8.2.1代入消元法解二元一次方程组

人教版数学七年级下册

8.2.1代入消元法解二元一次方程组

本节学习目标 ：1、会用代入法解二元一次方程组.

2、初步体会解二元一次方程组的基本思想—— “消元”.3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，明 确解二元一次方程组的主要思路是“消元”, 从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和 体会化归的思想.

y=ax+b或x=my+n1、用含x的代数式表示y: x + y = 22 y = 22-x 2、用含y的代数式表示x: 2x - 7y = 8 2x = 8+7y

8 7y x 2

篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜 一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较 好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个 队胜、负场数应分别是多少? 解：设胜x场，负y场. x y 22 ① 2 x y 40 ② 解：设胜x场. 2 x (22 x) 40 ③比较一下上面 的方程组与方 程有什么关系？

y 由①我们可以得到： 22 x

再将②中的y换为 22 x 就得到了③

③是一元一次方程，相信大家都会解.那么根据上 面的提示，你会解这个方程组吗？

X+y=22 2x+y=40

① ② ③

解:由①,得 y=22-x

把③代入②,得

2x+(22-x)=402x+22-X=40

把X=18代入③,得 ∴原方程组的解是

得 X=18 y=4

x 18 y 4

答:该队胜18场，负4场.

二元一次方程组中有两个未知数，如果消 去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为 我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出 一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将 未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫 做消元思想.

归 纳：

上面的解法，是由二元一次方程组 中一个方程，将一个未知数用含另一 个未知数的式子表示出来，再代入另 一个方程，实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解，这种方法叫代 入消元法，简称代入法.

例1 用代入法解方程组由② ,得 解：

2x+3y=16 ① x+4y=13 ②把③代入 ②可以吗？ 试试看

x=13 – 4y

③

把③代入① ,得 2(13 – 4y)+ 3y=16 26 –8y +3y =16 13-4y+4y=13 把y=2代入① 或②可以吗？ – 5y= – 10 0y=0 y=2 把求出的解 把y=2代入③ ,得 x=5

x 5 ∴原方程组的解是 y 2

代入原方程 组，可以知 道你解得对 不对。

例2 用代入法解方程组 解： 由② ,得

2x+3y=163x – y=13 ③

①②

y=3x – 13

把③代入① ,得 2x+3(3x – 13)=16 2x+9x –39 =16

11x=55把x=5代入③ ,得 ∴原方程组的解是 y=2 x=5 y=2 x=5

例3 根据市场调查，某种消毒液的大 瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的 销售数量(按瓶计算)的比为: 5 .某厂 2 每天生产这种消毒液 22.5吨，这些消毒液应 该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. ① 5 x

2 y 由题意得 ② 500 x 250 y 22500000由①,得5 y x 2

③5 500 x 250 x 22500000 2

把③代入②,得 解得 x=20000 把x=20000代入③,得 x 20000 y 50000

y=50000

答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.

5x 2 y 100 5x 250y 22500000 ②整体代入法 解：把①代入②, 得 100×2y+250y=22500000 解得 y=50000 把y=50000代入① ,得 x=20000

①

x 20000 y 50000

再议代入消元法 5 x 2 y 500x 250y 22500000上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：二 元 一 次 方 程 组

代入 500x 250y 22500000

5x 2 y

变形

5 y x 2

y=50000x=20000解得x 一元一次方程

消y

500 x 250

5 x 22500000 2

5 用 2 x代替y,

消去未知数y

解二元一次方程组的基本思想 ——“消元”。 代入消元法的一般步骤 (1)变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示(即y=ax+b或x=my+n) (2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去 一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程. (3)求解：解一元一次方程，得一个未知数的值. (4)回代：将求得的未知数的值代入到变形后的方程 中求出另一个未知数的值. x a (5)写解：用 的形式写出方程组的解. y b

3x y 12 例4 二元一次方程组 的解中 4 x ay 12

y与x互为相反数，求a的值. x 6 3x y 12 解:由题意得 , y 6 x y 0

x 6 把 代入4x+ay=12, y 6得 a=2.

y 4 ① x 2 例5 用代入法解方程组 3 5 2 x 7 y 90 ②

解：由①,得 5(x-2)=3(y+4) 5x-10=3y+12

5x-3y=22

22 3 y x 5

③

例5 用代入法解方程组 解:令x 2 y 4 3 5

② = k,则x=3k+2,③y=5k-4,④

y 4 x 2 3 5 2 x 7 y 9 0

①

把③、④代入②,得2(3k+2)-7(5k-4)=90 解得 k=-2 6k+4-35k+28=90 6k-35k=90-4-28 把k=-2代入③、④,得 X=-4,y=-14 -29k=58 x 4 K=-2 ∴原方程组的解是 y 14

巩固与提高：1、用代入消元法解下列方程组

y-2x=0

2x-y=-5 ⑵ 4x+3y=65 3x-9=2y ⑷ 4x+2y=12

⑴x+y=12

⑶

x 3 y 1 2 35x-2y=-1

y-2x=0⑴ x+y=12

①②

解：由①,得 y=2x把③代入②,得 解得 x=4 把x=4代入③,得

③

x+2x=12 y=8

x 4 ∴原方程组的解是 y 8

2x-y=-5⑵

①

4x+3y=65 ②③

解：由①,得 y = 2x + 5

把③代入②,得 4 x+3(2x + 5 )=65 解得 x=5 把x=5代入③,得 y=15

x 5 ∴原方程组的解是 y 15

(3)

5x-2y=-1

x 3 y 1 2 3

① ②

解：由①,得 3(x+3)=2(y+1) 3x+9=2y+2 3x+7=2y ③ 把③代入② ,得 5x-(3x+7)=-1

x=3 把x=3代入③ ,得 y=8 x 3 ∴原方程组的解是 y 8

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