第七届(2012)世奥赛夏季总决赛九年级初赛试卷

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世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选拔赛

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夏季联赛全国总决赛

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考生须知： 1. 每位考生将获得考题一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。 2. 本卷共120分，填空题每小题5分，解答题每题10分。

3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时，所有考卷及草稿纸会被收回。 4. 若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。

九年级初赛试卷

（本试卷满分120分，考试时间90分钟 ）

一、填空题。（每题5分，共60分）

1、若a＞0，b＞0，且a(a?b)?3b(a?5b)，则2a?3b?ab的值是

a?b?ab ______________。

2、已知6?11与6?11的小数部分分别是a、b，则ab的值是_____________。

3、设x为正实数，则函数y?x2?x?1x的最小值是__________。

4、方程x2?2x?5|x?1|?7?0的所有根的和是_________________。

5、若方程(2003x)2?2002?2004x?1?0的较大根为m，方程x2?2002x?2003?0、 的较小根为n，则m?n的值是_________________。

6、已知abc?1，a?b?c?2，a2?b2?c2?3，则1ab?c?1?1bc?a?1?1ca?b?1的

值为_________________。

7、如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=4，DC=1，BC=4，P在BC 上，AP⊥PD，则AD的长是________________。

（第7题） （第8题） （第9题）

8、如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F， 交AB边于点E，已知△ADE的周长是12，则梯形EBCD的周长是__ __ _________。

9、如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在AB上， DE∥CA，CD=12，BD=15，则AE的长是_________________。

（第10题） （第11题） （第12题）

10、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将梯形折叠，使AD落在BC上，折痕为

EF，P是AC与EF的交点，已知△APB的面积为22，△DPC的面积为2， 则梯形ABCD的面积为__________________。

11、如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、

E、F。则

PAPBPCAD?BE?CF的值是________________。

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值是________________。

二、解答题。（每题10分，共60分） 1、已知a?b?1，且a?m?a?b?b2，b?n?a2，其中m、n均为有理数，

求m2?n2的值。

2、设m、n是自然数，并且19n2?98n?m?0，求m?n的最小值。

3、已知x?17y?4，y?1z?1，z?1x?3，求xyz的值。

4、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=

132，梯形ABCD

的面积为30，求AB＋BC＋DA的值。

5、如图，设P是边长为12的正△ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB 的垂线，垂足分别为D、E、F。已知PD:PE:PF=1:2:3，求四边形BDPF的面积。

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=2AD，E是边CD 上一点，∠ABE=45°，BE=210，求AB的长。

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九年级初赛试题答案

一、填空题。

1、2 2、711?23 3、1 4、4 5、2004 6、?23 7、5 8、14

9、20 10、62 11、2 12、2 二、解答题。

1、由已知得a?b?m?n?1，m?a?a?ba?b2，n?b?2，

m?n?a?b?(a?b)=(a?b)(1?a?b)?0，所以m?n?12，m2?n2?12。

2、m?n(19n?98)≥0，m、n是自然数，所以n≥6，此时m?96，m?n的最小值是96?6?102。

3、(x+

1y)(z+

1x)(y+

1z)=xyz+

1xyz+x+y+z+

1x+

1y+

1z=xyz+

17xyz+4+1+

3=4×1

×7， 得到：xyz+13xyz=2，即(xyz?1)2?0，解得xyz=1。

4、延长BE与AD的延长线交于F，则△BCE≌△FDE，BC=FD，AD＋BC=AD＋DF=AF，梯形ABCD的面积等于△ABF的面积，所以

12AB?AF=30，AB2?AF2?132，所以

AB?AF）2?289，AB?AF?17，即AB＋BC＋DA=17。

5、因为正△ABC的高为12×

32=63，又PD:PE:PF=1:2:3，所以PD=3，PE=23，

PF=33，如图，过点P作PS∥BC，交AB于S，则∠FSP=∠B=60°，所以FS=3，PS=6，BD=PS＋

PD=7，所以四边形BDPF的面积=△PFS的面积＋梯形BDPS的面积

3=1?3?336?72?2?3?113。

6、延长DA至点F，使AF=AD，得正方形BCDF。再延长AF至点G，使FG=CE，则 △BFG≌△BCE，BE=BG，∠CBE=∠FBG，∠ABG=∠ABF＋∠FBG=∠ABF＋∠CBE=45°，所以∠ABE=∠ABG，△ABG≌△ABE，设CE=x，BC=2a，则FG=x，AF=AD=a，AE=AG=x?a，DE=2a?x，在Rt△ADE中，(2a?x)2?a2?(x?a)2，解得x?23a，

在Rt△BCE中，(2a)2?(2a)2?(210)23，

解得a?3，AF=3，BF=6。AB=32?62?35。

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