2012年上海市杨浦区一模数学试卷文科含答案

杨浦区2011学年度高三学科测试

数学试卷（文科） 2011.12.

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

2n

1．计算：lim 1

n n 3

2．不等式

x

0的解集是 ． x 1

3．若全集U R，函数y 3x的值域为集合A，则CUA .

4．若圆锥的母线长l 5(cm)，高h 4(cm)，则这个圆锥的体积等于cm3. 5．在(x

14

)的二项展开式中，x2的系数是. x

2

6．若y f x 是R上的奇函数，且满足f x 4 f x ，当x 0,2 时，f x 2x 则f 7 .

x2x 1

7．若行列式 1，则x ．

21

8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品 的概率是（结果精确到0.01）

9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学 生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在 高二学生中的抽样人数应该是

10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y与输入量x之间满足的关系式是 ．

11.若直线l:ax by 1与圆C:x2 y2 1相切， 则a b ．

2

2

x2

y2 1上的动点，定点A的坐标为(2,0)， 12.若点P是椭圆9

则|PA|的取值范围是 ．

13.已知x 0,y 0且

21

1,若x 2y m2 2m恒成立,则实数m的 xy

取值范围是 ．

x

14.设函数f(x) log22 1的反函数为y f 1(x)，若关于x的方程

f 1(x) m

在f(x)[1,2]上有解，则实数m的取值范围是

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 0, 上单调递减的函数为 ( )．

1

A f x x. B f x x3. C f x lg. D f x cosx.

x

n

16．若等比数列 an 前n项和为Sn 2 a，则复数z

i

在复平面上对应的点位于 a i

( )．

A 第一象限 . B 第二象限 . C 第三象限 . D 第四象限 .

17．“a 1”是“函数f x x a在 3, 上单调增函数”的 ( )．

A 充分非必要条件. C 充要条件.

B 必要非充分条件. D 既非充分也非必要条件.

x2y2

1的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐18．若F1,F2分别为双曲线C:

927

标为(2，0)，AM为 F1AF2的平分线．则AF2的值为 ( )．

A 3 . B 6. C 9. D 27.

定区域内写出必要的步骤 .

三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

19．（本题满分12分）

已知在正四棱锥P－ABCD中（如图），高为1 (cm)，其体积为4 (cm3)， 求异面直线PA与CD所成角的大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分， 第2小题满分7分 ．

B

C

B、C的对边分别为a、b、 在 ABC中，角A、且满足 2b c cosA acosC 0. c，

1. 求角A的大小； 2. 若a

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

若函数y f x ，如果存在给定的实数对 a,b ，使得f a x f a x b 恒成立，则称y f x 为“ 函数” .

1. 判断下列函数，是否为“ 函数”，并说明理由； ①f x x ② f x 2

x

3， ABC面积为

33

，试判断 ABC的形状，并说明理由. 4

2. 已知函数f x tanx是一个“ 函数”，求出所有的有序实数对 a,b .

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小 题满分7分.

已知 ABC的三个顶点在抛物线 :x2 y上运动， 1.求 的准线方程；

2.已知点P的坐标为 2,6 ，F为抛物线 的焦点,求 AF的最小值， 并求此时A点的坐标；

3.若点A在坐标原点，BC边过定点N 0,1 , 点M在BC上，且 0， 求点M的轨迹方程.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小 题满分9分.

已知函数f x

3x

，数列 an 满足a1 1，an 1 f an ,n N , 2x 3

1. 求a2，a3，a4的值； 2. 求证：数列

1

是等差数列； a n

3. 设数列 bn 满足bn an 1 an n 2 ，b1 3,Sn b1 b2 bn， 若Sn

m 2011

对一切n N成立，求最小正整数m的值. 2

一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. 1；2. 理 2,1 ，文 0,1 ； 3. 理 , 1 ，文 ,0 ；4. 12 ；5. 理 14，

x 2,x 1 2fx 文4；6.；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. ； x

2,x 1

11.理 P在圆外，文1；12. 理 4,2 ，文

2 13

,5 ；13. 理 log2,log2 ，文

2

3 4,2 ； 14. 理49，文

log12

3

,log3

25

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题

19. 【解】 设异面直线PA与CD所成角的大小 ， 底边长为a,

则依题意得

13

a2

1 4 故a 23 ， AC 6 PA 2

62

7 CD∥AB，故直线PA与AB所成角的大小 为所求 cos

217

21

7

． （其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.理: （1）【解1】.

由 得 0 ，故 2b c cosA acosC 0, 由正弦定理得 2sinB sinC cosA sinAcosC 0 5 4分 7分

9分

12分 2分 4分

2sinBcosA sin A C 0 5分

0 A ,sinB 0,cosA

1

, A 7分 23

【解2】. 由 2b c cosA acosC 0，

余弦定理得 2b c

b2 c2 a2a2 b2 c22bc a2ab 0 2

2

2

b2 c2 a2整理得b c a bc， cosA

2bc 1

2

0 A ,cosA

12, A

3

． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2） S ABC

12bcsinA 33

4

即

1 32bcsin3 4

bc 3又a2

b2

c2

2bccosA, b2

c2

6 故 b c 2

0 b c 所以， ABC为等边三角形． 文:

【解1】. 由 2b c cosA acoCs 0,

由正弦定理得 2sin

B sinC cosA sinAcoCs 0 2sinBcosA sin

A C 0 0 A ,sinB 0,cosA

12, A

3

． 【解2】. 由 2b c coAs

acoCs 0， 10分

12分 14分

4分 5分 7分

b2 c2 a2a2 b2 c2

a 0 余弦定理得 2b c

2bc2abb2 c2 a21

整理得b c a bc， cosA

2bc2

2

2

2

0 A ,cosA

1

, A ． 23

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 21. （1）【解】

①（理）若f x x是“ 函数”，则存在实数对 a,b ，使得f a x f a x b，

3

即a2 x2

2

3

b时，对x R恒成立 2分

2

而x a b最多有两个解，矛盾，

因此f x x不是“ 函数” -3分

3

（文）若f x x是“ 函数”，则存在实数对 a,b ，使得f a x f a x b， 即a2 x2

2

b时，对x R恒成立 2分

2

而x a b最多有两个解，矛盾，

因此f x x不是“ 函数” 3分② 答案不唯一：如取a 0,b 1，恒有2

0 x

20 x 1对一切x都成立， 5分

x

即存在实数对 0,1 ，使之成立，所以，f x 2是“ 函数”． 6分 一般地：若f x 2是“ 函数”，则存在实数对 a,b ，使得2

x

a x

2a x 22a b

即存在常数对a,2

2a

满足f a x f a x b，故f x 2

x

是“ 函数”．

x是一个“ 函数” （2）解 函数f x tan

设有序实数对 a,b 满足，则tan a x tan a x b恒成立 当a k

2

,k Z时，tan a x tan a x cot2x，不是常数； 8分

因此a k

2

,k Z，当x m

2

,m Z时，

tana tanxtana tanxtan2a tan2x

b， 10分 则有22

1 tanatanx1 tanatanx1 tanatanx

即btan2a 1tan2x (tan2a b) 0恒成立，

22

b tana 1 0 tana 1 a k 所以 42

b 1 tana b 0 b 1

当x m

k Z 13分

2

,m Z,a k

4

时，tan a x tan a x cot a 1

满足f x tanx是一个“ 函数”的实数对 a,b k

,1 ,k Z 4

14分 22. 理:

（1）【解】由a1 1，an 1 f an

3an331

,a3 ,a4 3分 得a2 5732an 3

（2）【解】由an 1

3an112

得 8分

2an 3an 1an3

所以，

1 2是首项为1，公差为的等差数列 9分

3 an

（3）【解】由（2）得

122n 13

-10分 1 n 1 ,an

an332n 1

当n 2时 ，bn an 1an

9 11

，当n 1时，上式同样成立， 12分

2 2n 12n 1

所以Sn b1 b2 bn

9 11111 9 1

1 1

2 3352n 12n 1 2 2n 1

因为Sn

m 20129 1 m 2012

，所以 1 对一切n N成立， 14分 22 2n 1 2

又

9m 20129 1 1 9

， 1 ，所以 1 随n递增，且limn 222n 122 2n 1

所以m 2021， mmin 2021 16分

文:

2

(1) 【解】. 由x y得2p 1 所以 准线为y

1

3分 4

2

(2) 【解】. 由x y得2p 1 所以,焦点坐标为 0,

1

4分 4

由A作准线y

1

的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点P,A,Q共线时, 4

125

, 7分 AP AF的最小值，为6 44

此时A点的坐标为 2,4 9分 (3)【解1】

设点M的坐标为 x,y ,BC边所在的方程为y kx 1(k显然存在的), ① 10分 又AM的斜率为

yyx

,则有 k 1 ,既k 代入① 14分

xxy

故M点轨迹为y2 x2 y 0(x 0) (注:没写x 0扣1分) 16分【解2】

设点M的坐标为 x,y ,由BC边所在的方程过定点N(0,1), 10分

(x,y), ( x,1 y) 12分 0 0,

所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0) 16分 (注:没写y 0扣1分) 23. 理:

2

(1) 【解】. 由x y得2p 1 所以,焦点坐标为 0,

1

3分 4

(2) 【解1】设点M的坐标为 x,y ,BC边所在的方程为y kx b(k显然存在的),与抛物线x2 y交于B x1,y1 ,C x2,y2

y kx b2则 得x kx b 0,x1 x2 k,x1x2 b 5分 2

y x

又点B,C在抛物线 上,故有y1 x1,y2 x2, y1y2 x1x2 b2

2

2

22

x1x2 y1y2 b b2 0 b 1或b 0(舍)

y kx 1 -------① 7分

又AM的斜率为

yyx

,则有 k 1 ,既k 代入①

xxy

故M点轨迹为y2 x2 y 0(x 0) (注:没写y 0扣1分) 9分 另解:由上式①过定点P(0,1), (x,y), ( x,1 y) 0, 所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0) 【解2】设点M的坐标为 x,y ,AB方程为y kx,由 BAC

2

得AC方程为

y kx1 11 2

y x,则 得, 同理可得CBk,k ,2 2

k kk y x

1

2)(x k)恒过定点P(0,1), BC方程为y k2 (

1k

k

k2

(x,y), ( x,1 y) 0, 所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0)

(注:没写y 0扣1分)

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】

若存在AB边所在直线的斜率为2的正三角形ABC,设A(p,p),B(q,q),

2

2

q2 p2

(其中不妨设p q), 则 2 , p q 2 ------① 11分

q p

令AB a,则 q p q2 p2

2

2

2

a2,即 q p q p q p

2

2

2

a2

将①代入得,3 q p a2,

q p

a

p q -----------------② 13分 3

线段AB的中点为M,由①, ②得M的横坐标为

2

2

p q2

,

22

p2 q2 q p q p 1a2

M的纵坐标为 15分

24212

又设 1,2 由

得

31 2aa 3

,( a , a) 222 23

21a2 2aa 22a2a1

2,2 12 2, 2 2 2a,12 2 2

点C在抛物线x2 y上,则又因为a 0 , a 【解2】

设A(p,p2),B(q,q2),C(r,r2)

1212

a 6a 6 1 a ,即5a2 18a 0, 122

18

18分 5

ABC的三边所在直线AB,BC,CA的斜率分别是

p2 q2q2 r2r2 p2

p q, q r, r p ------① 12分

p qq rr p

若AB边所在直线的斜率为2,AB边所在直线和x轴的正方向所成角为

, 0 x 900 ,则tan ,

q r tan 60所以 14分 0

r p tan 60

tan tan6002 3q r

1 tan tan6001 6

即

r p tan tan60 2 3 1 tan tan6001 6

又p q tan 所以, AB

, q p

6-----② 5

2--------------③ 16分

q p 2 q2 p22

q p21 q p2

将②, ③代入上式得边长AB

18

18分 5

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 文:

（1）【解】由a1 1，an 1 f an

3an331

,a3 ,a4 3分 得a2 5732an 3

（2）【解】由an 1

3an112

得 8分

2an 3an 1an3

1 2

所以， 是首项为1，公差为的等差数列 9分

3 an

（3）【解】 由（2）得

122n 13

11分 1 n 1 ,an

an332n 1

9 11

，当n 1时，上式同样成立， 13分

2 2n 12n 1

9 11111 9 1

1 1

2 3352n 12n 1 2 2n 1

当n 2时 ，bn an 1an

所以Sn b1 b2 bn

因为Sn

m 20129 1 m 2012

，所以 1 对一切n N成立， 16分 22 2n 1 2

又

9m 20119 1 1 9

， 1 ，所以 1 随n递增，且limn 222n 122 2n 1

所以m 2020， mmin 18分 202 0

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