0?x1)(x1?x0)162M的任意?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的

f(x0)?2(x?x0)(x?x1)x0?x1f?(x0)?(x?x0)22(x1?x0)f(x1)?R(x)

这里R(x)?

f(3)(?)(x?x0)(x?x1),x0???x1。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fkpf.html