人教高中数学必修一函数的奇偶性知识点及例题解析

高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析

一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 ⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f??x??f?x?〔或或f??x??f?x??0〕?函数f（x）是偶函数；

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f??x???f?x?〔或

f??x??1f?x?f??x???1或f?x?f??x??f?x??0 ?函数f（x）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较f(?x)与f(x)的关系。 ③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数

是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： ①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。 ③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|)。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系. 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1).f(x)?x?2x?1;(2) .f(x)? 解：f(x)函数的定义域是(??，??)，

2x2?2?x?3?,x??x?0?; x?x?3?∵ f(x)?x2?2x?1，∴ f(?x)?(?x)2?2?x?1?x2?2x?1?f(x)， ∴ f(x)?x2?2x?1为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数f(x)?x2?2x?1的图象如下： 由函数f(x)?x2?2x?1的图象可知，

f(x)?x2?2x?1为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、 填空题可用图象法判断函数的奇偶性。 (2) . 解：由

x?3?0，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞). x?3∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

1?x04?x2; (2). f(x)?2(1). f(x)?。

x?3?3x?1?4?x2?0?解： (1).由?，解得

x?3?3?0????2?x?2 ??x?0且x??64?x24?x2∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则f(x)??;.

x?3?3x4?(?x)24?x2∴f(?x)????f(x);.

?xx4?x2∴f(x)?为奇函数.

x?3?3说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

?x?0?x?0(2). 由?2，解得 ?，∴ 函数定义域为?x?Rx?0,x??1?，

x?1?0x??1??1?x01?1?2?0，∴f(?x)?0， 又∵f(x)?2x?1x?1∴f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x)，

1?x01?1?2?0 既是奇函数又是偶函数。 所以f(x)?2x?1x?1【例3】 判断下列函数的奇偶性：

?x(1?x),(x?0)?. f(x)??0,(x?0)?x(1?x),(x?0)?(1)

解析 (1) .函数的定义域为R，

当x?0时，?x?0,f(?x)?(?x)(1?x)??x(1?x)??f(x); 当x?0时，?x?0,f(?x)?0??f(x);

当x?0时，?x?0,f(?x)?(?x)?1?(?x)???x(1?x)??f(x).

综上可知，对于任意的实数x，都有f(?x)??f(x)，所以函数f(x)为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。

2、抽象函数判断其奇偶性：

【例4】 已知函数f(x)(x?R且x?0),对任意的非零实数x1,x2,恒有

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),判断函数f(x)(x?R且x?0)的奇偶性。

解：函数的定义域为(??,0)(0,??)，

令x1?x2?1，得f(1)?0，

令x1?x2??1，则2f(?1)?f(1),?f(?1)?0,

取x1??1,x2?x，得f(?x)?f(?1)?f(x),?f(?x)?f(x),

故函数f(x)(x?R且x?0)为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：

(1) . 求字母的值：

ax2?1【例5】已知函数f(x)?(a,b,c?Z)是奇函数，又f(1)?2，f(2)?3，求

bx?ca,b,c的值.

解：由f(?x)??f(x)得?bx?c??(bx?c)，∴c?0。

又f(1)?2得a?1?2b，而f(2)?3得

4a?14a?1?3，∴?3， 2ba?1解得?1?a?2。又a?Z，∴a?0或a?1.

若a?0，则b?1?Z，应舍去；若a?1，则b?1?Zb=1∈Z. 2∴a?1,b?1,c?0。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。 (2) . 解不等式：

【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。 分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f(x)＜0的解集为 ｛x｜－1＜x＜1｝， ∴f(x－1)＜0，即－1＜x-1＜1， ∴解集为｛x｜0＜x＜2｝.

（3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7.已知f(x)=x5+ax3?bx?8，且f(?2)=10，求f(2).

解：法一：∵f(?2)=(?2)5+(?2)3a?(?2)b?8=?32?8a+2b?8=?40?8a+2b=10 ∴8a?2b=?50 ∴f(2)=25+23a?2b?8=8a?2b+24=?50+24=?26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(?2)=?g(2) ∴f(?2)+8=?f(2)?8

∴f(2)=?f(?2)?16=?10?16=?26.

8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2?x，求当x≥0时，f(x)的解析

式，并画出函数图象.

解：∵奇函数图象关于原点对称，

∴x＞0时，f(x)??f(?x)??[(?x)?(?x)]??x?x, 又f(0)=0

22 ，如图

9. 设定义在[?3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a?1)＜f(a)时，求

a的取值范围.

解：∵f(a?1)＜f(a) ,偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增

∴f(|a?1|)＜f(|a|)

必有|a?1|，|a|∈[0，3]

.

9. 设定义在[?3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a?1)＜f(a)时，求

a的取值范围.

解：∵f(a?1)＜f(a) ,偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增

∴f(|a?1|)＜f(|a|)

必有|a?1|，|a|∈[0，3]

.

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