复变函数(第四版)课后习题答案__高等教育出版社

!

第一章

复数与复变函数

内容提要

!

一!复数及其代数运算和几何表示

!"复数的概念

定义!设!!我们把形如##!$$"都是实数!"的表达式称为

&

复数%其中$称为虚数单位!且具有性质$#’!!!和"分别

称为复数#的实部和虚部!记为

"!!#(####%)*+""#当!#,!"###$!"",时!"称为纯虚数%

当"#,时!"###!$,$$视为实数!%&

"#设#则#当且仅当!!$#!$#!-!#!$&#&$!#&!!#&!"!!"&!

""!#&%"#当!#称##,%."#,时!&"复数的运算

"#加"减#法!

两个复数的加"减#法!定义为实部与实部相加"减#及虚部

与虚部相加"减#!即

$!$

!!

复变函数同步辅导及习题全解

""!$!$!!$/"#"$%"!#"&#""!$&$!/&#!/&#

"#乘法&

&

即两个复数相乘按多项式乘法法则相乘并注意$#’!!

$"""!$!$!!$!!#"$%"""""!#"&#!$&$!&’!&#!&$&!#

除法"#-若#将满足####,!&"&$!的复数#定义为#!除以#&的商!

!

!即记为####&

!&#!$!!!!!!$!&$!&!’!&##$$%&&&&#!$!!"&&&$""&$&&$&

复数的共轭及性质"#.

设##!$称!’记为#或$$"!"为复数#的共轭复数!即##!’它有如下性质%##!$"!

!!

#&#########"#,!!/&#!/&!&#!!&!&"

#&#&

#

&&

"&((###!##$’#####’()*+""

!")*+"###$#####’###"#"%#(

&$&

-"复数的几种表示方法

"#复数的坐标表示!

的点!每一个复数##!$$!!"确定平面上一个坐标为""#反之亦然!这意味着复数集与平面上的点之间存在一一对应%由于这个特殊的一一对应存在!我们常把以!为实轴!"为复数##!$!!$"的"为虚轴的平面称之为复平面%"#

坐标表示形式!称为点#%"#复数的向量表示&

设复记复数##!$原点为’%$"在平面上确定的点为&!

$%%&数#对应向量这也是一个特别的一一对应%为此我们’

%$称向量’&为复数#的向量表示式%

$"$

第一章!复数与复变函数

%$向量’记为&我们#&的长度称为复数#的模或绝对值!&!有结论%

##&%###&&#&!!

%$当#",时!以正实轴为始边!向量’&为终边所确定的角!称为复数#的辐角!记为1##!!0!%2

当##,时!辐角不确定%

称满足条件’$’01#是一个多值函数%!($的!为幅角2

从而有的主值!记为3#%12)###3#$&((#,!11/!!/&!$!!"!!022

利用复数的向量表示法对任意复数#三角不等式#!!&!

&&

####&$&&!!&&(&!$&!&

的意义为三角形的一边不大于两边之和!不等式####&’&!!&&)&&&&!’&!&

表示三角形的一边不小于两边之差的绝对值%"#复数的三角表示-则设#",!)是#的模!!是#的任意一个辐角%

#678456##)"$%!$!

复数的指数表示"#.

$!

在三角表式示中!利用欧拉公式%#456678$)!$!可得$!

!##))

称为复数#的指数表示式%

以上复数的不同表示法仅是形式上的差异!它们各有其特点%复数及其运算的几何解释可以从向量表示法得到!复数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法得到%

."复数的乘幂与方根

积与商"#!

$$!!!!&则设#))#))!#!&#&

$#$

!!

复变函数同步辅导及习题全解

)!!$"##"’#$!!!$&#!!&###)))!),%!"!&#!&&"#)&&

即

#"!!

#&#####,&&!&!#&#&&!&!&&"

##&&&&

!

###01122!’0&%

#&

注意%"正确理解等式"的含义&%#"####1#01011"02222!&#!$0&!

#

乘积与商的几何解释%"&#

乘幂"#&

$**7**!!设##则#棣莫弗"!"#6784569):;))#))#)*$*%!$!*

公式%"#$+1)45667856678$*$*5!$!及其应用%!$!##4

方根"#-$!

!则设##))#*

##$$678456

**

#)!!!&!%(#,!*’!!"

注意*值性及几何解释%二!复变函数及其极限与连续

复变函数的概念!%

复变函数是高等数学中一元实变函数概念的推广!二者定义的表述形式几乎完全一样!只要将定义中的*实数"或实数集#+换为*复数"或复数集#+就行了%但对下面几点应多加注意%实变函数是单值函数!而复变函数有单值函数和多值函数"#!

之分%"#复变函数,#-"是从#平面上的点集.到,平面上的##&

点集.#的一个映射!因此!它不但可以把#平面上的点映而且可以把#平面上的曲线射"或变换#为,平面上的点!实现两个不同复平或图形映射为,平面上的曲线或图形!

面上的图形之间的有趣的变换!为简化或研究某些问题提

$$$

第一章!复数与复变函数

供了可能%

对应着两个二元实变函数%由于一个复变函数,#-""###-!!/#/"!!+#+"!!!"#"#

所以!可以将对复变函数的研究转化为对两个二元实变函数的研究%这是研究复变函数的常用思想方式之一%&"平面点集

"#满足关系&#’邻域%#’#!"的点#的全体称为点&’,的",

而满足,’&#’邻域!#’#"的点#的全体&’,的一个",称为点#’邻域%,的一个去心"

内点%设.是一平面点集!若存在#"#&#.!,*,的某个邻域也则称#包含于.!,为.的内点%"#开集%若.的每个点都是内点!则称.为开集%-"#若存在一对,中不即复平面#!连通集%对.+!".非空!.

满足.且.+"交的开集...&-."#!.!!&!!-."#!!则称.为连通集%..&#

"#区域%连通的开集叫区域%应该注意的是!可以证明!对于<

开集!连通性等价于另一种更直观的属性!即道路连通!也即.内任意两点都可以用一条.中的折线连接%"#边界%若#又有=,点的任意一个邻域内既有区域.中的点!

则#由.的不属于.中的点!,称为区域.的一个边界点%

全体边界点组成的集合称为.的边界%

/%记为.闭区域%区域.及其边界一起构成闭区域!"#>

"#简单闭曲线%设曲线0%当###!?###"11$12(13%#!"$(""##对1!当与""连续时!称0为连续曲线%!"1112!3#!!&*’

"时!点#"称为曲线0的重点%111#"11#!"&而有#!#&#!#没有重点的连续曲线0!称为简单"或@曲线%如果51A38#则0称为简单闭曲线%简单曲线0的两个端点重合!

由以上定义知!简单曲线自身不相交!简单闭曲线则只有起点与终点重合%

光滑曲线%曲线###"当!#!"####4"11$12(1(3!1B#!"$""

$%$

!!

复变函数同步辅导及习题全解

&&

#与"#(#(连续且’称为光滑曲线!11$’14"4"!4"",时!"

由几条光滑曲线依次连接而成的曲线!称为按段光滑曲线%

"#单连通域%若属于区域.的任何简单闭曲线0的内部也!,

否则称为多连通域%则称.为单连通域%属于.!-"复变函数的极限与连续性

"#在#定义%设函数,#-"###’#!’&&’,点的去心领域,,$

内有定义!若任给%0,!!当,’&存在"0,"#’#,’"(,$#有&则称常数5为-"当#####’5&’"时!&’%成立!-"趋于#记为%,时的极限!

C7+###5%-"

#$#,

若-"且-"在#则称-"在点#######5!,点有定义!,#,连续%若-"在区域.内每一点都连续!在.我们称-"####内连续%

"#!设-"##/"!!!!5#/#!$#$&$+"$+,!",!"#"#,$,#,$那么

/"!!/#C7+,"#!$!,

"$"###51C7+,-"

#$#,

C7++"!!+#"#,!$!

"$",

,

!

由此可见!复变函数极限的定义虽在形式上与一元实函数的极限定义相似!但实质上却相当于二元实函数的极限%这导致了第二章用极限定义的复变函数的导数的概念!较之一元实变函数的导数概念!其要求要苛刻得多%"#那么如果#####5!#7!-C7+C7+-"6"

#$#,

#$#,

(C7+’####/6"#5/7!-"

#$#,

$6"(7!C7+’#####5-"

#$#,

#""#C7+"##!7",%

#$##76,

$&$

第一章!复数与复变函数

"#由定义及式!易得连续的充要条件%.

/"!!/"!#C7+"#",!,#!$!,

"$"C7+,####-"1-",#

#$#,

C7++"!!+"!#,!,#"#"!$!

"$",

,

!复合所得的函数,#-两个连续函数8#6"##,#-"8#

’(仍是连续函数

%##6"

典型例题与解题技巧

##""#例!化为三角形式与指数形式%!将复数##

#"#’$&$&$解题分析!将一个复数#化为三角形式与指数形式的关键在于求出

该复数的模与辐角的主值%通常的方式是先将#化成代

&&

数形式##!$再利用&$#$"&#"!

别求出它的模与主辐角%本题中由于#的分子与分母互

为共轭复数!而复数与其共轭复数的模相等!因此!容易利用复数商的模公式求出&至于主辐角除可反正切公#&%式求得外%也可以利用关于乘积与商的辐角公式来求%下面给出两种解法!便于读者比较%

"!得##解题过程!将#的分子与分母同乘以$#$#&’&&

#"#!$#"#$’所以$#’&&&&&&&’&$&&$$&&&

#从而得到的三角

’####3#14D#’%31&&#!!2"2

-=形式与指数形式%

’=$%’678#)==

##456

另一种解法是!由于分子与分母恰为一对共轭复数!故其模相同!于是

$’$

!!

复变函数同步辅导及习题全解

#"##!#&&#

##"$$’&’&&&#(’#"01$7$01&’&01##&$222$&E$%=

"#例&证明不等式#!设#!!&为复平面上任意两点!

#’

####&’&&%!!&&)&!’&!&

一分析!这个不等式的几何意义为以####!!&!!’&为边的三角形!

边的长度"不小于两边的长度之差的绝对值"####&&&&&!’&!

证明这个不等式可利用书中已证的三角不等式%##%’&&&&

证明!&####&(&&$&&!$&!&

#######F&&#&&$&&&(&!!’&$&!’&&####G&&’&&&(&!&!’&

#######F&&#&&$&&&(&&&’!$!&’!!######G&&(&&’&&#&&&!&’!!’&

利用!与"得

####&)&&&&%&’&&!’&!&

"#例-试证!设复数’满足&’&’!!

当&##!!&#!当&#’!!&’!!’#&

当&#&0!0!!

!!!

的模#与!的大小等价于比较#分析!比较复数###&&&

&

!"

与!的大

&&

小!也相当于比较&此时常用公式&###&与&&的大小%!&

####!/&

证明!由等式

&

#!

&

$&

&

以及三角不等式%/&()##!&#

&&&5"’##()&##$’&&55"#&#!$&&’&##()!’&&

可知

&5#"!’&#’#&##&’!&’!’&

$($

第一章!复数与复变函数

注意到’!!便有

!当##!

#,

&5当#’!#’#&’,!&’!’&

当#0!0,!

从而

当#!#!!当’!#’!!#!’#&!’&&

当0!0!!

&

&

由此即得要证明的结论%

将平面上的下列曲线变成平面上的什么例."##,!函数,#

#$!

曲线,

&&

##"#&-!$!!"!""#!&"#!$!&"#!%

解题分析!解此题的要点是利用公式

!#

及题中映射

"!#$###’#!!"#"&$&

!##’!%!!!,#

#$!,

解题过程!令,#$+/$

&&

由!"#$!"#!有

!!即

"&&

#$##’"#’###!..

###!!!

’!#!’

"$"##

#!!!

’’"!’,#!’#,’!!"’#!!

’!,

##

!!,$’#!

$)$

!!

复变函数同步辅导及习题全解

即

/#!!

&

&&

即圆!$"#!映成了直线/#%

&

"#由"#!$!知&

$!#’###$##"!!"

&&$代入##’!得

,

’$’&’$!#,&,,&$,两边乘以&7,,得

#

",’,#$,$,#由前设,+知/#’7

,’,#’&$+,$,#&/

代入上式则有

/#’+

即直线"#!$!被映成了直线/#’+%由"#!知"#-#’###!!!"&$

#’##&$!!!!!!

’!#&$’!’

,,

#

’#&$,,

7,,!!,’,#&

即

&&"#$+#’&$/$+!!&

$!*$

第一章!复数与复变函数

&&/$+$+#,!!

&&

所以直线"#!映成了圆/$+$+#,%

"例<#若存在!试求出!判断下列函数在给定点处的极限是否存在%

极限的值%

"#"#!!###$,&#!-"

&#"!"####$,&#&!-"&

!"####$$%#"&--"#!##$!

解题分析!判断一个复变函数在给定点处的极限是否存在有三种方

法%一是用函数极限的定义!类似于实变函数!定义多用于验证某函数的极限等式!本书对这处方法不作更多的要求%但是!读者应当会用极限定义来判定某函数的极限不存在&第二种方法是利用教材第&讨=页中的定理一!论函数的实部/#/"与+#+"的极限是否存!!!!"#"#在!这是判断极限是否存在的常用方法&第三种方法是利用教材中第&直接利用极限的有理运算法>页的定理二!则求函数的极限%与实变函数一样!应用时必须满足这些法则成立的条件%

下面给出的解法都基于以上三种方法!其中有的小题给出了多种解法%

解题过程!"#由于-"##!

"所以!对于任给的(!

#

恒有则当,’&取9##%0,!%!&’9时!

’,#-"###(’!!-"%根据极限定义!当#$,时!的极限存在!并且其##-"值为,%

&&

令##!$则-"从而有"#!$##&#&"!&!$"

&&!+"/"!!!!#&#,%"#"#&!!$"

$!!$

!!

复变函数同步辅导及习题全解

令#沿直线"#则(!趋于,!

&&&&

C7+/"#C7+&!!"#&&#&%""!!!$,,!,#$""#!$(!!$(

由于它随(的不同而不同!因此!当"时!!,!,#$""#

的极限不存在!故#$,时!的极限不存/"!!##"#-"在%

的分子与分母中含有极限为零的因子!消由于-""###-去后得

"#!##$#&#-"#"##$$##$!

所以

C7+#’#C7+"##%-"##$#$77##$$&

历年考研真题评析!

题!"#78456$’$’!把复数##!$6&$&!&’’化为三角表示式

&"与指数表示式!并求#的辐角的主值%山东大学&,,<年#解题分析!本题主要考察复数的三角表示法和指数表示法!以及辐

角和主值的求法%

解题过程!78456##!$6$&$&

##

’’456’#&456&678$$

.&#.&#.&#

$$456’#&456’678

.&#’.&#.’&#(

#!$456

&

’’$678&$&&&

所以所以’$’’’’%&’’!

&&.&.因此故

$!"$

456

’’,.&

#

第一章!复数与复变函数

456)#&#&#’&

由于56!!’4

’%.&

#

#"##

!

’#678$$’#67878!!’6

.&#".&#.’&#

##’&456

!’’#456$$’#456.&.&.&

从而得#的三角表示式%

’.&

#’456

’’$$678.&.&

##(!

及指数表示式%

##’&456

<#$’).’&%.&

#

不是主值!注意!这里的辐角!#因为’.&

’’’!&.&.

但它只能与主值相差一个&从上式容易看$的整数倍!出!如果不等式的每项各加"#!得’&$

’

’’’’’%&.&.

就符合关于主值的要求了因此这个’’%##’312

.&

如果取主值!那么#的三角表示式与指数表$%!.&

#

示式分别为

##’&456

#’#

456’##’&%)

.&#

456

’.&$$$’678.&.&

#(!

$#’$.&

"#题&证明等式!设*为自然数!

*

’’*$*#456678!$!%

!$678456$&&!’!

$!#$

###

!!

复变函数同步辅导及习题全解

"北京大学&,,<年#

分析!上面涉及到复数*次幂的等式!通常需要先将复数化为三角

*形式!然后再用9H1)公式"45667856):5$*($($$(##4

678$*(证明%!可知证明!令!#’

&(

#!!!

!$67845656678$$!’!!$4(’(

&$&56678&456$

!!!!#

&&456’&56678$&&&

$678456$!!!!#

$456’678&&$67856$!!!!#4&&

故

!!

$!$678456!’!

"$56678($(!##4

&

*$*56678($(##4

’*$*#456678!$

&#&’!#%

*

的点"题-#56)’-##)"’’456456!求满足关系式4!’!"!’#!&&

若.为一区域!则指明它是单连通域还是的集合.%$$678!#

"多连通域%中山大学&,,=年#

解题分析!此题考察知识点*单连通域+和*多连通域+%可知#!解题过程!由##678456)"$’’!$!!’!

&&

&

&$"于是所给的关系式456456)’-!’!变为

&&

)#$456!#"$!$$

第一章!复数与复变函数

&&

$’’"&&

&$&$""或

&&

!’!$!"’-于是可见此区域是单连通的%

&

题.下!求下列平面点集在’平面上的象%"##!在映射’#

"#线段,’)’&!!!#&

.

&&

"#双曲线!&’"#.&

#扇形区域,’"山东大学&"-,’)’&%,,<年#!’!

.

解题分析!此题是关于映射的复习%

$$&((!则$#故线段,’解题过程!"设##!!#)),#)))’&!!!!$(#&

!#

映射为也是线段’见图!’!

,’#!’.!$(.&

"#(3%

图!’!"#3

"#设##!$则$,#/$&$+!"!

故

&&&

##!’$&!"$"

&&

/#!’+#&!""!

&&

为平行于+轴的直线’所以!见图!’/#.!"#.1

"#(I%’!

$$!(!!"#则设##)),#)-$

&

!)!$#(#&

$!%$

!!

复变函数同步辅导及习题全

解

图!’!"#I

故扇形域,’)’&映射为,’(’!,’,’!’!$.&

也是扇形域’见图!’!"#(

4%’.!

"#图!’!4

"#题<!试证函数

’###-"

$##&"当#$,时的极限不存在%天津大学&,,<年#

分析!这又是一道关于复变函数的极限问题%

#

&’&$#证明!-"##$&##"""$###"###&&

&&"##"#

&

由此得令##!$则有-"$###&"!&%!$"

!"!#

/"!!+!"#,#&"#&!!$"

$!&$

第一章!复数与复变函数

让#沿直线"#:我们有!趋于零!

!$,

!$,"#:

C7+/"#C7+!!"#

&&

!$,!$"!$,"#:

&

#C7+&%&&#!$,!$:!!$:&

可见沿不同斜率的直线!趋于不同的值!所以C7+/"!!/"!!"#

!$,

"$,

不存在%虽然但根据前述结论!不存+"!!##C7+#,!C7+"#"#-"

!$,

"$,

!$#,

在

%

课后习题全解!!!

共轭复数-模与辐角%"求下列复数#的实部和虚部-8!

&&’!&$$!’$$-$&#解!!#’#!-!-!--$&-’&-$&$$$

&"#####$#&*+"()#’!-!-!-!-

#&&#

##&&3114D$###’322&

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复变函数同步辅导及习题全解

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&!.$.J<$!.$$$#$$$$’.’!’#!’&

&’-()&*+"#’-###!$-$##&&#,114D114D-$&/!&!##’3##’3(#,!-$2222#"等式"当!!#!$$成立,8&"等于什么实数时!

<$-$

解!由所给等式可得

#"##"#"!$!$$$$$!$<$-#&$?"’-利用复数相等的概念

!$!#&!#!

9

!!"’-#?"#!

即!#!!!时等式成立%"#!

’!

$#$#$%’"证明虚单位$有这样的性质%8-&

$’!

!证明!因’所以$###$$$#’#’

$$$

..

’!

$#$#$%’

"证明%8.

&

#!#######&&&#!!!!!&!/&#!/&&

####-!!&#!&&##&<

#"!###$#####’####"%=*+"()

$&&

&&&&

#证明!!设##!$"则&$#!$$!’$#!###"&#!$"!"#"#"!&&

从而有&##%$#&#"!$!($

!!

###&#!"#.,&"#&#&

#

第一章!复数与复变函数

#设#则&!$#!$""!#!$!!&#&$&!

##!$!$/""!/&#!$!&$&!!$#"!!$$’"#!/&!/&!/&#!/&#""""

##!$!$/""!/&#!$!&$&!$!$!!$/"#"’"#"""""!’!#&’&#!/&#!/&#从而有!####!/&#!/&%#设#则-!$#!$""!#!$!!&#&$&!##!$!$""!&#!$!&$&!!$!!#$!&’!&!&$&!"""""!!$!!’#"!&’!&#!&$&!#""""

"##!$$!$!$!""""!&#!$!!&$&#"!’!#&’&#

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!!

复变函数同步辅导及习题全解

结论得证%

&&

就给出证明!如果不是!##&#"对任何#!:<&是否成立,如果是!

对哪些#值才成立,

分析!考查复数性质%

易知解!对于任何复数##!$$"!

&&&&&&

!##!’!$#&&#!$""$&"%

&&

于是!由##&#&可得&&&&

!’!$#!$""$&"

比较两边的实虚部!等价地有

&&&&&

!!’&"#,!"#!$"9"#,即"#,%

&&

故对任何虚数#!只有当#为实数"虚部为##&#&不成立!&&零#时!等式##&#&才成立%

*

其中*为正整数!求&"当&##$22为复数%&(!时!:=&的最大值!

分析!主要考查最大值问题%

解!由三角不等式及&#&(!可知

**

#$2#22&&$&&&(&&(!$&

**)2)2737366时!而且当#故#2$&22))&&#&&&#!$&&!,#,$

其最大值为!$&2&%

"判定下列命题的真假%:>

则;#若;为实常数!#;&!

则#"若#为纯虚数!##&&

#/&&-77#零的辐角是零&.

使得#’仅存在一个数#!##&<

######=&&#&&$&&&!$&!&

#>$#%$

分析!一些命题的真假!要求有比较好的掌握基础知识%解!!真&真&假"复数不能比较大小#&假"复数零的辐角是###&-.#$"*$

第一章!复数与复变函数

&

从而#可取/不确定的#&假"由#’##’!!#得#$两个<

#

值#&一般不真"由三角不等式&等号#####=&(&&$&&!!$&!&

)#时成立#&#真%仅当3#31#&((#,!/!!/&!>1)"22!’&#

"将下列复数化为三角表示式和指数表示式%8?

#&#!$’!&!!!!&

#&#’456678!$$.$-(($(!(($

&

"&#%=<-"$’!$$678-456-(’(##解!!三角表示式#$$#456$678!"&&

指数表示式#$#)!"

$$

#$&678’!#456$#)$$

&#!$$#&!31!$#314D-$$#&&#2"2#!!-故

""三角表示式#$$#&456$678#!$

---指数表示式##&!$$!"

&&

$.67878!’456’456($((6(

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