北航数值分析2010-2011期末模拟试卷1-3

数值分析模拟试卷1

一、填空（共30分，每空3分） 1 设A???2 设

?11???，则A的谱半径?(a)?______，A的条件数cond1(A)=________. ?51??f(x)?3x2?5,xk?kh,k?0,1,2,?，则f[xn,xn?1,xn?2]＝________,

f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]＝________.

32??x?x,0?x?13 设S(x)??3，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则2??2x?bx?cx?1,1?x?2b=________,c=________.

4 设[qk(x)]k?0是区间［0，1］上权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交多项式族，其中q0(x)?1，则

??xq(x)dx?________，q0k12(x)?________.

?10a???5 设A?01a，当a?________时，必有分解式????aa1??，其中L为下三角阵，当

其对角线元素Lii(i?1,2,3)满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设f(x)?x,x0?3219,x1?1,x2?, 44（1）试求f(x)在[,]上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足

1944H(xi)?f(xi),i?0,1,2，H?(x1)?f?(x1).

（2）写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式.

三、（14分）设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代公式为xn?1?4??（1） 证明?x0?R均有limxn?x（x为方程的根）；

x???2cosxn， 3（2） 取x0?4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.

四、(16分) 试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式

，列出各次迭代值；

有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

1

五、（15分） 设有常微分方程的初值问题??y??f(x,y)，试用Taylor展开原理构造形如

?y(x0)?y0yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误

差主项.

六、（15分） 已知方程组Ax＝b，其中A????12??1???,b???2??， 0.31????（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式x(k?1)?x(k)?a(Ax(k)?b)，试确定一个的取值范围，在这个范围内

任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组程组变化为

，其中

，其中

，A是对称的且非奇异.设A有误差为解的误差向量，试证明

，则原方

.

其中?1和?2分别为A的按模最大和最小的特征值.

数值分析模拟试卷2

填空题（每空2分，共30分）

1. 近似数x?0.231关于真值x?0.229有____________位有效数字； 2. 设

?f(x)可微，求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________；

3. 对f(x)?x?x?1，差商f[0,1,2,3]?_________________；f[0,1,2,3,4]?________； 4. 已

知

3?32?x?(2,?3)?,A????21???? ，则

||Ax||??________________，

Cond1(A)?______________________ ；

5. 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为

_________，进行二步后根所在区间为_________________；

3?3x1?5x2?1?6. 求解线性方程组?1的高斯—赛德尔迭代格式为

x?4x?012??5

2

_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径

?(G)?_______________；

7. 为使两点数值求积公式：

?1?1f(x)dx??0f(x0)??1f(x1)具有最高的代数精确度，其

求积节点应为x0?_____ , x1?_____,?0??1?__________. 8. 求积公式

?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]是否是插值型的__________，其代数精度为

2___________。

二、（12分）(1)设A?LU，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知

00??2?1???12?10??A??，求L，U。

0?12?1????00?12???(2)设A为6?6矩阵，将A进行三角分解：A?LU，L为单位下三角阵，U为上三角阵，试写出L中的元素l65和U中的元素u56的计算公式。

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x)，满足

H(0)?f(0)?0,H(1)?f(1)?1,H(2)?f(2)?1,H?(1)?f?(1)?3 ，

并写出插值余项。 （12分）线性方程组

??x1??x2?b1

?2?x1?2x2?b212（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 （2） 设??2，给定松弛因子??收敛性。

五、（7分）改写方程2?x?4?0为x?ln(4?x)/ln2的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？

32六、（7分）证明解方程(x?a)?0求3a的牛顿迭代法仅为线性收敛。

，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论

x七、（12分）已知x0?113,x1?,x2?. 424（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；

（2）指明求积公式具有的代数精度；

3

（3） 用所求公式计算

?10x2dx。

八、（8分）若f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn),xi互异，求f[x0,x1,?,xp]的值，这里

p?n?1.

数值分析模拟试卷3

一、填空题（每空3分，共30分）

1． 设f(x)?4x?3x?2x?1，则差商f[2,2,?,2]? ； 2．在用松弛法(SOR)解线性方程组Ax?b时，若松弛因子?满足|??1|?1，则迭代法 ；

***3．设f(x)?0,f?(x)?0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满

842018足 ；

4. 设f(x)?(x?2)(x?3x?3x?1),用Newton迭代法求x1??2具有二阶收敛的迭代格式为________________ ；求x2?1具有二阶收敛的迭代格式为___________________； 5．已知A???32?7?2?? ，则?(A)?__________,Cond?(A)?______ ???31?x2?1=___________________，使计算结果更为精确；

6. 若x??1，改变计算式lgx?lg7．过节点xi,xi(i?0,1,2,3)的插值多项式为_____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求

?3??21x2dx= 。

?221???二、（14分）已知方阵A??111?，

?321???(1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；

(2) 给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组Ax?b，其中b?(3.5,2,4)。

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式H(x)，满足

TH(0)?f(0)?0,H(1)?f(1)??1,H?(1)?f?(1)?10,H??(1)?f??(1)?40 ，

4

并写出插值余项。

四、（10分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn?1?cosxn均收敛于方程x?cosx的根，

且具有线性收敛速度。

五、（12分） 在区间[-1,1]上给定函数f(x)?4x?1，求其在??Span{1,x,x}中关于

权函数?(x)?1的最佳平方逼近多项式。（可用数据：

32p0(x)?1,p1(x)?x,p2(x)?六、(12

分

)(1)

试

导

出

321x?） 22切

比

雪

夫

(Chebyshev)

正

交

多

项

式

Tn(x)?cos(narccosx)(n?0,1,2,?,x?[?1,1])的三项递推关系式：

T0(x)?1,??T1(x)?x,? ?????Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x)(n?1,2,?)（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I?能得到积分的精确值？并计算它。

?2x2?1x(2?x)0dx，问当节点数n取何值时，

h?y?y?(K1?K3)n?1n?2?K1?f(xn,yn)七、（10分）验证对?t,?为2阶格式. ?K2?f(xn?th,yn?thK1)??K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1)

参考答案1 一、1．?(a)?6，cond1(A)=6.

2．f[xn,xn?1,xn?2]=3，f[xn,xn?1,xn?2，xn?3]=0. 3．b=－2，c=3.

?163?,k?024．?2；q2(x)?x?x?.

510??0,k?0 5

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